备战2025年中考——几何图形初步+相交线与平行线（综合压轴题分类专题）（5）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

备战2025中考——几何图形初步+相交线与平行线（综合压轴题分类专题）（5） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】正方体几种展开图的识别...............................................1 【考点2】正方体相对两面上的字.................................................2【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等....................................3 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数........................4 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数......................4 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系.......5 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线..........................................6 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数.............7 【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数........................8 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题..................9 【考点11】平行线性质与判定综合...............................................10 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值.......................................................10 【考点13】求最值.............................................................12 【考点14】推理证明与解答.....................................................13 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】正方体几种展开图的识别 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（    ） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小实同学设想将一个正方体纸盒展成平面图形，并把平面图形放在12月的日历上，使其覆盖的日期和为69，满足她设想的图形为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，请你在图中标注数字的位置选择添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子，则添加的位置可以是 ．（写出一种即可） 【考点2】正方体相对两面上的字 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 2．（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字和相等，则的值为 ． 【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，，射线分别交，于点，，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为 ． 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，平分，若，则的度数为 ． 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，与互余，与的余角互补， 则等于（    ） A． B． C． D． 3．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ． 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，，按下列步骤作图： ①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ③作射线交于点F． 若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D．2 3．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ． 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 2．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山西吕梁·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【考点11】平行线性质与判定综合 1．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·上海·模拟预测）如图，，，，那么 度． 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 5．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 6．（2014·四川达州·中考真题）《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图． 由图易得：= ． 【考点13】求最值 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 2．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为 ． 3．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【考点14】推理证明与解答 1．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——几何图形初步+相交线与平行线（综合压轴题分类专题）（5） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】正方体几种展开图的识别...............................................1 【考点2】正方体相对两面上的字.................................................3【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等....................................5 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数........................7 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数......................9 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系......11 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线.........................................13 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数............17 【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数.......................19 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题.................22 【考点11】平行线性质与判定综合...............................................25 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值.......................................................27 【考点13】求最值.............................................................33 【考点14】推理证明与解答.....................................................37 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】正方体几种展开图的识别 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（    ） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 【答案】B 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点A距离最远的顶点是C， 故选：B． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小实同学设想将一个正方体纸盒展成平面图形，并把平面图形放在12月的日历上，使其覆盖的日期和为69，满足她设想的图形为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方体的展开图及一元一次方程在日历上的应用，正确判断正方体的展开图、掌握日历规律是关键． 根据题意用a表示出其他五个数，并列出一元一次方程，求解并结合日历的日期为整数及正方体的展开图即可得出答案． 解：A．，则，解得：，不合题意； B．，则，解得：符合题意； C．，则，解得：，不合题意； D．，则，解得：，但不是正方体的展开图，不合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，请你在图中标注数字的位置选择添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子，则添加的位置可以是 ．（写出一种即可） 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方体的侧面展开图的复原，掌握把不同的侧面展开图成功复原成正方体的方法是解题的关键． 结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 解：如图所示， 选择A，B，C，D处的任一正方形，都可以使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体， ∴在②添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子． 故答案为：②． 【考点2】正方体相对两面上的字 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强．将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（    ） A．自 B．立 C．科 D．技 【答案】C 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键． 根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面， ∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，找出变化的规律是解题的关键． 先向右翻滚，然后按逆时针方向旋转，叫做一次变换，那么连续次变换则是一个循环．本题先要找出次变换是一个循环，然后再求被整除后余数是几，从而确定第次变换后的点数． 解：第一次变换后朝上一面的点数为5， 第二次变换后朝上一面的点数为6， 第三次变换后朝上一面的点数为3， 第四次变换后朝上一面的点数为5， 连续3次变换是一个循环， 余， 连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 故选：． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字和相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知与1是相对面，和是相对面，和是相对面，通过题目正方体中相对的面上的数相等列出方程，即可求解． 本题考查正方体展开图，解一元一次方程． 解：通过观察图形可知： 与1是相对面，和是相对面，和是相对面， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， 故答案为：． 【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 解：， ． 故选：B． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，，射线分别交，于点，，于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，根据对顶角的性质可得，根据平行线的性质可得，从而可求得的度数． 