精品解析：福建省福州第一中学2024-2025学年高一上学期第二学段模块考试数学试卷

福州一中2024—2025学年第一学期第二学段模块考试 高一数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） 班级__________座号__________姓名__________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为 A. B. C. D. 2. 已知，，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 随着新能源电动汽车在汽车市场的占有量不断扩大，新型动力电池也随之迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A 56h B. 58h C. 60h D. 62h 7. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 若为锐角，则为第一或第二象限角 B. 若角的终边过点，则 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 函数的单增区间为 10. 已知函数（，）的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于直线对称 11. 已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，的定义域为__________. 13. 已知，都是锐角，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. （1）求的值； （2）求的值. 15. 已知函数的最小正周期为. （1）若，求的值域； （2）若，，求的值. 16. 为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. （1）当时，求的面积； （2）求三角形区域面积的最大值. 17. 已知函数（，，）的图象过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）若在区间上恒成立，求m的取值范围； （3）设函数，若有唯一零点，求实数t的取值范围. 18. 定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. （1）分别判断以下两个函数否具有性质和； （2）若函数具有性质P （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024—2025学年第一学期第二学段模块考试 高一数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） 班级__________座号__________姓名__________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣． 故选C． 2. 已知，，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据条件确定所在的象限，即可判断选项. 【详解】由可知，是第一或第三象限角， 由可知，是第二或第三象限角， 所以是第三象限角. 故选：C 3. 已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， 由扇形的面积公式,得，解得， 由弧长公式， 故选：B 4. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的平移变换求出函数的图象，然后利用函数的对称性求得的关系式，即可得出答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 因为函数图象关于原点对称，， 所以，所以的值可以是. 故选：B. 5. 函数的零点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，可以将函数的零点问题转化为方程等于0的根的个数问题，进一步转化为函数图象的交点个数问题.根据题意作出函数和函数的图象，观察图象即可得出结论. 【详解】将函数的零点个数问题转化为函数和函数的图象交点个数问题. 如图，作出函数和函数的图象，由图可得函数和函数的图象有5个交点. ∴函数的零点有5个. 故选：C. 6. 随着新能源电动汽车在汽车市场的占有量不断扩大，新型动力电池也随之迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 56h B. 58h C. 60h D. 62h 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，代入数据，结合指对公式，即可求解. 【详解】由题意可知，， （）. 故选：A 7. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 8. 已知函数，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，再利用性质化简自变量，以及利用单调性，结合特殊值，比较大小. 【详解】函数的定义域为，且，所以函数是偶函数， 当时，是增函数，是减函数，所以在区间是增函数， ，， ，，， 所以， 所以，即. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 若为锐角，则为第一或第二象限角 B. 若角的终边过点，则 C. 在中，若，则为钝角三角形 D. 函数的单增区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特例法判断A；根据二倍角的正弦公式判断B；将两边平方判断C；根据正切函数的单调性判断D. 【详解】A . 因为当 时， 为锐角， 为轴线角，A错误； B .因为角 的终边过点 ，因为 ，所以，B正确 ； C . 因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，即 为钝角，C正确； D.要求函数 的单增区间，即 ， ，解得 ， 所以函数 的单增区间为 ，D正确， 故选： BCD . 10. 已知函数（，）的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】设，由四边形为平行四边形，可得，由可得；将点代入，可得，再依次求其性质，即可判断. 【详解】由四边形为平行四边形可知，，设，则， 所以，所以，解得，则周期为，A错误； 则，将点代入得， ，即，由于点在的增区间上， 所以，，则，， 所以，故B正确； 当时，，由正弦函数性质， 在区间上单调递增，C正确； 由于， 所以直线不是函数的对称轴，D错误. 