7.2 平行线-2024-2025学年新教材七年级下册数学同步单元练习（人教版2024）

同步单元练习——人教2024新版 7.2 平行线 一．选择题（共20小题） 1．如图，下列能判定的条件有　　个． （1）； （2）； （3）； （4）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿折叠成图（2）；再沿折叠成图（3）；继续沿折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住，整个过程共折叠了9次，问图（1）中的度数是　　 A． B． C． D． 3．如图所示，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．如图，直线直线，与相等的角是　　 A． B． C． D． 5．如图，下列条件中，能判断直线的是　　 A． B． C． D． 6．如图，直线，将三角板的直角顶点放在直线上，如果，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，．图中与不一定相等的角是　　 A． B． C． D． 8．如图，下列条件中，能判断的是　　 A． B． C． D． 9．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当，时，和的度数分别是　　 A．， B．， C．， D．， 10．如图，直线，直线分别与，交于点，，平分，交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 11．下列条件：①，②，③，其中能判断的是　　 A．①②③ B．①③ C．②③ D．① 12．如图，在中，，平分，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 13．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面与杯底互相平行，，，则　　 A． B． C． D． 14．如图，已知直线，被直线所截，如果要添加条件，使得，那么下列条件中能判定的是　　 A． B． C． D．， 15．如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 16．如图．直线，直线分别与直线、交于点、，．则的度数为　　 A． B． C． D． 17．下列说法中正确的是　　 A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B．相等的两个角一定是对顶角 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角相等，两直线平行 18．如图，下列条件①；②；③；④；⑤；⑥中，能判定的条件有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．如图，，，则、、的关系为　　 A． B． C． D． 20．如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点落在处，为折痕，然后再把折过去，使之与重合，折痕为，若，则求的度数　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 21．将一条两边互相平行的纸带沿折叠，如图（1），，，设 （1）　　．（用含的代数式表示） （2）若将图1继续沿折叠成图（2），　　．（用含的代数式表示）． 22．如图，已知，，平分，那么图中与相等的角有 　　个． 23．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点，，在同一条直线上，将下面正确的依据序号填写在横线上 　　． ①两点确定一条直线； ②过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 24．将一副直角三角板如图摆放，点落在边上，，则　　． 25．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角是，则第二次的拐角是 　　，根据是 　　． 26．如图，平分，点为上一点，交于点．若，则的度数为　　． 27．如图，，、分别是直线、之间的点，、分别平分、，若，，则　　．（用含，的代数式表示） 28．如图，，交于点．若等于42度，则　 　度． 29．，，过点作直线的垂线，点为垂足，若，则为 　　度． 30．如图，是某课题学习小组对地图上的、、、、、、、八处地点进行观察、分析．在讨论中得到了，、都在线段上，，的正确结论．接着，小聪又提出了如下结论线路与线路一样长．请判断小聪提出的结论正确吗？　　（填“正确”或“错误” ． 三．解答题（共10小题） 31．如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角） （1）当动点落在第①部分时，求证：； （2）当动点落在第②部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立） （3）当动点落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 32．在学习“相交线与平行线”一章时，课本中有一道关于潜望镜的拓广探索题，老师倡议班上同学分组开展相关的实践活动．小钰所在组上网查阅资料，制作了相关介绍给同学（图1、图；小宁所在组制作了如图所示的潜望镜模型并且观察成功（图．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理． （1）图4中，，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，入射光线与反射光线满足，，这样离开潜望镜的光线就与进入潜望镜的光线平行，即．请完成对此结论的以下填空及后续证明过程（后续证明无需标注理由）． （已知）， 　　 　　． ，（已知）， 　　． （2）在之后的实践活动总结中，老师进一步布置了一个任务：利用图5中的原理可以制作一个新的装置进行观察，那么在图5中方框位置观察到的物体“影像”的示意图为 　　． ． ． ． ． 33．如图，平分交于点，，，，求和的度数． 34．如图，，在与之间任意找一点，连接，（说明：，都为线段），自己画出图形并探索下面问题： （1）试问与有何种关系？请猜想并给出证明． （2）当点在平行线，的外部时，上一问的结论是否仍然成立？画图探索并予以证明． 35．证明题： （1）如图1，，，垂足分别为，．又已知．求证：； （2）如图2，，，判断是否平分，并证明你的结论． 36．已知，如图，，． 求证：． 37．如图，，平分，求证：． 38．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，直接写出和之间的数量关系 　　； （2）如图2，过点作于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数． 