8.1 平方根-2024-2025学年新教材七年级下册数学同步单元练习（人教版2024）

同步单元练习——人教2024新版 8.1 平方根 一．选择题（共20小题） 1．下列式子中，正确的是　　 A． B． C． D． 2．一个正数的两个不同的平方根是和，则这个正数是　　 A．1 B．4 C．9 D．16 3．请同学们观察如表： 0.04 4 400 40000 0.2 2 20 200 已知，，则　　 A．14.35 B．143.5 C．55.39 D．553.9 4．若，则的相反数的值为　　 A． B． C．1 D．5 5．若实数，满足等式，则的值是　　 A． B． C．9 D．3 6．若，则的相反数是　　 A． B． C． D． 7．当时，的值是　　 A．5 B． C． D．25 8．若，为实数，且，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 9．下列语句正确的是　　 A ． 9 的平方根是 B ． 9 的平方根是 3 C ． 9 的平方根是 D ． 9 的算术平方根是 10．代数式　　 A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 11．36的平方根是　　 A．6 B． C．4或9 D． 12．实数4的算术平方根是　　 A．2 B． C．4 D． 13．下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 14．若一个正方形的面积和一个半径为的圆的面积相等，则正方形边长是　　 A． B． C． D． 15．若，则的值等于　　 A． B．0 C．1 D．2 16．若，则的值为　　 A． B．9 C．6 D． 17．若，那么的值为　　 A． B．2 C． D．1 18．　　 A． B．4 C． D．8 19．实数、满足，则的值为　　 A．2 B． C． D． 20．9的平方根是　　 A．3 B． C． D． 二．填空题（共10小题） 21．若一个正数的平方根是和，则的值是 　　． 22．计算：已知，则　　． 23．观察下面的规律：，，，，，． （1）　　； （2）若，，则　　． 24．若，则　　． 25．没有平方根的理由是　 　． 26．若实数，满足，则的值为　　． 27．若，则的值是 　　． 28．若实数的两个不相等的平方根是和，则实数为 　　． 29．如果一个数的平方根是和，则的值为　 　，这个数为　 　． 30．已知实数，满足，则　 　． 三．解答题（共10小题） 31．如图，用两个边长为的小正方形纸片沿边裁剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 　　； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能否剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 32．根据下表回答下列问题： 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）316.84的平方根是 　　； （2）　　； （3）　　． （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数有 　　个； （5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论． 33．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值． 34．已知，求的算术平方根的值． 35．解方程：． 36．已知，求的值． 37．如图，过点作直线分别与直线，相交于、两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，，其中、、满足． （1）　　，　　，　　； （2）求证：； （3）过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合．作的角平分线交线段于点，直接写出与的数量关系 　　． 38．已知的平方根是，的算术平方根是6，求的算术平方根． 39．阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得． 等式两边同时 　　，得 　　． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的证明过程． （2）若和 为两个相邻整数，则　　． （3）若和 为相差4的两个整数，求的值． 40．阅读短文，回答短文后的问题 平方根与算术平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根．也就是，若，就叫做的平方根．求一个数的平方根的运算叫开平方．开平方与加减乘除、乘方一样，也是一种运算，运算结果是平方根．开平方与平方互为逆运算．例：，则，也就是是1的平方根；，则，即是9的平方根；0的平方根是0． 对于一个正数，我们把正数的正平方根叫做的算术平方根，记作（读作“二次根号” ；而另一个负的平方根是的相反数，即．因此正数的平方根可以记作，其中叫做被开方数．在此，规定0的算术平方根就是0．例如：2的算术平方根是，2的平方根是；7的算术平方根是，7的平方根是；的算术平方根是，的平方根是． 通过阅读短文，解答下列问题 （1），则　 　． （2）5的平方根是　 　． （3）一个数算术平方根是，则这个数是　 　． （4）是　 　的平方根． 