4.2　提公因式法 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

第2课时　提公因式法(二) 1.提取公因式后,要注意结果的检查: (1)结果中单项式应放在多项式因式的前面; (2)要“提净”“分完”,提公因式后还能再提取公因式的要继续分解,相同因式需要写成幂的形式. 2.掌握符号变化规律: (x-y)2n =(y-x)2n, (x-y)2n+1 =-(y-x)2n+1. 公因式为多项式的因式分解 把下列各式因式分解: (1)xy(x-y)-x(x-y)2; [易错提示] (1)公因式也可以是相同的多项式;(2)提公因式后,如果多项式中有同类项,要注意合并同类项,合并同类项后如有公因式要继续提取公因式. (2)(2a+b)(2a-3b)+4a(2a+b). 解:原式=x(x-y)(y-x+y) =x(x-y)(2y-x). 解:原式=(2a+b)(2a-3b+4a) =(2a+b)(6a-3b) =3(2a+b)(2a-b). 把下列各式因式分解: (1)x(x-y)+2y(y-x); (2)10a(x-y)2+5a(y-x)3; (3)(m-n)4+m(m-n)3+n(n-m)3; 解:原式=x(x-y)-2y(x-y) =(x-y)(x-2y). 解:原式=10a(y-x)2+5a(y-x)3 =5a(y-x)2(2+y-x). 解:原式=(m-n)3·[(m-n)+m-n] =(m-n)3·(2m-2n) =2(m-n)3·(m-n) =2(m-n)4. [方法归纳] 当多项式中有互为相反数的因式时,经常通过改变符号变成公因式,改变的原则是:变后不变前,变偶不变奇. 1.把下列各式因式分解: (1)2(a-b)2-a+b; (2)6p-4q; (3)5xy-20x. 解:原式=2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1). 解:原式=2. 解:原式=5xy+20x =5x(x-2y)2[y+4(x-2y)] =5x(x-2y)2(4x-7y). 提取公因式的应用 先因式分解,再求值:3(x-2)2(x-7)+11(2-x)(7-x),其中x=1. 解:原式=(x-2)(x-7)[3(x-2)+11] =(x-2)(x-7)(3x+5). 当x=1时, 原式=(1-2)×(1-7)×(3+5) =(-1)×(-6)×8 =48. 2.已知(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b),其中a,b均为整数,求a+3b的值. 解:(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13) =(3x-7)(2x-21-x+13) =(3x-7)(x-8). ∵(2x-21)(3x-7)-(3x-7)(x-13)可因式分解为(3x+a)(x+b), ∴(3x-7)(x-8)=(3x+a)(x+b), 则a=-7,b=-8, ∴a+3b=-7+3×(-8)=-31. $$2　提公因式法 第1课时　提公因式法(一) 1.公因式的概念:多项式各项都含有的　 　,叫做这个多项式各项的公因式.公因式可以是单项式,也可以是多项式. 2.如果一个多项式的各项含有　 　,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式　 　的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法. 相同因式 公因式 乘积 注:(1)确定公因式要从系数、字母以及次数三方面入手,公因式的系数取各项系数的最大公因数,字母取各项都含有的相同字母,指数取相同字母的最低次幂.公因式可以是一个数字(或一个字母),也可以是单项式或多项式; (2)多项式的首项前有负号,一般应先提取负号,使括号内的第一项系数为正数,同时注意括号内其他各项都要变号; (3)提公因式时,应先确定公因式,再确定剩余的因式;当某项恰好是公因式时,提取后该项为1,注意不要漏项. 公因式的概念 指出下列各组式子中的公因式: (1)ax,ay; (2)15p2,-10p; (3)12xyz,-9x2y2z,6x2z2; (4)12a(a+b)2,10ab(a+b),15a2(a+b). 解:(1)a.　 (2)5p.　 (3)3xz.　 (4)a(a+b). 1.下列各式中,公因式是a的是 (　 　) A.ax+ay-2 B.2ma-4ma2 C.4a2+6ab D.a2-2a+ma 2.(1)2x3-8x的公因式是　 　; (2)(2024·成都七中)多项式3a2y-3ay+6y的公因式是　 　; (3)-27a2mbn+1+36am+1b2n+9ambn的公因式是　 　. D 2x 3y -9ambn 公因式为单项式的因式分解 把下列各式因式分解: (1)2ab2-a2b; [方法归纳] 提公因式法的一般步骤:(1)确定应提取的公因式;(2)多项式除以公因式,所得的商作为另一个因式;(3)把多项式写成这两个因式的积的形式. 解:原式=ab(2b-a). (2)6y2+18y+6; 解:原式=6(y2+3y+1). (3)-9m2n+27mn2-18mn. 解:原式=-9mn(m-3n+2). 3.因式分解: (1)(2024·宿迁)x2+4x=　 　; (2)2a2b+3ab2=　 　; (3)24m2n-18n=　 　; (4)-x3-xy+xz=　 　; (5)-6ab+18abx+24aby=　 　. x(x+4) ab(2a+3b) 6n(4m2-3) -x -6ab(1-3x-4y) 4.利用提公因式法说明:对于任意正整数n,多项式-2n必有一个因数30. 解:∵2n+4-2n=2n×(24-1)=30×2n-1, ∴对于任意正整数n,多项式2n+4-2n必有一个因数30. $$