吉林省长春市朝阳区长春吉大附中实验学校2024-2025学年高三下学期开学数学试题

高三年级上学期期初考试数学学科试卷 第 1 页 共 3 页 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条 形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 { | 3 1}A x x    ，集合 { | 2 3}B x x  ≤ ，则 A B  A．[ 2 1) ， B． ( 3 3) ， C． ( 2 1] ， D． ( 3 1) ， 2. 若复数 z 满足 2 2 i z z    ，则 z  A. 1 i  B. 1 i  C. 1 i D. 1 i 3．已知直线 l 的一个方向向量为 ( 2 2) ， ，则直线 l 的倾斜角为 A． 45 B．90 C．120 D．135 4．函数 ( ) 2cosf x x x  在区间 π [0 ] 2 ， 上的最大值为 A． π 2 B． 2 C． π 3 6  D． π 1 3  5．已知数列{ }na 满足 2 2 1 2n na a   ，且 3 6a  ，则 2 8a  A．12 B．16 C．18 D．20 6．已知平面上三个单位向量 ， ，a b c 满足 2( ) c a b ，则  a c A． 1 2 B． 3 2 C． 1 4 D． 3 4 7. 已知函数 tan tan( ) ( ) 1 2tan( ) x f x x         是定义在 π π 2025 [ ] 2025  ， 上的奇函数，则 tan  A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2  8.已知 P 为圆 2 2: 1O x y  上的动点（不在坐标轴上），过 P 作 PQ x 轴，垂足为Q ，将 OPQ△ 绕 y 轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ 的长度为 A. 1 3 B. 3 3 C. 6 3 D. 2 2 3 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的 得 0 分． 9．变量 x，y 的一组样本数据如下表所示： x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 通过散点图发现样本点分布在一条直线附近，并通过最小二乘法求得经验回归方程为 7.6 0.4y x  ，则 A．变量 x，y 之间呈负相关关系 B．变量 x，y 之间的相关系数 0.4r   C． 5m  D．样本点 (8 )m， 的残差为0.6 10．过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A B， ，交其准线于点C B， 在线 段 AC 上，若 | | 2 | |BC BF ，且 | | 4AF O ， 为坐标原点. 则下列说法正确的是 A． 2p  B．以 AB 为直径的圆与准线相切 C．直线 l 斜率为 3 3 D． 1 2 BCO ABO S S △ △ “兴酣落笔摇五岳，意气风发凌九霄” 2024—2025 学年下学期高三年级 期初考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 高三年级上学期期初考试数学学科试卷 第 2 页 共 3 页 G D E F B1 C1 B C A A1 11．如图：已知直三棱柱 1 1 1 1 2ABC A B C AB AC AA   ， ，且 AB AC ， D 为线段 BC 中点， E F， 分别为线段 1 1AB AC， 上的动点，且满足 6EF  ，点G 为线段 EF 的中点，则下列说法正 确的是 A．若 E 为 AB 的中点，则 //EF 平面 1ADC B．若 F 为 1 1AC 的中点，则 AG 平面 1A BC C．点G 到平面 ABC 的距离为定值 D．点G 的轨迹长度为 2 4  三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．函数 1 ln y x  的定义域为 ． 13．已知正项等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 4 4S  ，则 2 6S S 的最小值为 ． 14．若 2 ( )(ln ) 0x x ax a   ≤ 对 x e ≥ 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在 ABC△ 中， A 为钝角， 7a  ， 3 sin 2 cos 7 B b B ． （1）求 A ； （2）若 3b  ，求 ABC△ 的面积． 16．为了解 2024 年长春市居民网购消费情况，在全市随机抽取了 100 人，对其 2024 年全年网 购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间[0 30]， 内，并按[0 5)， ，[5 10)， ，…， [25 30]， 分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中 a 的值，并估计居民网购消费金额的中位数． （2）若将全年网购消费金额在 20 千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的 2 2 列联表，并判断能否依据小概率值 0.05  的 2 独立性检验认为样本数据中网购迷与性别 有关． 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 附：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        ，其中 n a b c d    ．  0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高三年级上学期期初考试数学学科试卷 第 3 页 共 3 页 17．已知函数 ( ) ln 1f x ax x a   R， ． （1）求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若不等式 2( ) ( 1)f x a x x ≥ 恒成立，求实数 a 的取值范围． 18. 已知椭圆 2 2 2 : 1 x M y a   的左，右焦点为 1 2F F， ，点 P 是椭圆上任意一点， 1 2PF PF 的最小值 是 2 ． （1）求椭圆M 的方程； （2）设 A，B 为椭圆的上、下顶点，C，D 为椭圆上异于 A，B 的两点，记直线 AC，BD 的 斜率分别为 1 2k k， ，且 2 1 3 k k  ． （ⅰ）证明：直线CD过定点 S ； （ⅱ）设直线 AC 与直线 BD 交于点Q ，直线QS 的斜率为 3k ，试探究 1 2 3 1 1 1 k k k ， ， 满足 的关系式，并给出证明． 19．日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观 起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图 (A) (B)， 所示，并配 上花结. 图(A)中，正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面 ABCD是正方形，且 3AB  ， 1 1AA  . （1）若 1 1 1 1 1 1 1 1 1AH AE B E B F CF CG D G D H        ，记点 H 关于平面 1 1F FGG 的对 称点为 1P ，点H 关于直线 1 1FG 的对称点为 2P . （ⅰ）求线段 1HP 的长； （ⅱ）求直线 1 2PP 与平面 ABCD所成角的正弦值. （2）据烘焙店的店员说，图 (A) 这样的捆扎不仅漂亮，而且可以比图 (B) 的十字捆扎更节 省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时 AH 、AE 、 1 1B E 、 1 1B F 、CF 、CG 、 1 1D G 、 1 1D H 这 8 条线段可能长短不一）