7.3 定义、命题、定理-2024-2025学年新教材七年级下册数学同步单元练习（人教版2024）

同步单元练习——人教2024新版 7.3 定义、命题、定理 一．选择题（共20小题） 1．下列命题中正确的是　　 A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 2．下列语句中，不是命题的是　　 A．如果，那么 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．反向延长射线 3．下列命题中是真命题的是　　 A．同位角相等 B．互补的两个角是邻补角 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除 4．下列命题中正确的是　　 A．在直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B．如果一个三角形两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C．在中，，，的对边分别为，，，若，则 D．在中，若，，则 5．下列命题是真命题的是　　 A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 6．下列命题中，属于假命题的是　　 A．对顶角相等 B．平行于同一条直线的两直线平行 C．相等的角是对顶角 D．等角的余角相等 7．下列命题中，真命题为　　 A．有理数的绝对值是正数 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．同旁内角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 8．下列命题中，假命题是　　 A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补 9．下列命题中，假命题是　　 A．同角的补角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果，，那么 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 10．下列命题是真命题的是　　 A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B．互补的角是邻补角 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 11．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 12．仔细读读以下四个命题：（1）等弦对等弧；（2）等弧对等弦；（3）平分一条弧和它所对的弦的直线必过圆心；（4）平分弦的直径垂直于这条弦．其中正确的命题有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．我们知道“对于实数，，，若，，则”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题： ①，，是直线，若，，则． ②，，是直线，若，，则． ③若与互余，与互余，则与互余． 其中正确的命题是　　 A．① B．①② C．②③ D．①②③ 14．下列命题中是真命题的是　　 ①相等的角是对顶角． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等． ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 15．下列命题是真命题的是　　 A．是单项式 B．三角形的一个外角大于任何一个内角 C．两点之间，直线最短 D．同位角相等 16．下列说法： ①相等的角是对顶角； ②同位角相等； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 其中真命题有　　个 A．1 B．2 C．3 D．4 17．下列命题中，真命题的个数有　　 ①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． ③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． ④内错角相等，两直线平行． A．4 B．3 C．2 D．1 18．在与△中，已知，和分别为和的平分线，再从以下三个条件 ①②③中任取两个为题设，另一个为结论，则可以构成　　个正确的命题． A．1 B．2 C．3 D．4 19．下列语句中，真命题是　　 A．若，则 B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 C．是的平方根 D．相等的两个角是对顶角 20．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共10小题） 21．如图，中，为上一点，为上一点，与对角线交于点，以下三个条件： ①； ②； ③，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为　　． 22．命题“关于的一元二次方程，必有两个不相等的实数根”是假命题，则的值可以是　　．（写一个即可） 23．已知两个任意正数和，有下列命题： （1）若，则 （2）若，则 （3）若，则；根据以上三个命题所提供的规律，试猜想出与应满足的最佳关系式：　 　． 24．命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　　． 25．考查下列命题：（1）全等三角形的对应边上的中线、高线、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；（3）两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；（4）两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；（5）两角和第三角的角平分线对应相等的两个三角形全等；（6）两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；（7）两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；其中正确的命题是 　　（填写序号）． 26．用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是　　，　　，　　． 27．把命题“邻补角互补”写成如果那么的形式为　　，它是一个　　（填“真”或“假” 命题． 28．用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是　　． 29．用一组、的值说明命题“对于非零实数，，若，则”是错误的，这组值可以是　　，　　． 30．请写出命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”的题设和结论： 题设：　　， 结论：　　． 三．解答题（共10小题） 31．