同步单元练习——人教2024新版 8.1 平方根 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B D C A A A C D D 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A C B D B C D B B 一．选择题（共20小题） 1．【答案】 【分析】根据算术平方根的定义和性质判断． 【解答】解：选项，二次根式的被开方数不能是负数，所以该选项计算错误，不符合题意； 选项，二次根式具有非负性，所以该选项计算错误，不符合题意； 选项，144的算术平方根为12，所以该选项计算正确，符合题意； 选项，25的算术平方根为5，所以该选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2．【答案】 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数可得出的值，代入后即可得出这个正数． 【解答】解：由题意得， 解得：， 则这个正数为：． 故选：． 3．【答案】 【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此求解可得． 【解答】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍， ， ． 故选：． 4．【分析】根据非负数的性质，可求出、的值，进而可求出的相反数． 【解答】解：由题意，得：，， 即，， ． 故选：． 5．【答案】 【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：， ， ，， 解得：，， 则． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根是非负数的性质进行计算，求出、的值代入运算即可． 【解答】解：， ；， ，， ， 的相反数是． 故选：． 7．【答案】 【分析】直接利用算术平方根的定义计算得出答案． 【解答】解：当时，则． 故选：． 8．【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：根据题意得： 解得： 则 故选：． 9．【分析】根据平方根和算术平方根的定义解答即可 ． 【解答】解：，， 的平方根是； 9 的算术平方根是 3 ． 故选：． 10．【答案】 【分析】根据非负数的性质即可得到结论． 【解答】解：原式， 当时，有最大值， 故选：． 11．【答案】 【分析】根据平方根的定义进行解答即可． 【解答】解：36的平方根是． 故选：． 12．【答案】 【分析】正数的算术平方根是指平方根中正的那一个． 【解答】解：， 的算术平方根是2， 故选：． 13．【分析】如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根，根据此定义即可求出结果． 【解答】解：、，错误； 、，错误； 、，正确； 、负数没有平方根，错误； 故选：． 14．【答案】 【分析】根据圆的面积公式先求出圆的面积，再根据正方形的面积公式列出算式，求出正方形边长即可． 【解答】解：圆的面积是：（平方厘米） 正方形的边长：（厘米）； 故选． 15．【分析】根据非负数的和为零，可得、的值，根据有理数的乘法，可得答案． 【解答】解：由，得 ，． 解得，． ． 故选：． 16．【答案】 【分析】根据非负数的性质，得，．求得，的值代入计算． 【解答】解：， ，， ，． ． 故选：． 17．【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程组求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：， ， 解得， 的值为． 故选：． 18．【分析】依据算术平方根的性质求解即可． 【解答】解：， ． 故选：． 19．【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：整理得，， 所以，，， 解得，， 所以，． 故选：． 20．【答案】 【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：，据此解答即可． 【解答】解：9的平方根是： ． 故选：． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】． 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【解答】解：由题意知，， 解得， 故答案为：． 22．【答案】2.828． 【分析】化简无理数，把的值代入即可得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：2.828． 23．【答案】（1）173.2． （2）0.2236． 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则解决此题． （2）根据二次根式的除法法则解决此题． 【解答】解：（1）， ． 故答案为：173.2． （2）， ． 故答案为：0.2236． 24．【分析】根据非负数的性质分别求出、，根据有理数的乘方法则计算，得到答案． 【解答】解：由题意得，，， 解得，，， 则， 故答案为：． 25．【分析】直接利用平方根的意义分析得出答案． 【解答】解：没有平方根的理由是：任何一个实数的平方都是一个非负数（或任何一个实数的平方都不等于． 故答案为：任何一个实数的平方都是一个非负数（或任何一个实数的平方都不等于． 26． 【分析】直接利用算术平方根的定义以及绝对值的性质得出，的值，进而得出答案． 【解答】解：， ，， 解得：，， ． 故答案为：1． 27．【答案】7． 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数性质可得与的值，再代入所求数轴计算即可． 【解答】解：，而，， ，， 解得，， ． 故答案为：7． 28．【答案】9． 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为0，列出方程求出即可． 【解答】解：根据题意，得：， 解得：． 则． 故答案为：9． 29．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得出的值，再代入即可得出这个数． 【解答】解：一个数的平方根是和， ， 解得， 把代入， 故这个数为49， 故答案为4，49． 30．【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】（1）4； （2）不能． 【分析】（1）已知两个正方形的面积之和就是大正方形的面积，根据面积公式即可求出大正方形的边长； （2）先设未知数根据面积列方程，求出长方形的边长，将长方形的长与正方形边长比较大小再判断即可． 【解答】解：（1）两个正方形面积之和为：， 拼成的大正方形的面积， 大正方形的边长是； （2）设长方形纸片的长为 ，宽为 ， 则， 解得：， ， 所以不能使剩下的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 32．【答案】（1）；（2）17.3；（3）171；（4）4；（5）当增大时，也随着增大．（答案不唯一）． 【分析】（1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （5）写出一条符合题意的结论即可． 【解答】解：， 的平方根是； 故答案为：； （2）， ． 故答案为：17.3； （3）， ． 故答案为：171； （4），， 又介于17.6与17.7之间， 的可能值为310，311，312，313， 满足条件的整数有4个． 故答案为：4； （5）观察表格中的数据，发现的结论：当时，随着的增大，也随着增大．（答案不唯一）． 33． 【分析】先依据平方根和算术平方根的定义列出方程组，然后求得、的值，最后代入求解即可． 【解答】解：由题意得，， 解得， ． 答：所以的值为1． 34． 【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入求出的值，再根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：根据题意得，，， 解得，， ， 的算术平方根的值为6． 故答案为：6． 35．【分析】根据直接开平方可以解答此方程． 【解答】解： ， ， ，． 36．【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质结合分式有意义的条件得出，的值，进而代入求出答案． 【解答】解：， ，，， 解得：，， 则． 37．【答案】（1）80；140；140；（2）证明见解析；（3）或或． 【分析】（1）利用非负数的意义解答即可； （2）过作，利用平行线的性质求得的度数，再利用平行线的判定定理解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：①当点在点的左侧时，利用（1）（2）的结论和平行线的性质，设，则，分别计算与的度数即可得出结论；②当点在点与点之间时，③当点在点的右侧时，利用①中同样的方法解答即可． 【解答】（1）解：，，，， ， 解得：． ，，． 故答案为：80；140；140； （2）证明：如图，过作， ， ， ， ． ， ， ， ， ． ，， ； （3）①当点在点的左侧时，如图， 由（1）知：， ． 是的平分线， ． 是的平分线， ． 设，则， 由（2）知：， ，． ， ，， ， ； ②当点在点与点之间时，如图， 由（1）知：， ． 是的平分线， ． 是的平分线， ． 设，则， 由（2）知：， ，． ， ，， ， ； ③当点在点的右侧时，如图， 由（1）知：， ． 是的平分线， ． 是的平分线， ． 设，则， 由（2）知：， ，，． ， ，， ． 综上，与的数量关系为：；；． 38． 【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出、的值，然后代入代数式求出的值，再根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：由题意得，，， 解得，， 所以，， ， 的算术平方根是7． 39． 【分析】（1）利用等式的性质解答即可； （2）利用（1）的结论列式解答即可； （3）利用（1）的解答方法解答即可． 【解答】解：（1）和为相邻的两个整数， ， 等式两边同时平方得： ． 移项得：． 故答案为：平方；； （2）和 为两个相邻整数， 由（1）的结论可知：， ， ． 故答案为：25； （3）和 为相差4的两个整数， ， 等式两边同时平方得： ， ， ． 40．【分析】根据开方运算，可得一个正数的平方根、算术平方根． 【解答】解：（1），则； （2）5的平方根是； （3）一个数算术平方根是，则这个数是 3； （4）是 16的平方根； 故答案为：，，3，16． 学科网（北京）股份有限公司 $$