解： 由对顶角相等，可得． ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线，对顶角，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意求出的度数，再由外角的性质求出答案即可． 解：由题意可知，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 解：， ，； 平分， ． ． 故选：C 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在中，平分，．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形外角的性质等知识，根据角平分线定义求出根据平行线的性质得出，由得出，由三角形外角性质得出，从而得出． 解：∵平分，且， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ 故选：C． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义等知识点，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．首先根据三角板的性质算出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数． 解： 在和中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 3．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 解：过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，，， ∴，， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，补角的定义等知识，利用平行线的性质得出，得出结合对顶角的性质，根据邻补角的定义得出，即可求出中与互补的角，即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴图中与互补的角有，，，共3个． 故选∶C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，与互余，与的余角互补， 则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意，得到，得到，平角的定义求出， 解：与互余，与的余角互补， ， ， ， ， ∵， ， 故选：C 3．（20-21七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的补角，则∠BAH的度数是 ． 【答案】/度 【分析】首先设，，过点作，过点作，根据平行线的性质，可得，，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． 解：如图，    设，， ，与的平分线交于点， ，，，， 过点作，过点作， ， ， ，，，， ，， 的余角等于的补角， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点拨】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线 1．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 2．（2022·河北·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C中能用垂线段最短进行解释，符合题意； D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选：C． 3．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，，按下列步骤作图： ①在和上分别截取、，使． ②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点． ③作射线交于点F． 若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了作角平分线，正弦，垂线段最短，三角形内角和定理等知识，由作图可知，是的平分线，可求，如图，作于，则，由，可知当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为，计算求解即可，确定线段和最小的情况是解题的关键． 解：由作图可知，是的平分线， ， 如图，作于， ， ， 当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， 故选：A． 3．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程，    ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（　　） A．南偏东方向 B．北偏西方向 C．南偏东方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键． 作，根据平行线的性质得，再根据，可得，根据方向角的定义即可得到答案． 解：如图，作， 则， ， ， ， ， 科技馆位于小亮家的南偏东方向， 故答案为：A． 2．（2024·浙江杭州·二模）利用尺规作图，过直线外一点P作已知直线的平行线．下列作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图，平行线的判定，尺规作图−作一个角等于已知角；尺规作图−作角的平分线；尺规作图−垂直平分线，痕迹为作等角判断A，痕迹为等腰与角平分线角度转换判断B，同理进行角度转换判断C，利用圆的对称性及垂直平分线的性质检验D． 解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于B，此时作的角平分线及作等腰，故，即内错角相等，两直线平行，符合题意； 对于C，以P为圆心为半径，交于点C、交延长线于点D，此时，再分别以C和D为圆心作出角平分线， 故，易得，即同位角相等，两直线平行，符合题意； 对于D，以C为圆心，为半径作弧交于点D，即有，再分别以D和P为圆心作出线段的垂直平分线交弧于点G，易得，但无法证明此时，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，点在点北偏东方向，点在点北偏西方向，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了方向角，平行线的判定和性质，过点作，可得，即得，，再根据角的和差即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：．    【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，则，与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点E作，过点F作，根据平行线的性质可求得，，，所以，再证明，即可代入得到答案． 解：过点E作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 3．（22-23七年级下·山西吕梁·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点拨】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 解：如图，过作，过作，    又∵， ∴， ∴，， ， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点11】平行线性质与判定综合 1．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解． 解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图： 根据题意：， ， ， ， ， ， 相交于点， ， ， 故选：C． 【点拨】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 解：过作，    ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 3．（2023·上海·模拟预测）如图，，，，那么 度． 【答案】100 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过点作，设，，证明，根据“两直线平行，内错角相等”可得，，结合求得的值，进而可得的值，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可获得答案． 解：如下图，过点作， 根据题意，，， ∴可设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：100． 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值 1．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    2．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】先求出AB，OA1，再作辅助线构造相似三角形，如图所示，得到对应边成比例，求出OC和A1C，即可求解． 解：如图所示，∵点A，B的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0）， ∴OB=1，OA=2， ∴， ∵∠AOB=90°， ∴∠A1OB1=90°， ∴O A1⊥OB1， 又∵AB⊥OB1， ∴O A1∥AB， ∴∠1=∠2， 过A1点作A1C⊥x轴， ∴∠A1CO=∠AOB， ∴， ∴， ∵O A1=OA=2， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点拨】本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握相关概念，能通过作辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 3．（2024·山东·中考真题）如图，是的内接三角形，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解． 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 5．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2014·四川达州·中考真题）《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图． 由图易得：= ． 【答案】 解：一根木棍，第一次取其一半，得=1－； 第二次取其一半，得=1－（）； 第三次取其一半，得=1－（）； …… 第n次取其一半，得=1－（）， 所以=1－． 故答案为1－． 【考点13】求最值 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 2．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为 ． 【答案】7 【分析】过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果. 解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D， 可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC， ∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称， ∴PA+PE=PD+PE， 当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长， 观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=， ∵点E是AB中点， ∴BE+BD=3BE=， ∴BE=，AB=BD=， ∵∠BAC=120°， ∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴DE⊥AB，∠BDE=30°， ∴DE=3，即PA+PE的最小值为3， 即点H的纵坐标为a=3， 当点P为DE和BC交点时， ∵AB∥CD， ∴△PBE∽△PCD， ∴， ∵菱形ABCD中，AD⊥BC， ∴BC=2×=6， ∴， 解得：PC=4， 即点H的横坐标为b=4， ∴a+b=3+4=7， 故答案为：7. 【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 3．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 【考点14】推理证明与解答 1．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 解：（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将沿过点的直线翻折并展开，点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点、．若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】与相切，理由见分析 【分析】连接，由等腰三角形的性质得，再由折叠的性质得，进而证明，则，因此，然后由切线的判定即可得出结论． 解：与相切． 证明：连接． ∵， ∴． ∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点落在边上， ∴． ∴． ∴． ∴由，得，即． ∴与相切． 【点拨】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$