如图，已知，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只需写出一种情况） ① ② ③． 32．如图，已知，，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①②③ 已知：，　 　，　 　． 求证：　 　． 证明： 　 　． 33．如图， 直线和直线、直线和直线都被直线所截 ． 在下面三个式子中， 请你选择其中两个作为题设， 剩下的一个作为结论， 组成一个真命题并证明 ． ①、，②，③． 题设 （已 知）　 　． 结论 （求 证）　 　． 证明：　 　． 34．如图，在中，点在边上，，平分，交于点，点在上，连接．再从“①平分，②”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明． 35．如图，，（非直径）为的两条弦，与交于点，请从 ①为直径； ②为中点； ③为中点； 中选择两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个真命题，并完成证明． 36．如图所示，将两个含角的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 交换命题的条件和结论，得到下面的命题： 在直角中，，如果，那么．请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由． 37．判断下面命题是否是真命题，假命题给出反例，真命题给出证明：三角形的三条角平分线相交于一点． 38．阅读下面材料并解决问题： 一些命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明，证明中的每一步推理都要有根据，这些依据可以是已知条件，也可以是学过的的定义、基本事实、定理等，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． （1）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果，那么”的形式； （2）判定该命题是否为真命题？如果是，写出证明过程：如果不是，请举出反例（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述）． 39．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“⊕”运算．按照“⊕”运算的运算法则进行计算： ①⊕； ②⊕； ③⊕； ④⊕； ⑤0⊕； ⑥⊕； ⑦⊕； ⑧0⊕． （1）观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，　　； 一个数与0进行“⊕”运算时，　　． （2）计算：⊕⊕； （3）有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． 40．我们曾学过定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，其逆命题也是正确的，即在直角三角形中，如果一直角边等于斜边的一半，那么该直角边所对的角为．” （1）请你证明上述命题，写出过程； 已知：如图，在中，，如果，求证：． 证明： （2）解决下面的问题：如图1，、为格点，以为圆心，长为半径画弧交直线于点，则　　； （3）如图2，、为格点，按要求在网格中作图（保留作图痕迹）．作，使点在直线上，并且，． 同步单元练习——人教2024新版 7.3 定义、命题、定理 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C B D C B C D A D 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B A D A A B B C B 一．选择题（共20小题） 1．【分析】根据矩形和平行四边形的判定判断即可． 【解答】解：、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题； 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题； 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题； 、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题； 故选：． 2．【答案】 【分析】根据命题的定义一一判断即可． 【解答】解：、如果，那么，是命题，本选项不符合题意； 、同旁内角互补，是命题，本选项不符合题意； 、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意； 、反向延长射线，不是命题，本选项符合题意． 故选：． 3．【答案】 【分析】利用平行线的性质、互补的定义、整除等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题； 、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题； 、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，原命题正确，是真命题； 、如果一个数能被3整除，那么它不一定能被6整除，如9，故原命题错误，是假命题， 故选：． 4．【分析】根据直角三角形和勾股定理的逆定理判断即可． 【解答】解：、在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，原命题是假命题； 、如果一个三角形两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题； 、在中，，，的对边分别为，，，若，则，原命题是假命题； 、在中，若，，则，原命题是假命题； 故选：． 5．【答案】 【分析】逐一分析判断即可． 【解答】解：．两直线平行时，才有同位角相等，不是真命题； ．垂直于同一条直线的两条直线平行，必须是同一平面内，不是真命题； ．必须过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，不是真命题； ．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据对顶角的定义对和进行判断；根据平行公理对进行判断；根据余角的定义对进行判断． 【解答】解：、两直线相交，所形成的对顶角相等，所以选项为真命题； 、平行于同一条直线的两直线平行，所以选项为真命题； 、相等的角不一定为对顶角，所以选项为假命题； 、等角的余角相等，所以选项为真命题； 故选：． 7．【答案】 【分析】利用绝对值的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：．有理数的绝对值不一定是正数，0的绝对值是0，是假命题，故不符合题意； ．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故符合题意； ．