39．已知：直线，被直线所截，为的角平分线，． 求证：． 40．如图，平分交于点，交于，过作交于． （1）依据题意补全图形； （2）求证：平分． 同步单元练习——人教2024新版 7.2 平行线 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D A B D C A C B B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C D B B C B D C 一．选择题（共20小题） 1．【答案】 【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确； （2）利用内错角相等，判定两直线平行，，，而不能判定，故（2）错误； （3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住；整个过程共折叠了9次，可得与重合，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【解答】解：设，则， 折叠9次后与重合， ， 如图（2），， ， ， ， 即． 故选：． 3．【答案】 【分析】由邻补角的定义可求得，再由平行线的性质可得的度数． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 4．【答案】 【分析】由，得到，又因为，所以． 【解答】解：， ， ， ， 直线直线，与相等的角是． 故选：． 5．【答案】 【分析】根据平行线的判定定理判断即可得解． 【解答】解：， ， 故不符合题意； ， ， 故符合题意； 由，不能判定， 故不符合题意； 由，不能判定， 故不符合题意． 故选：． 6．【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到的度数，本题得以解决． 【解答】解：直线， ， ， ， 三角板的直角顶点放在直线上， ， ， 故选：． 7．【答案】 【分析】由，利用“两直线平行，同位角相等”可得出；由，利用“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”可得出，，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：， ； ， ，． 故选：． 8．【答案】 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：、，由内错角相等，两直线平行，能判断，故符合题意； 、中的两对角都不是，被截成的内错角，故、不符合题意； 、、不是，被截成的同旁内角，故不符合题意． 故选：． 9．【分析】先根据得出的度数，再由得出的度数，根据即可得出结论． 【解答】解：，， ． ，， ． ， ． 故选：． 10．【答案】 【分析】根据平行线的性质和角平分线定义得到，再根据平行线的性质求出即可． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 11．【答案】 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：①由“内错角相等，两直线平行”知，根据能判断． ②由“同位角相等，两直线平行”知，根据能判断． ③由“同旁内角互补，两直线平行”知，根据能判断． 故选：． 12．【答案】 【分析】根据平分，求出角，从而求得，再根据，得，最终得到的度数． 【解答】解：平分，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 13．【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，从而可求解． 【解答】解：在水中平行的光线，在空气中也是平行的，， ， 水面与杯底面平行，， ， ． 故选：． 14．【答案】 【分析】根据，可得出，故可得出结论． 【解答】证明：，（已知）， ， 即， （同位角相等，两直线平行）． 故选：． 15．【答案】 【分析】根据内错角相等，两直线平行，得出，再根据两直线平行，同位角相等，得出，从而得出． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 16．【答案】 【分析】先根据对顶角的性质求出，再利用平行线的性质即可求出的度数． 【解答】解：，， ． 故选：． 17．【答案】 【分析】根据平行线的性质与判定，对顶角相等，逐项分析判断即可求解． 【解答】解：．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故该选项不正确，不符合题意； ．相等的两个角不一定是对顶角，故该选项不正确，不符合题意； ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意； ．同旁内角互补，两直线平行，故该选项不正确，不符合题意； 故选：． 18．【答案】 【分析】利用平行线的判定定理进行分析即可． 【解答】解：①当时，由内错角相等，两直线平行得，故①不符合题意； ②当时，由内错角相等，两直线平行得，故②符合题意； ③当时，无法判定，故③不符合题意； ④当时，由同位角相等，两直线平行得，故④符合题意； ⑤当时，由内错角相等，两直线平行得，故⑤不符合题意； ⑥当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故⑥符合题意． 故能判定的条件有3个． 故选：． 19．【答案】 【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系． 【解答】解：延长交与，延长交于． 直角中，；中，， 因为，所以，于是 ，故． 故选：． 20．【答案】 【分析】根据折叠得出，，根据，求出，代入求出即可． 【解答】解：根据折叠得出，， 又， ， ， ． 故选：． 二．填空题（共10小题） 21．【分析】（1）由平行线的性质得，，折叠和三角形的外角得，，最后计算出； （2）由折叠和平角的定义求出，再次折叠经计算求出． 【解答】解：（1）如图1所示： ， ，， 又， ， 又， ， 又， （2）如图2所示： ， ， 又， ， 故答案为． 22． 【分析】由，可得；由，可得；又因为平分，可得；根据对顶角相等可得．所以图中与相等的角有5个． 【解答】解：， ； ， ； 又平分， ； ． ． 图中与相等的角有5个． 23．【答案】②． 【分析】由平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，即可判断． 【解答】解：， ， ， ， 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ，，在同一条直线． 故答案为：②． 24．【答案】135． 【分析】根据平行线的性质可得的度数，再利用邻补角的性质可得． 