4.3 第1课时 平方差公式课件2023-2024学年北师大版八年级数学下册

4.3 公式法 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式 如图，在边长为 x (x＞5) 米的正方形上剪掉一个边长为 5 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？ x 米 5 米 5米 x 米 (x - 5)米 x2 - 52 = (x + 5)(x - 5) 3x y y 3x (3x - y) 同理，根据此图形变换，你能得到什么公式？ 9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y) 用平方差公式进行因式分解 1 观察下面两个等式，它们有什么共同特征? x2 - 25 = (x + 5)(x - 5) 9x2 - y2 = (3x + 5)(3x - y) (3x)2 是两数的平方差的形式 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 乘法公式 因式分解 52 运算法则： 文字说明： 两个数的平方差，等于这两个数的___与这两个数的_____的乘积. a2 - b2 = (a + b)(a − b) 和 差 运用平方差公式因式分解 定义总结 将乘法公式 (a + b)(a − b) = a2 - b2 反过来，就得到 √ √ × × 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ √ √ 辨一辨 (1) x2 + y2 (2) x2 - y2 (3) -x2 - y2 (4) -x2 + y2 (5) x2 - 25y2 (6) 9m2 - 1 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成 ( )2 - ( )2 的形式. 总结 -(x2 + y2) y2 - x2 x2 - (5y)2 (3m)2 - 12 典例精析 例1 把下列各式因式分解： (1) 25－16x2； (2) 9a2－ b2. 解：(1) 原式＝52－(4x)2 a2 － b2 ＝(a ＋ b)(a － b) ＝(5＋4x) (5－4x) 解：(2) 原式＝(3a)2－ ( b)2 ＝(3a＋ b)2 (3a－ b)2 例2 分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2； (2) (a＋b)2－4a2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝(b－a)(3a＋b). 解：(1) 原式＝(3m＋3n)2－(m－n)2 ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式继续分解 ＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) (2) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) 公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 方法总结 例3 把下列各式因式分解： 解：(1) 原式＝2x(x2－ 4) ＝2x( x + 2 )( x - 2) 分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解 (2) 原式＝ab(a2 - 1) 分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查 ＝ab(a + 1)(a - 1). (1) 2x3－8x； (2) a3b－ab. 1.把下列各式分解因式： (1) 5m2a4 －5m2b4； (2) a2－4b2－a－2b. ＝ (a＋2b)(a－2b－1). ＝ 5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b). 解：(1)原式 ＝ 5m2(a4－b4) ＝ 5m2(a2＋b2)(a2－b2) (2)原式 ＝ (a2－4b2)－(a＋2b) ＝ (a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) 练一练 2. 已知 x2 - y2＝－2，x＋y＝1，求 x - y，x，y 的值. ∴ x - y ＝ -2②. 解：∵ x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y)＝ -2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 平方差公式分解因式 公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 (　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 D 2. 把下列各式分解因式： (1) 16a2 - 9b2 = _________________ ； (2) (a + b)2 - (a - b)2 = _____； (3) 9xy3 - 36x3y =_________________； (4) -a