两直线平行，同旁内角互补，是假命题，不符合题意； ．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是假命题，不符合题意； 故选：． 8．【答案】 【分析】根据对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质一一判断即可． 【解答】解：、对顶角相等，所以选项为真命题； 、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以选项为真命题； 、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以选项为假命题； 、若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，正确，所以选项为真命题． 故选：． 9．【答案】 【分析】利用同角的补角的性质、垂直的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可． 【解答】解：、同角的补角相等，是真命题，故本选项不符合题意； 、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故本选项不符合题意； 、如果，，那么，是真命题，故本选项不符合题意； 、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项符合题意； 故选：． 10．【答案】 【分析】根据垂线段、邻补角和平行线的性质与判定判断即可． 【解答】解：、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题； 、互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题； 、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题； 、在同一平面上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； 故选：． 11．【答案】 【分析】由题意得出3个命题，再由不等式的性质再判断真假即可． 【解答】解：①如果，，那么；真命题： 理由：，， ； ②如果，，那么，真命题； 理由：， ， ． ③如果，，那么，真命题； 理由：， ， 即， ， ， 组成真命题的个数为3个； 故选：． 12．【分析】根据圆的有关性质即可作出判断． 【解答】解：（1）应为同圆和等圆中，等弦对等弧； （2）正确，等弧对等弦； （3）正确，符合垂径定理及其推论； （4）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦． 故选：． 13．【答案】 【分析】根据平行线的判定、垂直和互余进行判断即可． 【解答】解：①，，是直线，若，，则，是真命题． ②，，是直线，若，，则，是假命题． ③若与互余，与互余，则，是假命题； 故选：． 14．【答案】 【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定和性质以及垂线公理一一判断即可． 【解答】解：①相等的角是对顶角．是假命题． ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．真命题． ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等．假命题． ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．真命题． 故选：． 15．【答案】 【分析】根据单项式、三角形外角性质、线段公理、平行线性质解答即可． 【解答】解：、是单项式，是真命题； 、三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角，是假命题； 、两点之间，线段最短，是假命题； 、两直线平行，同位角相等，是假命题； 故选：． 16．【答案】 【分析】根据对顶角的定义，平行线的判断关系着，点到直线的距离的定义一一判断即可． 【解答】解：①相等的角是对顶角；是假命题． ②同位角相等；是假命题． ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；是假命题． ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．是真命题． 故选：． 17．【分析】根据平行线的判定和性质判断即可． 【解答】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是真命题． ②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题． ③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题． ④内错角相等，两直线平行是真命题． 故选：． 18．【分析】根据全等三角形的判定和性质进行解答． 【解答】解：在和△中，，，， △， ． 在和△中，，，， △， ． 在和△中，，，， △， ． 故如果①②那么③．如果①③那么②； 故选：． 19．【分析】根据等式的性质、平方根、对顶角和点到直线的距离进行判断即可． 【解答】解：、若，则或，原命题是假命题； 、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题； 、是的平方根，是真命题； 、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题； 故选：． 20．【分析】根据题意得出三个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【解答】解：根据题意可知： 一共有三种命题组合方式： ①如果，，那么．是真命题． ②如果，，那么．是假命题． ③如果，，那么．是假命题． 故选：． 二．填空题（共10小题） 21．【分析】利用已知结合全等三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：已知②；①，结论：③． 理由：在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 同理可得：已知②，③，结论：①，是真命题； 已知：①，③，结论：②，是真命题， 故答案为：3． 22． 【分析】根据判别式的意义，当时△，从而可判断原命题为是假命题． 【解答】解：△，当时，△，方程没有实数解， 所以取0可作为判断命题“关于的一元二次方程，必有两个不相等的实数根”是假命题的反例． 故答案为：0（答案不唯一）． 23．【分析】先根据所给的条件推出相应的结论，再找出与的关系即可． 【解答】解：（1）若，则，有； （2）若，则，有； （3）若，则，有； 得到． 24．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等， 故答案为：菱形的四条边相等． 25． 