【解答】解：如图： ， ． 由邻补角的性质可得：， ． 故答案为：135． 25． 【分析】由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答． 【解答】解：， 理由是：道路是平行的， ． 即两直线平行，内错角相等； 故答案为：；两直线平行，内错角相等 26．【分析】根据两直线平行，同位角相等可求的度数，再根据角平分线的定义可求的度数，依此即可求解． 【解答】解：，， ， 平分， ． 故答案为： 27．【答案】． 【分析】过作，过作，依据，可得，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数． 【解答】解：如图所示，过作，过作， 又， ， ，，， ， 又、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：． 28．【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：138． 29． 【分析】分两种情况讨论：点在上时，点在的延长线上时，分别依据平行线的性质，即可得到的度数． 【解答】解：如图所示，当点在上时， ，， ， 又， ， 又， ； 如图所示，当点在的延长线上时， ，， ， 又， ， 又， ； 故答案为：10或110． 30．【答案】正确． 【分析】由，即可推出为等边三角形，再根据平行线的性质，即可推出、、均为等边三角形，然后根据等边三角形的性质，即可推出线路与线路一样长． 【解答】解：正确， 理由：， 是等边三角形， 又， ， ， ， 是等边三角形． 同理可证、是等边三角形； 、、都是等边三角形， ，，， ， 又是等边三角形， ， ， 线路与线路一样长． 故答案为：正确． 三．解答题（共10小题） 31． 【分析】（1）如图1，延长交直线于点，由，可知．由，可知； （2）过点作的平行线，根据平行线的性质解答； （3）根据的不同位置，分三种情况讨论． 【解答】解：（1）解法一：如图1延长交直线于点． ，． ， ； 解法二：如图2 过点作， ． ，． ． ； 解法三：如图3， ， ， ． 又， ． （2）不成立． （3）（a）当动点在射线的右侧时，结论是： ． （b）当动点在射线上，结论是： ． 或或， （任写一个即可）． （c）当动点在射线的左侧时， 结论是． 选择（a）证明： 如图4，连接，连接交于． ， ． 又（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 选择（b）证明：如图5 点在射线上，度． ，． 或 或，． 选择（c）证明： 如图6，连接，连接交于 ，． ， ． 32． 【分析】（1）根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明； （2）根据每反射一次相当于把图形向相应方向旋转，可得到答案． 【解答】解：（1） （已知）， （两直线平行，内错角相等）． ，（已知）， （等量代换）． ，，三点共线，，，三点共线， ． ． ． ． 故答案为：3；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）由题意可知每反射一次，相应的图形旋转， 经过第一次反射后，相当于图形向右顺时针旋转， 经过第一次反射后得到的图形为， 同理，经过第二次反射后得到的图形为， 经过第三次反射后得到的图形为， 故选． 33．【分析】由平分，得到，推出，由平行线的性质得到，于是得到结论． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 34．【分析】（1）可过点作两条线段的平行线，通过平行线的性质来求得与的关系． （2）证法同（1）不过要分在上方还是在下方，结论虽然不一样，但证法都是相同的． 【解答】解：如图所示， （1）． 证明：过点作， ； 又已知， （平行公理）， ； 又， ． （2）不成立，结论应是或． 证明：如果在下方，过作， 那么可得出，， ， ， 如果在上方，证法同上，可得出的结论是． 当点在点和点左侧时． 35．【分析】（1）要证明，只要证明即可，根据，只要再证明即可证得； （2）根据，即可求得三个角的度数，再根据与互补，可求得的度数，即可作出判断． 【解答】解：（1）证明：，（已知） （垂直的定义） （同位角相等，两直线平行）（2分） （两直线平行，同位角相等）（3分） ，（已知） （等量代换） ．（内错角相等，两直线平行）（4分） （2）判断：平分（1分） 证明： 可设，， （2分） ，（4分） （平角定义） 平分（角平分线定义）．（5分） 36．【分析】先根据，得出，故，由平行线的性质可知，由可知，故可得出结论． 【解答】证明：，， ， ， ， ， ， ． 37． 【分析】根据角平分线的性质可得，再根据，可得，根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【解答】证明：平分， ， ， ， ． 38． 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）先过点作，根据同角的余角相等，得出，再根据平行线的性质，得出，即可得到； （3）先过点作，根据角平分线的定义，得出，再设，，根据，可得，根据，可得，最后解方程组即可得到，进而得出． 【解答】解：（1）如图1，与的交点记作点， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图2，过点作， ， ，即， 又， ， ， ，， ， ， ； （3）如图3，过点作， 平分，平分， ，， 由（2）可得， ， 设，，则 ，，，， ， ，， ， 中，由，可得 ，① 由，可得 ，② 由①②联立方程组，解得， ， ． 39． 【分析】先依据已知条件得到，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到结论． 【解答】证明： 方法1、如图，是一条直线 （平角的定义）或（邻补角的定义） （已知） （同角的补角相等） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 为的角平分线（已知） （角平分线的定义） （等量代换） 即：． 方法2如图，与交于点 （对顶角相等） （已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 为的角平分线（已知） （角平分线的定义） （等量代换） 40．【分析】（1）过画即可； （2）根据角平分线定义可得，再根据可得，再由可得，，然后证明，可得平分． 【解答】（1）解：如图所示： （2）证明：平分， （角平分线定义）， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， （两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， 平分（角平分线定义）． 学科网（北京）股份有限公司 $$