4.3 公式法-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 4.3 公式法 一．选择题（共20小题） 1．若n为任意整数，（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（　　） A．11 B．22 C．11或12 D．11的倍数 2．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+c2＝2b（a+c﹣b），则此三角形是（　　） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3．下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是（　　） A． B． C．16x2+8x+1 D．x2﹣6x+9 4．下列因式分解正确的是（　　） A．m2﹣5m+6＝m（m﹣5）+6 B．4m2﹣1＝（2m﹣1）2 C．m2+4m﹣4＝（m+2）2 D．4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1） 5．下列因式分解正确的是（　　） A．n2﹣5n+6＝n（n﹣5）+6 B．4x2+1＝（2x+1 ）2 C．y2+4y﹣4＝（y+2）2 D．4t2﹣1＝（2t﹣1）（2t+1） 6．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．y2﹣49x2 B． C．﹣m2﹣n2 D． 7．下列因式分解正确的是（　　） A．9﹣b2＝（3﹣b）（3+b） B．x2﹣1＝（1+x）（1﹣x） C．a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1 D．4a2﹣8a＝2a（2a﹣4） 8．如果多项式x2+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为（　　） A．a＝1，b＝2 B．a＝1，b＝﹣2 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2 9．若x2+3x﹣1＝0，则x3+5x2+5x+2018＝（　　） A．10 B．2 C．2018 D．2020 10．下列多项式能用平方差公式因式分解的是（　　） （1）x2+y2，（2）﹣x2+y2，（3）﹣x2﹣y2，（4）x2﹣y2． A．（1）和（2） B．（2）和（4） C．（3） D．（4） 11．下列因式分解正确的是（　　） A．ab+ac+a＝a（b+c） B．a2﹣2a﹣3＝（a+3）（a﹣1） C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4） 12．能用平方差公式分解因式的多项式是（　　） A．x2﹣2x+1 B．x2+9 C．ax﹣ay D．﹣x2+4 13．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．y2﹣49x2 B．x4 C．﹣m4﹣n2 D．（p+q）2﹣9 14．下列因式分解正确的是（　　） A．m2﹣6m+9＝（m﹣3）2 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 D．2a2+4a＝a（2a+4） 15．把4x4﹣9在实数范围内分解因式，结果正确的是（　　） A．（2x2+3）（2x2﹣3） B． C． D． 16．分解因式：16﹣x2＝（　　） A．（4﹣x）（4+x） B．（x﹣4）（x+4） C．（8+x）（8﹣x） D．（4﹣x）2 17．若多项式4﹣ax+x2可以分解因式为（2﹣x）2，则a的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．±4 18．﹣（2x﹣y）（2x+y）是下列哪个多项式因式分解的结果（　　） A．4x2﹣y2 B．4x2+y2 C．﹣4x2﹣y2 D．﹣4x2+y2 19．把多项式x3﹣xy2分解因式，下列结果正确的是（　　） A．x（x+y）2 B．x（x﹣y）2 C．x（x﹣y）（x+y） D．x（x2﹣y2） 20．对于任意整数n，多项式（n+11）2﹣（n+2）2都能被（　　）整除． A．9 B．2 C．11 D．n+9 二．填空题（共10小题） 21．记S＝10，则S的整数部分是 　 　． 22．（1）若x2+y2＝10，xy＝3，那么代数式x﹣y的值为　 　． （2）若x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28，那么代数式x+y的值为　 　． 23．因式分解：y（2x﹣y）﹣x2+z2＝　 　． 24．把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是　 　． 25．分解因式：ab3﹣4ab＝　 　． 26．分解因式：5a2+10a+5＝　 　． 27．在实数范围内因式分解：x2﹣2＝　 　． 28．分解因式：2n2﹣8＝　 　． 29．x+y＝1，则x2+xyy2＝　 　． 30．如果x2+x﹣1＝0，则代数式x4+3x3+4x2+x﹣7的值为 　 　． 三．解答题（共10小题） 31．分解因式：ax2﹣6ax+9a． 32．因式分解： （1）x2﹣6x+9； （2）m2﹣n2+（m﹣n）． 