7.1 相交线-2024-2025学年新教材七年级下册数学同步单元练习（人教版2024）

同步单元练习——人教2024新版 7.1 相交线 一．选择题（共20小题） 1．如图，于点，，则与的关系是　　 A． B．与互补 C．与互余 D．不确定 2．如图，从人行横道线上的点处过马路，沿线路行走距离最短，其依据的几何学原理是　　 A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．如图，，垂足为，是经过点的一条直线，已知，则，的度数分别为　　 A．， B．， C．， D．， 4．如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，点在直线上，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 6．如图，直线，相交于点，．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为　　 A． B． C．小于 D．不大于 8．下列图形中，和为同旁内角的是　　 A． B． C． D． 9．两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）下列三幅图依次表示　　 A．同位角、内错角、同旁内角 B．同位角、同旁内角、内错角 C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角 10．如图，已知垂足为，经过点．如果，则等于　　 A． B． C． D． 11．已知：如图，于，为经过点的一条直线，那么与的关系是　　 A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 12．下列各图中，与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 13．如图，点在直线外，点，，，在直线上，于，则点到直线的距离为　　 A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 14．下列图中，不是同位角的是　　 A． B． C． D． 15．已知，，且，则的度数为　　 A． B． C．或 D． 16．如图，直线，相交于点，如果，那么是　　 A． B． C． D． 17．如图，点在直线上，．如果，那么的大小为　　 A． B． C． D． 18．点在直线外，点在直线上，、两点的距离记作，点到直线的距离记作，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 19．如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于　　 A． B． C． D． 20．下列图形中，与不具有同位角、内错角或同旁内角关系的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题） 21．当原点到直线的距离最大时，则　　． 22．如图所示，与构成同旁内角的有　　个． 23．如图，点在直线上，于点，若，则的度数为 　　． 24．如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处，这样做节省水管长度，其数学原理 　　． 25．如图，直线，相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是 　　． 26．如图，要从村庄修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段 　　修建，理由是 　　． 27．如图，要把河中的水引到农田处，想要挖的水渠最短，我们可以过点作垂直河边，垂足为点，然后沿开挖水渠，其依据是　　． 28．如图，直线，相交于点，则的度数是　　． 29．如图，从位置到直线公路共有四条小道、、、，若用相同的速度行走，能最快到达公路的小道是　　，理由是　　． 30．已知与是对顶角，与是邻补角，则　　度． 三．解答题（共10小题） 31．如图，已知：、分别是和上的点，、分别交于、，，，求证：． 32．如图，直线，相交于点，，垂足为，，求的度数． 33．如图，直线、相交于点，平分，，．求的度数． 34．如图，已知直线和相交于点，，平分． （1）图中的余角是 　　； （2）若，求、的度数． 35．如图，在直线的异侧有、两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据． （1）在直线上取一点，使线段最短．依据是　　． （2）在直线上取一点，使线段最短．依据是　　． 36．如图，点是射线上一点，射线的端点在直线上，按要求画图并填空： （1）过点作直线平行直线； （2）用量角器作的角平分线，交直线于点； （3）作射线，交直线于点； （4）若，则　　（用含的式子表示）； （5）请用等式写出与的数量关系 　　． 37．如图：是直线上一点，，是的角平分线，于点．求的度数．（请补全下面的解题过程） 解：是直线上一点，， 　　． 是的角平分线， 　　．　　 ． 于点，（已知）． 　　．　　 　　． 38．已知：如图，直线，相交于点，，平分，求的度数． 39．如图，已知直线、被直线所截，分别交于点、点，平分交于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）点是射线上一动点（不与点、重合），平分交于点，过点作于点，设，． ①依题意，先在图1中补全图形． ②猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 40．如图，点在直线上，，射线在内部． （1）如图1，当时，用量角器画出射线，则度数为 　　； （2）如图2，当时，，垂足为点，求度数（用含的式子表示）． 同步单元练习——人教2024新版 7.1 相交线 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B B B C D B A C A 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C D C C B C C B 一．选择题（共20小题） 1．【分析】根据垂线定义可得，再根据等量代换可得． 【解答】解：， ， ， ， 与互余， 故选：． 2．【答案】 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【解答】解：因为，垂足为点， 所以沿线路行走距离最短，依据的几何学原理是垂线段最短． 故选：． 3．【分析】根据已知条件，利用互补关系，互余关系及对顶角相等的性质解题． 【解答】解：，， ， 与是对顶角， ， ， ． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据邻补角的定义，由，得．根据角平分线的定义，由平分，得．再根据对顶角相等，得．根据垂直的定义，由，得，那么，进而推断出． 【解答】解：， ． 平分， ． ． ， ． ． ． 故选：． 5．【答案】 【分析】利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可． 【解答】解：， ， ， ； ， ． 故选：． 6．【答案】 【分析】根据邻补角定义可得，然后根据条件可得的度数，再根据对顶角相等可得答案． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 7．【答案】 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案． 【解答】解：当时，的长是点到直线的距离，即点到直线的距离， 当不垂直直线时，点到直线的距离小于的长，即点到直线的距离小于， 综上所述：点到直线的距离不大于， 故选：． 8．【答案】 【分析】根据同旁内角的定义逐一判断即可． 【解答】解：、与是同位角，故此选项不符合题意； 、与是同旁内角，故此选项符合题意； 、与不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故此选项不符合题意； 、与不是同旁内角，故此选项不符合题意． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：两条直线被第三条直线所截，形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）上列三幅图依次表示同位角、内错角、同旁内角， 故选：． 10．【答案】 【分析】直接利用垂线的定义得出，进而利用对顶角定义得出，即可得出的度数． 【解答】解：垂足为， ， ， ， ． 故选：． 11．【答案】 【分析】根据垂直得直角：；然后由平角的定义来求与的关系． 【解答】解：， ． 又为过点的一条直线， ，即与互余． 故选：． 12．【答案】 【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断． 【解答】解：、与没有公共顶点，与不是对顶角，故不符合题意； 、与是对顶角，故符合题意； 、与没有公共顶点，与不是对顶角，故不符合题意； 、与的两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意； 故选：． 13．【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案． 【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段的长是点到直线的距离． 故选：． 14．【答案】 【分析】根据同位角的定义（在被截线同一侧，截线的同一方位的两个角互为同位角）解决此题． 【解答】解：．由图可知，，是同位角，故不符合题意． ．由图可知，，是同位角，故不符合题意． ．由图可知，，是同位角，故不符合题意． ．由图可知，，不是同位角，故符合题意． 故选：． 15．【答案】 【分析】根据垂直关系知，由，可求，根据与的位置关系，分类求解． 【解答】解：， ， ， ． 因为的位置有两种：一种是在内，一种是在外． ①当在内时，； ②当在外时，． 故选：． 16．【答案】 【分析】根据对顶角相等求出，再根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【解答】解：，（对顶角相等）， ， 与互为邻补角， ． 故选：． 17．【答案】 【分析】根据平角的定义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案． 【解答】解：，， ， 又， ， ， 故选：． 18．【分析】分两种情况：①和构成一个直角三角形，且是斜边，是直角边，所以；②若是垂足时，． 【解答】解：如图，是斜边，是直角边， ， 若点、点所在直线垂直直线，则， 故选：． 19．【答案】 【分析】由对顶角的性质和平角的定义得到，，由角平分线的定义得到，根据角的和差即可求得． 【解答】解：， ，， ， ， 故选：． 20．【答案】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、与是内错角，故本选项不符合题意； 、与不是同位角、不是内错角、也不是同旁内角，故本选项符合题意； 、与是同旁内角，故本选项不符合题意； 、与是同位角，故本选项不符合题意． 故选：． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】． 【分析】将直线转化为：，故，得到直线过定点，点到直线的距离最大，利用两点之间的距离公式即可求解． 【解答】解：直线，即为． 令． ． 直线，恒过定点， 即所求距离最大值为． 故此答案为． 22． 【分析】据图形和同旁内角的定义，可知构成同旁内角的有、、，共3个． 【解答】解：与、相截，与构成同旁内角的有； 与、相截，与构成同旁内角的有； 与、相截，与构成同旁内角的有；共3个．故填3． 23．【答案】． 【分析】根据平角的意义求出的度数，再根据垂直的意义求出答案． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 24．【答案】垂线段最短． 【分析】根据垂线段最短进行判断即可． 【解答】解：由“垂线段最短”可知，当时，最短， 故答案为：垂线段最短． 25．【答案】． 【分析】根据对顶角的性质得，再根据垂直定义得，然后根据角平分线定义得，由此根据可得出答案． 【解答】解：直线，相交于点，， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 26．【答案】；垂线段最短． 【分析】从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：从直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，所以应选择沿修建． 故答案为：；垂线段最短． 27．【答案】垂线段最短． 【分析】根据垂线段的性质，可得答案． 【解答】解：要把河中的水引到农田处，想要挖的水渠最短，我们可以过点作垂直河边，垂足为点，然后沿开挖水渠，这样做依据的几何学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 28．【答案】． 【分析】根据，列出关于的方程，求得的值即可得到的度数． 【解答】解：直线，相交于点， ， ， 解得， ． 故答案为：． 29．【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线的性质即可得到结论． 【解答】解：根据垂线段最短得，能最快到达公路的小道是， 故答案为：，垂线段最短． 30． 【分析】根据对顶角、邻补角的性质，可得，，则． 【解答】解：与是对顶角， ， 又与是邻补角， ， 等角代换得． 三．解答题（共10小题） 31． 【分析】根据已知条件，先判定和，然后利用平行线的性质来求证． 【解答】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 32．【答案】． 【分析】利用垂直得到互余的角，从而求得，根据对顶角相等求得的度数． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 33．【分析】依据对顶角的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，再根据垂线的定义，即可得到的度数． 【解答】解：与是对顶角， ， 平分， ， ， ， ， ． 34．【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据余角的定义解答即可； （2）首先根据，，求出的度数，再根据角平分线的概念求得，，再利用角的和差、邻补角的定义求解即可． 【解答】解：（1）直线和相交于点，， ， 的余角是， 平分， ， 故答案为：，； （2），， ， 又平分， ，， ， ， ． 35． 【分析】（1）过作，最短； （2）连接交于，这时线段最短． 【解答】解：（1）过作，根据：垂线段最短． （2）连接交于，根据是：两点之间线段最短． 36．【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程； （3）答案见解答过程； （4）； （5）． 【分析】（1）利用尺规作图，作出直线即可； （2）用量角器量出，再以为一边，点为顶点，在内部作即可； （3）将三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与重合，沿另一条直角边画射线交直线于即可； （4）根据直线得，，再根据角平分线定义得，由此可得的度数； （5）根据直线得，根据角平分线定义得，则，再根据，得，据此可得与的数量关系． 【解答】解：（1）①以点为圆心，以适当的长为半径画弧交，于，， ②以点为圆心，以为半径画弧交于，以点为圆心，以为半径画弧交前弧于， 过点，作直线，则直线， 即直线为所求； （2）①用量角器量出， ②以为一边，点为顶点，在内部作，交直线于点， 则， ， 是平分线， 即为所求； （3）将三角板的直角顶点与点重合，一条直角边与重合，沿另一条直角边画射线交直线于， 则， 即射线为所求，如图所示： （4）直线，， ，， 是平分线， ， ， 故答案为：． （5）直线， ， 是平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 37． 【分析】直接利用垂直的定义结合角平分线的定义得出，进而得出答案． 【解答】解：是直线上一点，， ． 是的角平分线， ．（角平分线的定义） ． 于点，（已知）． ．（垂直的定义） ． 故答案为：130，，角平分线的定义，90，垂直的定义，25． 38．【答案】110． 【分析】根据邻补角的性质得到，由角平分线的性质得到，根据邻补角的性质可求出答案． 【解答】解：， ， 平分， ， ． 39．【答案】（1）平行，理由见解析； （2）①见解析；②当点在点的右侧时，；当点在点的左侧时，，理由见解析． 【分析】（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出； （2）①根据题意补全图形；②分两种情况进行讨论：当点在点的右侧时，．当点在点的左侧时，． 【解答】解：（1）结论：． 理由：平分， ， 又， ， ； （2）①补全图形，如图， ②分两种情况讨论： 如图2，当点在点的右侧时，． 证明：， ， 又平分，平分， ，， ， 又， ， 即； 如图3，当点在点的左侧时，． 证明：， ， 又平分，平分， ， ， 又， ， 即． 综上，当点在点的右侧时，；当点在点的左侧时，． 40．【答案】（1）160； （2）或． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，用量角器画出射线即可，再计算度数即可； （2）根据垂直的定义得，再利用角的和与差即可得度数． 【解答】解：（1）如图1， ，， ， ； 故答案为：160； （2）如图2，当在上方时， ， ， ， 如图3，当在下方时， ， ， ， ． 综上所述：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$