专题9.1 平移（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.1 平移（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【要点提示】 （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 【知识点2】平移的性质 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【要点提示】 （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 【知识点3】平移的作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出表示图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 考点与题型目录 【考点一】平移现象与图形的识别 【题型1】生活中的平移现象...................................................2 【题型2】图形的平移的识别...................................................3 【考点二】平移的性质 【题型3】平移性质的判断.....................................................5 【题型4】利用平移性质的求值.................................................6 【题型5】利用平移性质解决实际问题...........................................8 【考点三】平移的作图 【题型6】利用平移的性质作图与求值..........................................11 【题型7】利用平移的性质与平行线性质与判定综合..............................13 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考..........................................................16 【题型9】拓展延伸..........................................................18 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】平移现象与图形的识别 【题型1】生活中的平移现象 【例1】（23-24七年级下·青海海东·阶段练习）下列现象是数学中的平移的是 （填序号）． ①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动． 【答案】①② 【分析】此题考查的知识点：平移的概念；平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 解：①、苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，是平移； ②、汽车在平直的公路上行驶，只沿着水平方向改变，是平移； ③、骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转； ④、卫星绕地球运动，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转； 故答案为①② 【变式1】（23-24七年级下·广西来宾·阶段练习）下列运动属于平移的是（） A．落叶随风飘零 B．行驶的自行车后轮 C．火箭升空的运动 D．翻开数学课本 【答案】C 【分析】本题考查平移的定义，熟记平移的定义是解题的关键．利用平移的定义进行判断即可． 解：A．落叶随风飘零不是平移，不符合题意； B．行驶的自行车后轮不是平移，不符合题意； C．火箭升空的运动是平移，符合题意； D．翻开数学课本不是平移，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·北京·阶段练习）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象．分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案． 解：利用平移的性质得：甲、乙、丙都可以变成边长为a和b的矩形，所用铁丝的长度都为：， 故． 故答案为：． 【题型2】图形的平移的识别 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A．比 B．立 C．秝 D．鼎 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，根据四个选项的甲骨文，比字的甲骨文是能用其中一部分平移得到的，即可作答． 解：结合平移的性质，观察四个选项， 唯有是能用其中一部分平移得到的， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．      【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质，的对应边是，求出的长度，，则是直角三角形，是直角，则是梯形的高，根据的长度求出的长度，利用梯形的面积公式求出答案． 解：∵，， ∴，， 又∵是梯形高 ． 故答案为：． 【考点二】平移的性质 【题型3】平移性质的判断 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质“平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度）”即可进行判断． 解：把向右平移得到， ∴，，， ∴A，B，C选项正确，D选项错误 故选：D． 【变式1】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，是沿方向平移后得到的，则平移的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解答本题的关键要明确：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形可直接求解． 解：观察图形可知：是沿向右移动的长度后得到的， ∴平移距离就是线段的长度． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向，得到，，，则，据此即可解答． 解：∵三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形， ∴，，， ∴ ∴②，③，④选项正确，不能得出，故④不正确，一定成立的结论有3个． 故答案为：3． 【题型4】利用平移性质的求值 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿方向平移，得到． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 解：（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 【变式1】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，，根据已知可得，，结合，进而根据四边形周长之差即可求解． 解：∵将三角形沿方向平移得到， ∴， ∴，即， ∵ ∴，， 四边形与四边形周长之差为 ∵ ∴四边形与四边形周长之差为， 故选：A． 【变式2】（21-22七年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的基本性质是解题的关键．根据平移的性质，可得答案． 解：∵，将沿射线的方向平移2个单位， ∴， ∴，的高的高的高， ∴， 故答案为：6． 【题型5】利用平移性质解决实际问题 【例5】（23-24七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） （3）经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【答案】（1），；（2）；（3）元 【分析】本题考查了平移的实际应用，能将图形中的等宽路利用平移重合组合成一个矩形是解题的关键． （1）利用平移的思想将分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可得出和，即可解决； （2）利用平移的思想将分成的四块草地可以通过平移重新组合成一个长方形即可； （3）代入数据求值即可． 解：（1）解：由图1可得小路是长为，宽为的长方形， 则分成的两块草地可以通过平移重新组合成一个长为米，宽为的长方形， 则， 由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个长方形， 由图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线， 则， 故答案为：，； （2）由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为米，宽为米的长方形， 则； （3）当，时， ， 因为铺草地平均每平方米需要花费元， 所以铺设这块草地一共需要花费（元）， 答：铺设这块草地一共需要花费元． 【变式1】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 【变式2】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平移的概念，如图， 将平移得，将平移得，进而得到一个正六边形，因此可得x的值为． 解：如图所示，令等边三角形为，将平移得，将平移得，   ， 又六边形是正六边形， ， 故答案为：． 【题型6】利用平移的性质作图与求值 【例6】（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 【答案】见分析 【分析】本题考查了作图——作已知线段的平行线和平移作图，掌握平移的性质是解答本题的关键． ①根据平移的定义作图即可； ②根据平行线的定义作图即可． 解：如图，和线段即为所求． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 【变式2】（18-19八年级上·全国·单元测试）在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换称为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形,则至少需要移动 格. 【答案】9 【分析】要使平移的个数最少,可将它们朝同一目标共同移动,此时需要平移的格数最少. 解：将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形,如图,先将左边的线段向右平移3格,再将中间的线段向下平移2格,最后将右边的线段向左平移2格,再向上平移2格,即可得到一个三角形,这种平移方法平移的格数最少,∴至少需要移动3+2+2+2=9格.如下图. 【点拨】本题考查由图形平移产生的计算 【题型7】利用平移的性质与平行线性质与判定综合 【例7】（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见分析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质．