33．把多项式分解因式 （1）3a3b﹣12ab3； （2）3m2﹣24m+48； （3）（x2+y2）2﹣4x2y2． 34．m2﹣13m+12． 35．若关于x的二次三项式x2+x+m因式分解为x2+x+m＝（x+n）2，求m，n的值． 36．因式分解： （1）2x2﹣8 （2）x3y﹣10x2y+25xy 37．因式分解： （1）3x2+6x+3； （2）a3﹣9a． 38．因式分解： ①25m2﹣4n2． ②a2b﹣10ab+25b． 39．分解因式： （1）a2+2a； （2）x2﹣16． 40．设是一个两位数，如果a+b可以被9整除，则这个两位数可以被9整除吗？为什么？ 同步单元练习——北师大版 4.3 公式法 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A A D D C A B D B C 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C A D A C D C A 一．选择题（共20小题） 1．【答案】A 【分析】利用平方差公式进行因式分解，然后整理成含有常数因式的形式． 【解答】解：∵（n+11）2﹣n2， ＝（n+11+n）（n+11﹣n）， ＝11（2n+11）， ∴（n+11）2﹣n2的值总可以被11整除． 故选：A． 2．【答案】A 【分析】将已知式子变形为a2+c2+b2+b2﹣2ba﹣2bc＝0，再因式分解为（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0即可求解． 【解答】解：∵a2+c2＝2b（a+c﹣b）， ∴a2+c2+b2+b2﹣2ba﹣2bc＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故选：A． 3．【答案】A 【分析】根据完全平方公式进行分解，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故A符合题意； B、x2﹣x+1＝（x﹣1）2，故B不符合题意； C、16x2+8x+1＝（4x+1）2，故B不符合题意； D、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故D不符合题意； 故选：A． 4．【答案】D 【分析】利用因式分解的定义、以及十字相乘法、公式法和提取公因式法分别分解因式得出答案即可． 【解答】解：A、m2﹣5m+6＝m（m﹣2）（m﹣3），故此选项错误； B、4m2﹣1＝（2m﹣1）（2m+1），故此选项错误； C、m2+4m﹣4不能用完全平方公式分解，故此选项错误； D、4m2﹣1＝（2m+1）（2m﹣1），故此选项正确； 故选：D． 5．【答案】D 【分析】分别利用十字相乘法、实数范围内分解因式、平方差公式逐一分解即可． 【解答】解：A．n2﹣5n+6＝（n﹣2）（n﹣3），此选项错误； B．4x2+1不能因式分解，此选项错误； C．y2+4y﹣4＝（y+2+2）（y+2﹣2），此选项错误； D．4t2﹣1＝（2t﹣1）（2t+1），此选项正确； 故选：D． 6．【答案】C 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反． 【解答】解：A、y2﹣49x2＝（y+7x）（y﹣7x），能用平方差公式进行因式分解，不合题意； B、x4＝（x2）（x2），能用平方差公式进行因式分解，不合题意； C、﹣m2﹣n2不符合平方差公式的特点，符合题意； D、（p+q）2﹣9＝（pq+3）（pq﹣3），能用平方差公式进行因式分解，不合题意． 故选：C． 7．【答案】A 【分析】A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断； B、原式利用平方差公式分解得到结果，即可作出判断； C、原式不能分解，错误； D、原式提取公因式得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝（3+b）（3﹣b），正确； B、原式＝（x+1）（x﹣1），错误； C、原式不能分解，错误； D、原式＝4a（a﹣2），错误， 故选：A． 8．【答案】B 【分析】已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可． 【解答】解：根据题意得：x2+ax+b＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2， 则a＝1，b＝﹣2， 故选：B． 9．【答案】D 【分析】先将x2+3x﹣1＝0变形，得出x2+3x＝1，再将要求的式子变形并分别提取公因式，然后将x2+3x＝1整体代入计算即可． 【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0， ∴x2+3x＝1， ∴x3+5x2+5x+2018 ＝x3+3x2+2x2+6x﹣x+2018 ＝x（x2+3x）+2（x2+3x）﹣x+2018 ＝x+2﹣x+2018 ＝2020． 故选：D． 10．【答案】B 【分析】利用平方差公式判断即可． 【解答】解：﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x）； x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． 故选：B． 11．【答案】C 【分析】根据因式分解的方法对各选项进行判断即可． 【解答】解：A．ab+ac+a＝a（b+c+1），故选项A错误； B．a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3），故选项B错误； C．a2+2ab+b2＝（a+b）2，故选项C正确； D．a4﹣16＝（a2）2﹣42＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+4）（a﹣4），故选项D错误． 故选：C． 12．【答案】D 【分析】利用平方差公式判断即可． 【解答】解：A、原式＝（x﹣1）2，不符合题意； B、原式不能分解，不符合题意； C、原式＝a（x﹣y），不符合题意； D、原式＝（﹣x+2）（x+2），符合题意， 故选：D． 13．【答案】C 【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案． 【解答】解：A、y2﹣49x2＝（y+7x）（y﹣7x），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误； B、x4＝（x2）（x2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误； C、﹣m4﹣n2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确； D、（p+q）2﹣9＝（pq+3）（pq﹣3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误； 故选：C． 14．【答案】A 【分析】各式分解得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝（m﹣3）2，符合题意； B、原式＝（x+2y）（x﹣2y），不符合题意； C、原式＝（x﹣2）（x+1），不符合题意； D、原式＝2a（a+2），不符合题意． 故选：A． 15．【答案】D 【分析】先利用平方差公式分解因式，再把2x2写成（x）2，3写成（）2，继续利用平方差公式进行因式分解，然后再选择答案即可． 【解答】解：4x4﹣9 ＝（2x2+3）（2x2﹣3） ＝（2x2+3）（x）（x）． 故选：D． 16．【答案】A 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：16﹣x2＝（4﹣x）（4+x）． 故选：A． 17．【答案】C 【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 4﹣ax+x2＝（2﹣x）2， 4﹣ax+x2＝4﹣4x+x2， ∴a＝4， 故选：C． 18．【答案】D 【分析】直接利用乘法公式得出计算进而得出答案． 【解答】解：﹣（2x﹣y）（2x+y） ＝﹣（4x2﹣y2） ＝﹣4x2+y2． 故选：D． 19．【答案】C 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝x（x2﹣y2） ＝x（x+y）（x﹣y）， 故选：C． 20．【答案】A 【分析】将多项式利用平方差公式分解因式，由n为整数，得到2n+13为整数，可得出多项式能被9整除． 【解答】解：多项式（n+11）2﹣（n+2）2＝[（n+11）+（n+2）][（n+11）﹣（n+2）]＝9（2n+13）， ∵n为整数，∴2n+13为整数， 则多项式（n+11）2﹣（n+2）2都能被9整除． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】20209． 【分析】先通过等式变形为2020，再去掉2020得2020，通过因式分解和分式的性质求得2020的取舍范围是0.91，进而可使进一步求得S的取值范围，从而得出结果． 【解答】解：∵S＝10， ∴2020， ， ∵1， ∴0.91， ∴2020.92021， ∴20209＜S＜20210， ∴S的整数部分是 20209． 故答案为：20209． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用完全平方公式列出关系式，将已知等式代入计算，开方即可求出x﹣y的值； （2）已知两等式左右两边相加，利用完全平方公式变形，即可求出x+y的值． 【解答】解：（1）∵x2+y2＝10，xy＝3， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝10﹣6＝4， 则x﹣y＝±2； （2）∵x2+xy+x＝14，y2+xy+y＝28， ∴x2+xy+x+y2+xy+y＝42，即（x+y）2+（x+y）﹣42＝0， 分解因式得：（x+y﹣6）（x+y+7）＝0， 则x+y＝6或﹣7． 故答案为：（1）±2；（2）6或﹣7 23．【答案】见试题解答内容 【分析】先利用单项式乘多项式的法则计算，然后再前三项一组，利用分组分解法分解因式． 【解答】解：y（2x﹣y）﹣x2+z2， ＝2xy﹣y2﹣x2+z2， ＝﹣（x﹣y）2+z2， ＝（z+x﹣y）（z﹣x+y）． 24．【答案】3a（x+2）（x﹣2）． 【分析】先提公因式，再利用公式法进行因式分解． 【解答】解：3ax2﹣12a＝3a（x2﹣4）＝3a（x+2）（x﹣2）， 故答案为：3a（x+2）（x﹣2）． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：ab3﹣4ab， ＝ab（b2﹣4）， ＝ab（b+2）（b﹣2）． 故答案为：ab（b+2）（b﹣2）． 26．【答案】5（a+1）2． 【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可． 【解答】解：5a2+10a+5 ＝5（a2+2a+1） ＝5（a+1）2， 故答案为：5（a+1）2． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】利用平方差公式即可分解． 【解答】解：x2﹣2＝（x）（x）． 故答案为：（x）（x）． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝2（n2﹣4） ＝2（n+2）（n﹣2）． 故答案为：2（n+2）（n﹣2）． 29．【答案】． 【分析】变形后整体代换求值． 【解答】解：原式（x2+2xy+y2）（x+y）2 1 ． 故答案为： 30．【答案】﹣4． 【分析】此题先将x2+x﹣1＝0化为x2+x＝1，再将后面的式子化成用x2+x表示的式子，然后代入计算即可． 【解答】解：∵x2+x﹣1＝0， ∴x2+x＝1， ∴x4+3x3+4x2+x﹣7 ＝x4+x3+2x3+4x2+x﹣7 ＝x2（x2+x）+2x3+4x2+x﹣7 ＝2x3+5x2+x﹣7 ＝2x3+2x2+3x2+x﹣7 ＝2x（x2+x）+3x2+x﹣7 ＝3x+3x2﹣7 ＝3（x2+x）﹣7 ＝3﹣7 ＝﹣4． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】a（x﹣3）2． 【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 【解答】解：ax2﹣6ax+9a＝a（x2﹣6x+9）＝a（x﹣3）2． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先运用平方差公式，再运用提公因式法进行因式分解． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣3）2． （2）原式＝（m+n） （m﹣n）+（m﹣n） ＝（m﹣n） （m+n+1）． 33．【答案】（1）3ab（a+2b）（a﹣2b）；（2）3（m﹣4）2；（3）（x+y）2（x﹣y）2． 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝3ab（a2﹣4b2）＝3ab（a+2b）（a﹣2b）； （2）原式＝3（m2﹣8m+16）＝3（m﹣4）2； （3）原式＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）＝（x+y）2（x﹣y）2． 34．【答案】（m﹣12）（m﹣1）． 【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案． 【解答】解：m2﹣13m+12＝（m﹣12）（m﹣1）． 35．【答案】，． 【分析】将（x+n）2利用完全平方公式展开，找到对应项，然后得到答案． 【解答】解：∵（x+n）2＝x2+2nx+n2＝x2+x+m， ∴2n＝1，n2＝m， 解得m，n． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先提公因式2，再利用平方差进而二次分解即可； （2）首先提公因式进行分解，再利用完全平方进行二次分解即可． 【解答】解：（1）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）； （2）x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2． 37．【答案】（1）3（x+1）2； （2）a（a﹣3）（a+3）． 【分析】（1）先提公因式，再用公式法因式分解即可； （2）先提公因式，再用公式法因式分解即可． 【解答】解：（1）3x2+6x+3＝3（x2+2x+1）＝3（x+1）2； （2）a3﹣9a＝a（a2﹣9）＝a（a﹣3）（a+3）． 38．【答案】①（5m+2n）（5m﹣2n）；②b（a﹣5）2． 【分析】①利用平方差公式分解因式即可； ②先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：①25m2﹣4n2＝（5m）2﹣（2n）2＝（5m+2n）（5m﹣2n）； ②a2b﹣10ab+25b＝b（a2﹣10a+25）＝b（a﹣5）2． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接提公因式a即可； （2）利用平方差进行分解即可． 【解答】解：（1）原式＝a（a+2）； （2）原式＝（x﹣4）（x+4）． 40．【答案】可以，理由见解析． 【分析】首先将这个两位数表示出来，再将其变形得9a+（a+b），由已知条件可得9a及a+b均能被9整除，从而证得这个两位数也能被9整除． 【解答】解：可以，理由如下： ∵是一个两位数， ∴这个两位数为10a+b， 即10a+b＝9a+（a+b）， ∵9a能被9整除，a+b可以被9整除， ∴9a+（a+b）能被9整除， 即能被9整除． 学科网（北京）股份有限公司 $$