专题8.2 平方根（分层专项练习）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题8.2 平方根（分层专项练习） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（山西省运城市2024-2025学年上学期期末测试八年级数学试卷）的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，的算术平方根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是5 C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）若，则的值是（　　） A．10 B． C．3 D． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如，则当时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 8．（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（23-24八年级下·河北承德·期末） ． 10．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）的算术平方根是 ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 12．（23-24七年级下·广东广州·期中）方程的解为 ． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若a，b为实数，且，则 ． 14．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）设的整数部分为，小数部分为，则的平方根是 ． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值． （1） （2） 16．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）计算： （1）； （2）． 17．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求这个正数． （2）求的算术平方根． 18．（本小题满分10分）（21-22七年级上·浙江杭州·期中）如图1所示的是一个长为2a，宽是2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积． 方法一：　 　； 方法二：　 　． （3）观察图2，你能写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的数量关系吗？ （4）当＝b＝3，求阴影部分的面积． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 20．（21-22八年级上·山东青岛·阶段练习）若实数a、b满足与互为相反数，则的值为 ． 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为 ． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的值是 ． 23．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①对顶角相等；②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；③已知正实数的平方根是和，若，则；④若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；其中真命题是： ．（请填序号） 四、解答题 24．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根． 25．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． （1）若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； （2）若输出的值是，求的负整数值． 26．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： （1）的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； （2）已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； （3）已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 27．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． （1）这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数…是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（本小题满分5分）（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（本小题满分10分） （19-20七年级·浙江·期末）计算 （1） （2） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.2 平方根（分层专项练习） 本专题分为【夯实基础】【培优拓展】【链接中考】三部分，其中【夯实基础】70分，【培优拓展】60分，【链接中考】20分，合计150分. 第一部分：夯实基础 一、选择题（本大题共8个小题,每小题3分,共24分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（山西省运城市2024-2025学年上学期期末测试八年级数学试卷）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义，如果一个数的平方是，那么这个数是的平方根．因为，所以是的平方根． 解：， 的平方根是． 故选：A ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，的算术平方根为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根和算术平方根，解题的关键先根据算术平方根的定义求得a的值，然后再依据平方根的定义得到b的值． 解：∵的算术平方根为，， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的算术平方根是5 C．的平方根是 D．1的平方根和算术平方根都是1 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据平方根、算术平方根的性质和应用，逐项判定即可． 解：A、的平方根是，正确，故此选项符合题意； B、的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、1的平方根是，1的算术平方根都是1，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·全国·课后作业）若，则的值是（　　） A．10 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，属于常考题型，熟知完全平方式和二次根式的非负性是解答的关键． 根据非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x与y的值，然后代入所求式子计算即可． 解：由题意可知：， 解得：， 所以． 故选B． 6．（24-25七年级上·全国·假期作业）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 解：，， ， 故选：B． 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如，则当时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根，根据题意列出方程，是解题的关键．根据题意先得出，，再根据列出方程，解方程即可． 解：根据题意得：， ， ∵，， ∴， 解得：， 故选：C． 8．（24-25八年级上·河南周口·期中）对于任意的正数x，y定义运算“#”：，则计算的结果为（   ） A． B． C．14 D．10 【答案】D 【分析】此题考查了新定义，算术平方根的意义，弄清题中的新定义是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 解：∵， ∴ ． 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（23-24八年级下·河北承德·期末） ． 【答案】0 【分析】本题考查了勾股数问题、算术平方根．根据勾股数代入计算即可求解． 解：， 故答案为：0． 10．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）的算术平方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可． 解：， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】4或6/6或4 【分析】本题考查了算术平方根的性质，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根的有关性质，根据算术平方根等于它本身的数有0和1计算即可． 解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或6． 12．（23-24七年级下·广东广州·期中）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把未知数的系数化为1，然后开平方即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若a，b为实数，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性、求算术平方根，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．根据算术平方根和偶次方的非负性可得，从而可得的值，再代入计算算术平方根即可得． 解：∵为实数，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 14．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）设的整数部分为，小数部分为，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算．由于，所以可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共28分） 15．（本小题满分8分）（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值． （1） （2） 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了求平方根知识点，熟练掌握求平方根的方法是解本题的关键； （1）将等式整理为，再直接开平方计算求值即可； （2）直接开平方计算求值即可． 解：（1）解：， ， ； （2）， ， 或 16．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是算术平方根，立方根，化简绝对值． （1）分别计算算术平方根，立方根，再合并即可； （2）分别计算算术平方根，化简绝对值，再合并即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解： ． 