故选：BC 11. 已知定义在上的函数满足：对，，，且，，定义：，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合选项，利用赋值法，判断选项. 【详解】令，则，因，所以， 令，则，所以，故A正确； 令，则，则，即，故B正确； 令，则，即，即，故C错误； 由可知，，即， 所以函数的周期为4，，， 所以， ，，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法处理抽象函数问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式中被开方数非负及正弦函数性质可得答案． 【详解】由，得， 因为，所以， 所以的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，都是锐角，且，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A，B两点，已知，点B的横坐标为，点C与点B关于x轴对称. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式化简原式为，再弦化切代入即可求解； （2）求出的正弦值与余弦值，根据，利用两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 【小问2详解】 因为点B的横坐标为，且B是第二象限单位圆上的点， 所以B的纵坐标为，即， 则， 因为①，②， 由①②结合可得，， 因为点C与点B关于x轴对称，所以， 因为， 15. 已知函数的最小正周期为. （1）若，求的值域； （2）若，，求值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简函数的解析式，根据周期求，再利用代入法求函数的值域； （2）根据（1）的结果，代入求得，再利用换元，以及二倍角公式，两角和的正弦公式，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为函数的最小正周期为，所以，得， 所以， ，则，所以， 所以函数的值域是； 【小问2详解】 ， 设，，则，，所以， 所以， . 16. 为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边）.设，. （1）当时，求的面积； （2）求三角形区域面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出 、 的长，然后根据面积公式算出 的面积； （2）根据题意，用关于 的三角函数式表示出三角形区域 的面积 ，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域 面积的最大值. 【小问1详解】 设 与 相交于点 ，则 ， 可得 ， ， 因为 等于 到 的距离， 所以， 即 面积为 . 【小问2详解】 过点 作 于点 ，则 ， 且三角形区域 面积为 ， 设 ，由 ，得 所以 ， 结合 ，可得 当 时， 取得最大值， 即三角形区域 面积的最大值为 . 17. 已知函数（，，）的图象过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）若在区间上恒成立，求m取值范围； （3）设函数，若有唯一零点，求实数t的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求出可得，再证明是偶函数即可； （2）利用单调性、奇偶性转化为，或在区间上恒成立，再转化为，或，再利用单调性求最小值即可； （3）由得，或，令或，转化为在上有唯一零点，或在上有唯一零点， 令，结合二次函数根的分布可得答案. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，， 所以，解得， 所以， 可得，的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称， 即函数的图象是轴对称图形； 【小问2详解】 ， 当时，、是增函数， 所以是单调递增函数，又是偶函数， 若在区间上恒成立， 则， 可得在区间上恒成立， 故在区间上恒成立， 若，在区间上恒成立时， 即， 令，， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以在上是减函数， 可得，即； 若，在区间上恒成立时， 即， 令，， 因为在上是减函数，在上是增函数， 所以在上是减函数， 可得，即； 综上所述，； 【小问3详解】 由得，或， 即，或， 令函数， 可得，即， 令或， 可得在上有唯一零点， 或在上有唯一零点， 令， （i）若在上有唯一零点， 则当时，得，由得无解； 则当时， 可得，或， 可得； 则当时， 可得，或， 可得无解； （ii）若在上有唯一零点， 可得，或， 解得； 综上所述，实数t的取值范围. 【点睛】关键点点睛：第三问关键点是由得出，或，令或，然后转化为在上有唯一零点，或在上有唯一零点. 18. 定义域为R的函数满足：对任意，都有，则称具有性质P. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质和； （2）若函数具有性质P. （ⅰ）求出，的值； （ⅱ）若将函数的图象向左平移个单位长度，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若对任意的a，，当时，恒成立，求正实数m的取值范围. 【答案】（1）不具有性质，具有性质. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义，结合两个函数的解析式，即可判断； （2）（ⅰ）结合性质的定义，根据特殊值，即可判断，再根据定义得到，，并推导出，并求的值，（ⅱ） 【小问1详解】 ， ， 所以，所以不具有性质， ， ， 所以，所以具有性质. 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得，，， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为，所以， 则，，则， 验证：当时，， 则对任意，， ， 所以等式成立， 故存在，使得具有性质. （ⅱ），所以， ，， 由，得 即， 即， 即， 即， 因为对任意的，当时，恒成立， 所以对任意的，当时，，恒成立， ，，不妨设， 则问题转化为在区间上单调递减， 所以，解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $