精品解析：湖北省咸宁市崇阳县第二高级中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

崇阳二中高二下学期数学开学考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线方程为. 故选：D 2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线方程得到值，则得到焦点到准线的距离. 【详解】，，所以焦点到准线的距离为2. 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆 B. 若，则点的轨迹为椭圆 C. 若，则点的轨迹为直线 D. 若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可. 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 4. 已知等比数列，，，则公比等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得. 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C 5. 若直线与直线平行，则两平行线间的距离（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 所以， 此时两直线方程为，，两直线平行， 直线与直线的距离为. 故选：D. 6. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求“方程表示焦点在轴上的双曲线”的等价条件，结合充要条件的定义判断结论. 【详解】“方程表示焦点在轴上的双曲线”等价于， 即， 所以“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的充要条件. 故选：C. 7. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可. 【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，设，可得：， 从而：， 结合题意可得：， 整理可得：， 即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过题干数据的边长关系，分析出是一个含的直角三角形，并结合椭圆的定义求解. 【详解】 因为，故落在的中垂线上，是的中点，故是斜边的中线，故，不妨设，则，在中，由余弦定理可算出，于是，，结合可得是等边三角形，故 连接，则为直角三角形，在中，由 可得：，根据椭圆定义：，则离心率. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则的最小值为11 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出通项公式，对于A，直接算出和即可；对于B，运用数列的函数特征判定即可；对于C，根据数列函数特征，找出正负相邻项即可；对于D，根据数列增减性，结合判定即可. 【详解】解析：设公差为，则， ，，， 对于A：，知A正确； 对于B，由知B正确； 对于C，由通项公式知道，知C错误； 对于D，由时，，且，知D正确. 故选：ABD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的方法求解夹角余弦值. 对于B，要判断直线与平面平行，可根据直线与平面内一条直线平行且直线不在平面内来判断. 对于C，求点到直线的距离，可利用向量的投影等知识求解即可. 对于D，求向量在另一个向量上的投影向量，根据投影向量的定义进行计算. 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 且，分别为棱，的中点，可知，， 可得，，，， 对于选项A：因为， 所以直线与所成角的余弦值为，故A错误； 对于选项B：，，设平面的法向量为， 则，令，解得， 所以，，因为，所以平面，B选项正确； 对于选项C：因为在方向上的投影向量的模长为，且， 点到直线的距离为，故C正确； 对于选项D：在上的投影向量为，D错误. 故选：BC. 11. 双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 B. 若，则 C. 当过点时，光线由所经过的路程为8 D. 反射光线所在直线的斜率为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式即可判断；对于B，判断出，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于C，利用双曲线的定义直接求得；对于D，先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围； 【详解】对于A，由双曲线C的方程为知双曲线的渐近线方程为：， 焦点到渐近线的距离为：，故A正确； 对于B，若，则. 因为P在双曲线右支上，所以.由勾股定理得：， 二者联立解得：.故B正确； 对于C，光由所经过的路程为 ， 故C不正确； 对于D，双曲线的渐近线方程为. 设左、右顶点分别为A、B.如图示： 当与同向共线时，的方向为，此时，最小. 因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.即.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的所有可能取值之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合递推关系式，分情况讨论，分别求出的值即可． 【详解】当时，则，可知或， 若，则； 若，则； 综上所述，或，即m的所有可能取值之和． 故答案为： 13. 已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线过定点，当直线与过定点的半径垂直时，弦长最短，由此计算可得． 【详解】由可得，令，解得， 故直线过定点，又，故点在圆内， 由圆可知圆心为，半径为， 则，则当直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 即有，解得，即直线， 整理得. 故答案为：. 14. 已知圆，圆，其中，，若两圆外切，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆外切推出，将其理解为以为圆心，半径为2的圆，而把看成过点与点的直线的斜率，结合图形需使直线与圆有公共点，即可求得其范围. 【详解】圆，则，半径， 圆，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 则点在以为圆心，半径为2的圆上，即在圆上， 令，则表示过点与点的直线的斜率， 则该直线一定过点，且与圆有公共点， 由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在（若斜率不存在，则直线与圆相离）， 设该直线方程为，即， 设圆心到直线的距离为，则，即 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用等差数列性质公式计算即可. （2）运用分组求和，结合等差等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 设的公差为d，因为，所以， 又，则， 故， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得： 16. 