【分析】利用全等三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：（1）全等三角形的对应边上的中线、高线、角平分线对应相等，正确； （2）两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确； （3）两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确； （4）两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等，正确； （5）两角和第三角的角平分线对应相等的两个三角形全等，正确； （6）两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等，错误； （7）两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等，错误； 故答案为：1，2，3，4，5． 26．【分析】根据题意选择、、的值即可． 【解答】解：当，，， 所以，但， 当，，， 所以，但， 故答案不唯一； 故答案为：，（答案不唯一），0． 27．【分析】根据命题的概念、邻补角的概念解答． 【解答】解：命题“邻补角互补”写成如果那么的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补， 它是一个真命题， 故答案为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补；真． 28．【分析】根据题意选择、、的值即可． 【解答】解：当，，， 所以，但， 当，，， 所以，但， 故答案不唯一； 故答案为：，， 29． 【分析】通过取，取1可说明命题“若，则”是错误的． 【解答】解：当，时，满足，但． 故答案为，1． 30．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：可改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 题设是在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行， 故答案为：在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行； 三．解答题（共10小题） 31．【分析】应先确定选择哪对三角形，对应三角形全等条件求解；再根据全等三角形的性质得出结论． 【解答】已知：，①，②． 求证：③． 证明：先证明 可得 32．【分析】作交于，根据平行线的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】已知：，，． 求证：． 证明：作交于， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：；；；作交于， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 33．【分析】可以由①②得到③： 由于、得到，利用平行线的性质得到，又，则，可得到，即有． 【解答】已知： 如图，、，． 求证：． 证明：、， ， ， 又， ， ， ． 故答案为①②；③；省略 ． 34．【答案】证明见解析部分． 【分析】分两种情形分别证明，可得结论． 【解答】解：情形1：添加条件①． 平分， ， ，，， ， ， 平分， ； 情形2：添加条件②． 平分， ， ，，， ， ， ， 平分． 35．【答案】答案见解答． 【分析】本题答案不唯一．以知①，②推③为例证明：由于圆的半径相等推出，又为中点，根据等腰三角形的性质推出为中垂线，进而，于是得出结论． 【解答】证明：本题答案不唯一．以知①，②推③为例证明： ，为中点， ， 为中垂线， ， 弧， 所以为弧中点． 36．【分析】延长至点，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【解答】解：此命题是真命题， 理由如下：延长至点，使，连接， ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 37．【答案】真命题，理由见解答． 【分析】根据真假命题定义可以判断该命题为真命题，理由如下：过作于，于，于，根据角平分线的性质得出，，求出，再得出答案即可． 【解答】解：是真命题，理由如下： 设和交于， 过作于，于，于， 、分别是角平分线， ，， ， ，， 在的平分线上， 即的角平分线、、交于一点． 所以三角形的三条角平分相交于一点． 38．【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； （2）见解答． 【分析】先将原命题改写成：如果，那么的形式，如果后面的是已知，那么后面的是求证，然后即可写出已知和求证，然后根据同位角相等两直线平行即可证明． 【解答】解：（1）把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果，那么”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； （2）该命题是真命题，理由如下： 如图，，垂足为，，垂足为， 求证：， 证明：，， ， ． 39．【答案】（1）同号得正，异号得负，再把绝对值相加，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数； （2）9； （3）结合律在有理数的“⊕”运算中不适用，举例见解析． 【分析】（1）根据题意得到“⊕”运算的运算法则即可； （2）根据“⊕”运算的运算法则计算即可； （3）根据“⊕”运算的运算法则判断即可． 【解答】解：（1）“⊕”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，同号得正，异号得负，再把绝对值相加， 一个数与0进行“⊕”运算时，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数．或：等于这个数的绝对值； 故答案为：同号得正，异号得负，再把绝对值相加，正数与0“⊕”运算的它本身，负数与0“⊕”运算得它的相反数； （2）⊕⊕ ⊕ ； （3）结合律在有理数的“⊕”运算中不适用． 例如： ⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕2 这时，⊕⊕⊕⊕，所以结合律在有理数的“⊕”运算中不适用． 40．【答案】（1）证明过程请看解答； （2）30； （3）作图请看解答． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的判定与性质即可得出结论； （2）作于．由作图可知：，即可推出． （3）以为圆心，长为半径画弧交直线于点，连接交直线于，连接，即为所求． 【解答】（1）证明：作的斜边上的中线，如图所示： 则， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：作于，如图1所示： 由作图可知：， ， 故答案为：30； （3）解：如图2所示， 即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$