17．（本小题满分10分）（24-25八年级上·江西景德镇·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求这个正数． （2）求的算术平方根． 【答案】（1）16；（2）2 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握定义，是解题的关键． （1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a，再求出这个数即可； （2）先根据a的值，求出的值，再求出其算术平方根即可． 解：（1）解：由题意可得， 解得， ∴这个正数是； （2）解：由（1）知， ∴． 18．（本小题满分10分）（21-22七年级上·浙江杭州·期中）如图1所示的是一个长为2a，宽是2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个同等大小的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于 　 　； （2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积． 方法一：　 　； 方法二：　 　． （3）观察图2，你能写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的数量关系吗？ （4）当＝b＝3，求阴影部分的面积． 【答案】（1）a﹣b；（2）（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2；（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（4）36 【分析】平均分成后，每个小长方形的长为a，宽为b． （1）正方形的边长＝小长方形的长﹣宽； （2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的边长乘边长； （3）利用（2）中两种不同的方法表示的是同一个图形的面积解答即可； （4）利用平方根的定义，求出a，b，然后代入（2）中结论可求解． 解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝a﹣b； 故答案为：a﹣b； （2）方法①（a+b）2﹣4ab；方法②（a﹣b）2； 故答案为：（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2； （3）这三个代数式之间的等量关系是：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）∵＝b＝3， ∴a=9，b=3， ∴S阴影=（a﹣b）2＝（9﹣3）2＝36， ∴阴影部分面积为36． 【点拨】本题考查了列代数式的知识，读懂题意、利用图形的面积和边的关系建立等量关系，理解平方根的定义是解题的关键． 第二部分：培优拓展 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 【答案】4048 【分析】本题考查平方根和相反数的性质、求代数式的值，熟练掌握平方根和相反数的性质是解题的关键． 根据平方根的性质可知、互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果． 解：∵是2024的两个平方根， ， 故答案为：4048． 20．（21-22八年级上·山东青岛·阶段练习）若实数a、b满足与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用非负数的性质可求得a与b的值，从而可求得代数式的值． 解：∵与均为非负数，且互为相反数 ∴， 即， ∴， 当，时， 故答案为： 【点拨】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，二次根式的计算，关键是根据非负数的性质求得a与b的值． 21．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上的点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的应用、实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由题意得出，再利用数轴上两点之间的距离公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：面积为2的正方形的顶点在数轴上， ， ， 点在数轴上，且表示的数为， 数轴上的点所表示的数为， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算以及实数的新定义的运用，根据新运算法则，先进行分类讨论，即，或当，分别算出x的范围，再进行化简计算，即可作答． 解：依题意，∵当时，； ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，故此种情况不符合题意； ∵当时，． ∴当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①对顶角相等；②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；③已知正实数的平方根是和，若，则；④若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；其中真命题是： ．（请填序号） 【答案】①②③ 【分析】由对顶角的性质判断①，由总体的含义判断②，由平方根的含义及利用平方根解方程可判断③，利用数轴及绝对值的含义可判断④，从而可得答案. 解：①对顶角相等是对顶角的性质，是真命题； ②为了了解某校七年级600名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，总体是指600名学生的体重；符合总体的含义，是真命题； ③由题可知，， ， ，则正实数；是真命题， ④不等式可以看作在数轴上， 其中点所表示的数是， 则数对应的点到数对应的点与对应的到数4对应的点的距离之和， 如图， 距离之和的最小值是，，则的最大值是3.故是假命题， 综上：真命题有：①②③ 故答案为：①②③ 【点拨】本题考查的是对顶角的性质，总体的概念，平方根的含义，利用平方根解方程，数轴，真假命题的判断，掌握以上知识是解题的关键. 四、解答题 24．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）已知实数a、b、c、d、m，若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的平方根． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算． 直接利用互为相反数以及倒数和绝对值的性质得出代数式的值，再利用平方根的意义进而得出答案． 解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为． 25．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． （1）若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； （2）若输出的值是，求的负整数值． 【答案】（1）1或2或3，理由见分析；（2）或． 【分析】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （2）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 解：（1）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （2）解：若1次运算就是， ∴， ∴， ∴解得或， ∵x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴， ∴， ∴解得或， ∵， ∴不符合题意， 综上所述，或． 26．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）我们知道，于是我们说：“的整数部分为1，小数部分则可记为”．则： （1）的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________； （2）已知的小数部分是a，的小数部分为，那么__________； （3）已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的平方根． 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键． （1）先估算出的取值范围，再确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出和的取值范围，再确定a与b的值，最后代入代数式计算即可； （3）先估算出的取值范围，再确定、的值，最后代入代数式计算即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为， 故答案为； （2）解：∵， ， ， ∴的整数部分为3，小数部分为； ， ， ∴的整数部分为5，小数部分为， ， 故答案为：1； （3）解：， ， ， ∴的整数部分为，小数部分为， ， ∴9的平方根为． 27．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． （1）这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； （2）若三个数…是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【答案】（1）三个数是“完美组合数”，理由见分析；（2） 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义判断即可； （2）分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可． 解：（1）是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，10，5，2都是整数， ∴三个数是“完美组合数”． （2）当时，， 解得．不符合定义，舍去． 当时，， 解得． 此时， ，且10，40，20都是整数， ∴，是“完美组合数”，符合题意． 综上，． 第三部分：链接中考 28．（本小题满分5分）（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定． 解：A.，故该选项不正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项正确，符合题意；     D.，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 29．（本小题满分5分）（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解． 解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 30．（本小题满分10分） （19-20七年级·浙江·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据算术平方根可进行求解； （2）先算乘方，然后再乘除运算，最后计算减法即可． 解：（1）原式=； （2）原式=． 【点拨】本题主要考查算术平方根及有理数的乘方，熟练掌握算术平方根及有理数的乘方运算法则是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$