4.1 因式分解-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 4.1 因式分解 一．选择题（共20小题） 1．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6 B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2 C．2x2y＝2x•xy D．a2+2a＝a（a+2） 2．下列变形是因式分解的是（　　） A．x（x+1）＝x2+x B．x2+4x+4＝（x+2）2 C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5 3．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 B．5a2b﹣ab＝ab（5a﹣1） C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D． 4．下列各式从左到右，是因式分解的是（　　） A．（y﹣1）（y+1）＝y2﹣1 B．x2y+xy2﹣1＝xy（x+y）﹣1 C．（x﹣2）（x﹣3）＝（3﹣x）（2﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 5．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2 D．2x﹣2y＝2（x﹣y） 6．下列由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2﹣1＝x（x） 7．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（　　） A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2 C．ax+bx+c＝x（a+b）+c D．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1） 8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　） A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c 9．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a﹣3）＝a2﹣3a B．（a+3）2＝a2+6a+9 C．6a2+1＝a2（6） D．a2﹣9＝（a+3）（a﹣3） 10．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　） A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x D．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1） 11．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x+1）＝x2+x B．（x﹣5）2＝x2﹣10x+25 C． D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） 12．下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　） A．ax﹣ay＝a（x﹣y） B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4 C．x2﹣9+8x＝（x+3）（x﹣3）+8x D．（3a﹣2）（﹣3a﹣2）＝4﹣9a2 13．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 D．x2+1＝x（x） 14．下列从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．2x2﹣2x﹣1＝2x（x﹣1）﹣1 B．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a2+2a+1＝（a+1）2 15．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x+2）＝x2+2x B．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9 C． D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） 16．下列变形属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x﹣1＝x（1）（x≠0） C．x3+2x2+1＝x2（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） 17．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．﹣18x4y3＝﹣6x2y2•3x2y C．x2+2x+1＝x（x+2x）+1 D．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2 18．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 C．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1） D．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy 19．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 C．x2+1＝x（x） D．a2b+ab2＝ab（a+b） 20．关于x的二次多项式x2+2kx﹣3k有因式（x﹣1），那么k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．1或﹣1 二．填空题（共10小题） 21．若多项式x2﹣x+m在有理数范围内能分解因式，把你发现字母m的取值规律用含字母n（n为正整数）的式子表示为　 　． 22．已知关于x的二次式x2+mx+n，当m＝　 　，n＝　 　时（写出一组满足条件的整数值即可），它在有理数范围内能够进行因式分解． 23．若多项式x2+px﹣6可分解成（x+m）（x+n），其中m，n为整数，则符合条件的p的值有 　 　个． 24．当k＝　 　时，二次三项式x2﹣kx+12分解因式的结果是（x﹣4）（x﹣3）． 25．若x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4），则a＝　 　，b＝　 　． 26．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝　 　，n＝　 　． 27．若多项式x2+6x+k能因式分解，则正整数k的值等于 　 　． 28．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为　 　． 29．请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是 　 　． 30．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝　 　，b＝　 　． 三．解答题（共3小题） 31．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解． 32．若x2+x+m＝（x+n）2，求m，n的值． 33．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题． （1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法一：设2x3﹣x2+m＝（2x+1）（x2+ax+b）， 则：2x3﹣x2+m＝2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b 比较系数得，解得，∴． 解法二：设2x3﹣x2+m＝A•（2x+1）（A为整式） 由于上式为恒等式，为方便计算了取， 20，故． （2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值． 同步单元练习——北师大版 4.1 因式分解 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B B D D B D C D D D 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A C D D D D C D A 一．选择题（共20小题） 1．【答案】D 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A． （a﹣3）（a+2）＝a2﹣a﹣6，是多项式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B．x2﹣1+y2＝（x+1）（x﹣1）+y2，等式的右边不是整式的乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意； C．2x2y＝2x⋅xy，等式的左边不是多项式，故该选项不正确，不符合题意； D．a2+2a＝a（a+2），是因式分解，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 2．【答案】B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案． 【解答】解：A、是整式的乘法，故A不合题意； B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B符合题意； C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C不合题意； D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D不符合题意； 故选：B． 3．【答案】B 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【解答】解：a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4中等号右边不是积的形式，则A不符合题意； 5a2b﹣ab＝ab（5a﹣1）符合因式分解的定义，则B符合题意； （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是乘法运算，则C不符合题意； 中不是整式，则D不符合题意； 故选：B． 4．【答案】D 【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误； B、结果不是积的形式，故本选项错误； C、不是对多项式变形，故本选项错误； D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，正确． 故选：D． 5．【答案】D 【分析】根据把多项式写成几个整式积的形式叫做分解因式对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B、是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项错误； C、应为x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，故本选项错误； D、2x﹣2y＝2（x﹣y）是因式分解，故本选项正确． 故选：D． 6．【答案】B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确； C、没把把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D、没把把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误； 故选：B． 7．【答案】D 【分析】直接利用把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而分析得出答案． 【解答】解：A、x（a﹣b）＝ax﹣bx，是整式乘法，故此选项错误； B、x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2，不是因式分解，故此选项错误； C、ax+bx+c＝x（a+b）+c，不是因式分解，故此选项错误； D、y2﹣1＝（y+1）（y﹣1），是因式分解，故此选项正确． 故选：D． 8．【答案】C 【分析】根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【解答】解：A、是整式的乘法运算，故选项错误； B、结果不是积的形式，故选项错误； C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确； D、结果不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 9．【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 10．【答案】D 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【解答】解：A、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误； B、右边不是积的形式，不是分解因式，故本选项错误； C、右边不是积的形式，故本选项错误； D、右边是积的形式，故本选项正确． 故选：D． 11．【答案】D 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【解答】解：x（x+1）＝x2+x是乘法运算，则A不符合题意； （x﹣5）2＝x2﹣10x+25是乘法运算，则B不符合题意； 3x2+1中等号右边不是整式积的形式，则C不符合题意； x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）符合因式分解的定义，则D符合题意； 故选：D． 12．【答案】A 【分析】因式分解就是把多项式分解成整式的积的形式，依据定义即可判断． 【解答】解：A、是因式分解，正确； B、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误； C、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误； D、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误． 故选：A． 13．【答案】C 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．等式的右边是分式与整式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 14．【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐项分析判断即可． 【解答】解：A．2x2﹣2x﹣1＝2x（x﹣1）﹣1，等式右面不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故A选项不符合题意； B．x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，等式右面不是几个整式积的形式，不属于因式分解，故B选项不符合题意； C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，属于多项式乘法，不属于因式分解，故C选项不符合题意； D．a2+2a+1＝（a+1）2，属于因式分解，故D选项符合题意． 故选：D． 15．【答案】D 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【解答】解：A、B、C不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、符合因式分解的定义，符合题意． 故选：D． 16．【答案】D 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左边到右边的变形，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左边到右边的变形，属于因式分解，故本选项符合题意． 故选：D． 17．【答案】D 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误； B、左边是单项式，不是因式分解，错误； C、右边不是积的形式，错误； D、是因式分解，正确． 故选：D． 18．【答案】C 【分析】根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可． 【解答】解：A、2a2﹣2a+1＝2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C． 19．【答案】D 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误； B、没因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误； C、没因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确； 故选：D． 20．【答案】A 【分析】根据整式的除法，可得答案． 【解答】解：由x2+2kx﹣3k有因式（x﹣1），得 x2+2kx﹣3k÷（x﹣1）＝x+2k+1， 解得k＝1． 故选：A． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】根据因式分解与整式乘法互为逆运算，利用公式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq求解即可． 【解答】解：根据整式乘法计算公式：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq有此题中p+q＝﹣1， 则q＝﹣1﹣p， ∴pq＝p（﹣1﹣p）＝﹣p（p+1） ∴把字母m的取值规律用含字母n（n为正整数）的式子表示为m＝﹣n（n﹣1）． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】根据因式分解的意义，可得答案． 【解答】解：由x2+5x+6＝（x+2）（x+3），得 已知关于x的二次式x2+mx+n，当m＝5，n＝6时，它在有理数范围内能够进行因式分解， 故答案为：5，6． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】把﹣6分解为两个整数的积的形式，p等于这两个整数的和． 【解答】解：﹣6＝2×（﹣3）＝（﹣2）×3＝﹣1×6＝﹣6×1， 所以p＝﹣1或1或5或﹣5，共4个． 故答案为：4． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解． 【解答】解：∵（x﹣4）（x﹣3）＝x2﹣7x+12， ∴﹣k＝﹣7，k＝7． 故应填7． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】将右式展开，与左式对应项相等，即可求得啊a、b的值． 【解答】解：∵（x+3）（x﹣4）， ＝x2﹣x﹣12， ＝x2+ax+b， ∴a＝﹣1，b＝﹣12． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】先利用多项式乘法展开，再根据对应项系数相等求解． 【解答】解：根据题意得：x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+（n﹣10）x﹣10n ∴n﹣10＝﹣8，﹣10n＝m 解得m＝﹣20，n＝2； 故应填﹣20，2． 27．【答案】9或8或5． 【分析】由多项式能分解因式，利用十字相乘法和公式法求出k的值即可． 【解答】解：∵多项式x2+6x+k能因式分解， 而x2+6x+k＝（x+3）2，或x2+6x+k＝（x+2）（x+4），或x2+6x+k＝（x+1）（x+5），或x2+6x+k＝（x﹣1）（x+7）， ∴k＝9或8或5（k＝﹣7不合题意，舍去）． 故答案为：9或8或5． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值． 【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3， ∴k＝﹣4，b＝3， 则k+b＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1 29．【答案】xy（答案不唯一）． 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【解答】解：这个整式A可以是：xy（答案不唯一）． 故答案为：xy（答案不唯一）． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】将原多项式因式分解后与（x﹣a）（x﹣b）对照，且根据a＞b即可得到a、b的值． 【解答】解：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）＝（x﹣a）（x﹣b）， ∵a＞b， ∴a＝5，b＝﹣4． 故答案为5，﹣4． 三．解答题（共3小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案． 【解答】解：∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2， 当x时多项式的值为0， 即30， ∴2+m＝0， ∴m＝﹣2； ∴3x2+x+m＝3x2+x﹣2＝（x+1）（3x﹣2）； 故答案为：m＝﹣2，（x+1）（3x﹣2）． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】把等式右边利用完全平方公式展开，再利用对应项系数相等即可求解． 【解答】解：∵（x+n）2＝x2+2nx+n2＝x2+x+m， ∴2n＝1，n2＝m， 解得：m，n． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值． 【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式）， 取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①， 取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②， 由①、②解得m＝﹣5，n＝20． 学科网（北京）股份有限公司 $$