掌握平移的性质和恰当分类是解题的关键．分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 解：当点在线段上时， ∵， ， ， ∴ ． 当点在的延长线上时， ∵， ， ，， ． 故选：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了平行线性质，以及平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据图形平移的性质以及平行线的性质对各小题进行解答即可． 解：由平移的性质可知，，，， 故①、⑤正确； 根据题意得不到， 故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， 故③正确； ∵不一定等于， 故证明不出， 则不一定等于， 故④错误； 综上所述，正确的有①③⑤； 故答案为：①③⑤． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型8】链接中考 【例1】（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为． 故答案为：30． 【例2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长． 解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B． 【点拨】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【题型9】拓展延伸 【例1】（22-23七年级下·北京海淀·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． 【答案】（1）见分析；（2）①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②． 【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可； （2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 解：（1）证明：补全图形如图所示，作， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 即    （2）解：①分两种情况： 点在直线的上方时，如图所示：    由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得； 点在直线的下方时，如图所示：   ， ∴， 整理，得； ②作，如图所示：    ∵， ∴点到直线的距离就是线段的长， ∵， ∴点到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示：    由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键． 【例2】（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】（1）90；（2）①；②或 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 解：（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.1 平移（3大知识点4大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【要点提示】 （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 【知识点2】平移的性质 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【要点提示】 （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 【知识点3】平移的作图 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． （1）定：确定平移的方向和距离； （2）找：找出表示图形的关键点； （3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； （4）连：按原图形顺次连接对应点． 考点与题型目录 【考点一】平移现象与图形的识别 【题型1】生活中的平移现象...................................................2 【题型2】图形的平移的识别...................................................2 【考点二】平移的性质 【题型3】平移性质的判断.....................................................3 【题型4】利用平移性质的求值.................................................4 【题型5】利用平移性质解决实际问题...........................................5 【考点三】平移的作图 【题型6】利用平移的性质作图与求值...........................................6 【题型7】利用平移的性质与平行线性质与判定综合...............................7 【考点四】链接中考与拓展延伸 【题型8】直通中考...........................................................8 【题型9】拓展延伸...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】平移现象与图形的识别 【题型1】生活中的平移现象 【例1】（23-24七年级下·青海海东·阶段练习）下列现象是数学中的平移的是 （填序号）． ①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动． 【变式1】（23-24七年级下·广西来宾·阶段练习）下列运动属于平移的是（） A．落叶随风飘零 B．行驶的自行车后轮 C．火箭升空的运动 D．翻开数学课本 【变式2】（23-24七年级下·北京·阶段练习）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是 ． 【题型2】图形的平移的识别 【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A．比 B．立 C．秝 D．鼎 【变式1】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【变式2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，将沿边向右平移得到，交于点G．已知，，，则图中阴影部分面积为 cm2．      【考点二】平移的性质 【题型3】平移性质的判断 【例3】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，是沿方向平移后得到的，则平移的距离是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有 个． 【题型4】利用平移性质的求值 【例4】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿方向平移，得到． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【变式1】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，将三角形沿方向平移得到，与交于点．此时满足．若，则四边形与四边形周长之差为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（21-22七年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【题型5】利用平移性质解决实际问题 【例5】（23-24七年级下·广西南宁·期中）政府准备在一块长a米，宽b米的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为，图2中小路的左边线向右平移1m就是它的右边线． （1）分别设方案一和方案二的草地面积为、，则______（用含a、b的式子表示），______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）如图3，在这块草地上修纵横两条宽1m的小路，求草地的面积S；（用含a、b的式子表示） （3）经讨论后决定选用方案三的方案，若，，且铺草地平均每平方米需要花费元，那么铺设这块草地一共需要花费多少元？ 【变式1】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【变式2】（2024·江西南昌·模拟预测）如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为 ．    【题型6】利用平移的性质作图与求值 【例6】（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知在网格中，每个小格均为边长是1的正方形，和线段的位置如图所示，小睿想利用这两个图形画出一个跷跷板，于是他按照以下两个步骤来画： ①将平移，使得顶点平移至，画出平移后的． ②过做线段和线段平行且相等，使得恰好为线段的中点． 请按照小睿的画法画出图形． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】（18-19八年级上·全国·单元测试）在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形变换称为平移,如图,将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个首尾依次相接的三角形,则至少需要移动 格. 【题型7】利用平移的性质与平行线性质与判定综合 【例7】（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【变式1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在直角三角形中，，将沿直线向右平移得到，连接，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填序号）． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型8】链接中考 【例1】（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【例2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【题型9】拓展延伸 【例1】（22-23七年级下·北京海淀·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． 【例2】（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$