已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆的弦的中垂线经过圆心，结合题设求出圆心和半径，即得圆的方程； （2）由弦长求出圆心到弦的距离，设直线的方程为，由点到直线的距离公式列方程，解之即得. 【小问1详解】 因为点，，所以直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为1.因线段的中点为， 则线段的垂直平分线的方程为. 由解得故圆心，半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，则点到直线的距离. 由，解得或， 所以直线的方程为或. 17. 已知数列各项均为正数，设数列的前n项和为，其中 （1）求数列的通项公式; （2）令，求数列的前n项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用前n项和与通项公式的关系证明是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可. （2）写出新数列的通项公式，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求和即可. 【小问1详解】 ，当时，，得或舍， 当时，，， 即，数列的各项均为正数，即， ，即数列是首项为1，公差为1的等差数列， 【小问2详解】 ，①， ②， ①-②得： ， 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分别为AB，PC的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面所成角为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在，点为中点. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （3）由（2）可得直线两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 在四棱锥中，取的中点，连接，由分别为的中点， ，又四边形是菱形，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. 小问2详解】 取的中点，连接，由，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，由平面，平面， 得，又平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知，，又四边形是菱形，则四边形是正方形， 直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假定在棱PA上存在一点E，满足条件，令， ，， 设平面的一个法向量，则，取，得， 则直线DE与平面所成角正弦值， 解得，所以在棱PA上存在一点E，使得直线DE与平面所成角为，点为中点. 19. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件可知当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，由此可计算椭圆标准方程. （2）设，表示，利用点在椭圆上可求结果. （3）设l的方程为，与椭圆方程联立，利用可计算出的值，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，. 当点在椭圆上、下顶点处时，面积的最大，此时面积为， ∴，∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 设，则，即， ∴． 【小问3详解】 由题意知直线l的斜率不为0，设l的方程为，，． 由得， ， ∴，， ∴，， ∵，∴，即， ∴， 解得或（舍）． 当时，满足，此时MN的方程为，故直线MN过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇阳二中高二下学期数学开学考试 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确是（ ） A. 若，则点的轨迹为椭圆 B. 若，则点的轨迹为椭圆 C. 若，则点的轨迹为直线 D. 若，则点的轨迹为双曲线的一支 4. 已知等比数列，，，则公比等于（ ） A. B. C. D. 2 5. 若直线与直线平行，则两平行线间距离（ ） A. B. C. D. 6. “”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 8. 已知椭圆的左焦点为轴上的点在椭圆外，且线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 的前10项和为50 B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 若，则最小值为11 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成角的余弦值为 B. 平面 C. 点到直线的距离为1 D. 在上的投影向量为 11. 双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（ ） A. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 B. 若，则 C. 当过点时，光线由所经过的路程为8 D. 反射光线所在直线的斜率为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足：（m为正整数），，若，则m的所有可能取值之和为__________. 13. 已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为__________. 14. 已知圆，圆，其中，，若两圆外切，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知圆的圆心在直线上，且点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 17. 已知数列各项均为正数，设数列的前n项和为，其中 （1）求数列的通项公式; （2）令，求数列的前n项和 18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分别为AB，PC的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面所成角为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 19. 已知，分别是椭圆的左、右顶点，P（异于点A，B）是C上的一个动点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）记直线PA，PB的斜率分别为，，求的值； （3）直线l交椭圆C于M，N两点（异于A，B两点），直线AM，AN的斜率分别为，，且，证明：直线MN过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $