1.4 角平分线-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 1.4 角平分线 一．选择题（共20小题） 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，已知CD＝2，AB＝7，则△ADB的面积是（　　） A．3.5 B．5 C．7 D．14 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交边BC于点D，若CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积是（　　） A．36 B．24 C．12 D．10 3．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　） A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点 B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点 C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点 D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点 4．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 5．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB＝7，DE＝4，则S△ABD＝（　　） A．28 B．21 C．14 D．7 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD＝2，AB＝5，△ABD面积是（　　） A．2 B．5 C．10 D．20 8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BG平分∠ABC，交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．无法确定 9．如图，Rt△ABC中，，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线交AD于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则△BPC的面积为（　　）cm2． A．6 B．5 C．4 D．3 10．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 11．为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带MN∥PQ，绿化带AB交绿化带MN于A，交绿化带PQ于B．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（　　） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 13．如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP＝2OQ，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点D是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PD的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E．若CD＝3cm，则D到AB的距离是（　　）cm． A．2 B．3 C．4 D．5 16．如图，MP⊥NP，MQ为∠PMN的平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（　　） A．TQ＝PQ B．∠MQT＝∠MQP C．∠QTN＝90° D．∠NQT＝∠MQT 17．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（　　） A．PE＝PF B．AE＝AF C．△APE≌△APF D．AP＝PE+PF 18．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 20．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 二．填空题（共10小题） 21．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　 　． 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是 　 　． 23．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝1，则PQ的最小值为　 　． 24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是 　 　． 25．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，AB＝10，AC＝6，则BE的长为 　 　． 26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D．若AB＝a，CD＝b，则△ADB的面积为　 　． 27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝9cm，BD＝6cm，那么点D到AB边所在直线的距离是 　 　cm． 28．如图，点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2，如果E是射线OB上一点，那么CE长度的最小值是　 　． 29．如图所示，已知∠MOS＝∠NOS，PA⊥OM，垂足是A，如果AP＝5cm，那么点P到ON的距离等于　 　cm． 30．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　 　． 三．解答题（共10小题） 31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝2，若△ABD的面积为5，求AB的长． 32．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长． 33．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝10cm，求△DBE的周长． 34．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AB＝10，AC＝6，求D到AB的距离． 35．一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯．请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点． 36．如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AC＝7，AD＝6，∠B＝60˚，S△ADC，求BC和AB的长． 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若CB＝6，那么BD+DE＝　 　． 38．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长．#ZZ01 39．如图，已知∠BAC＝90°，BD是∠ABC的平分线，AE⊥BC，DF⊥BC，求证：AH＝DF． 40．已知：∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°． （1）如图1，当∠B＝∠D时，求证：AB+AD＝AC； （2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由． 同步单元练习——北师大版 1.4 角平分线 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A C C D B A C C C 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A D B D D C C D 一．选择题（共20小题） 1．【答案】C 【分析】首先作DE⊥AB，再根据角平分线性质即可得出CD＝DE；然后根据△ABD的面积AB•DE，即可求出结果． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，于点E． ∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°， ∴CD＝DE（角平分线性质）． ∵S△ABDAB•DE＝7． 故选：C． 2．【答案】C 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质得DE＝CD＝3，再根据三角形的面积公式即可求出△ABD的面积． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示： ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，CD＝3， ∴DE＝CD＝3， 又∵AB＝8， ∴S△ABDAB•DE8×3＝12． 故选：C． 3．【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答． 【解答】解：如图： ∵AD平分∠BAC，点H在AD上， ∴点H到AB、AC的距离相等， ∵BE是AC边上的中线， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积， ∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积， ∴△ABH的面积＝△CBH的面积， ∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点， 故选：A． 4．【答案】C 【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可． 【解答】解：过P作PE⊥OB于E， ∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA， ∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP， ∵OD＝DP， ∴∠BOP＝∠DPO， ∴∠AOP＝∠DPO， ∴PD∥OA， ∴∠PDE＝∠AOB， ∵∠AOB＝30°， ∴∠PDE＝30°， ∵∠PEO＝90°，DP＝2， ∴PEDP＝1， ∴PC＝1， 故选：C． 5．【答案】C 【分析】利用角平分线的性质定理即可解决问题； 【解答】解：作DH⊥BA于H． ∵BD平分∠ABC，BC⊥DE，DH⊥AB， ∴DH＝DE＝4， ∴S△ABD7×4＝14， 故选：C． 6．【答案】D 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到4×74×AC＝24，然后解一次方程即可． 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC， ∴4×74×AC＝24， ∴AC＝5， 故选：D． 7．【答案】B 【分析】由已知条件，根据角平分线的性质，边AB上的高等于CD的长2，再由三角形的面积公式求得△ABD的面积． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴点D到AB的距离为CD的长， ∴． 故选：B． 8．【答案】A 【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题． 【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H． ∵GB平分∠ABC，∠C＝90°，即GC⊥BC， ∴GH＝GC＝1， 根据垂线段最短可知，GP的最小值为1， 故选：A． 9．【答案】C 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线， ∴AP＝PD， ∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形， ∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP． ∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP， ∴． 故选：C． 10．【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D， ∴OE＝OD＝5， ∴△AOB的面积， 故选：C． 11．【答案】C 【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个． 【解答】解：∵∠BAN和∠ABQ的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵∠BAM和∠ABP的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：C． 12．【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG＝∠ACB，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG＝∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可． 【解答】解：∵BE是AC边的中线， ∴AE＝CE， ∵△ABE的面积，△BCE的面积AB， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确； ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB， ∵CF是∠ACB的角平分线， ∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB， ∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误； ∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB， ∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴AF＝AG，故③正确； 根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误； 即正确的为①③， 故选：D． 13．【答案】A 【分析】过点M作ME⊥OP，MF⊥OB，先利用角平分线的性质说明EM与MF的关系，再利用三角形的面积公式求出OP与EM的积，最后再利用三角形的面积公式得结论． 【解答】解：过点M作ME⊥OP，MF⊥OB，垂足分别为E、F． ∵M是∠AOB平分线上的一点，ME⊥OP，MF⊥OB， ∴ME＝MF． ∵S△OMPOP×EM＝2， ∴OP×EM＝4． ∵OP＝2OQ， ∴OQ×EM＝2． ∴S△OMQOQ×EF OQ×EM ＝1． 故选：A． 14．【答案】D 【分析】作PD⊥OM于点D，由点到直线距离的定义可知线段PQ的长就是点P代射线OM的最短距离，再根据角平分线的性质可知PD＝PA＝4． 【解答】解：过点P作PD⊥OM于点D，则线段PD的长就是点P代射线OM的最短距离， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4， ∴PD的最小值＝PD＝PA＝4． 故选：D． 15．【答案】B 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝3， 故选：B． 16．【答案】D 【分析】由SAS易证△MPQ≌△MTQ，则两三角形的对应边、对应角相等，据此作答． 【解答】解：∵MQ为∠PMN的平分线， ∴∠PMQ＝∠TMQ， 又∵MT＝MP，MQ＝MQ， ∴△MPQ≌△MTQ（SAS）， ∴TQ＝PQ，∠MQT＝∠MQP，∠QTN＝∠P＝90°， 故ABC选项正确． 故选：D． 17．【答案】D 【分析】题目的已知条件比较充分，满足了角平分线的性质要求的条件，可直接应用性质得到结论，与各选项进行比对，得出答案． 【解答】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴PE＝PF， 又有AD＝AD， ∴△APE≌△APF（HL）， ∴AE＝AF， 故选：D． 18．【答案】C 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCEBC•EF5×2＝5， 故选：C． 19．【答案】C 【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：C． 20．【答案】D 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【解答】解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴△ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到△ABC的三边的距离相等， ∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有4个， ∴可供选择的地址有4个． 故选：D． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得PE＝PD＝2． 【解答】解：过P作PE⊥OA于点E， ∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB， ∴PE＝PD， ∵PD＝2， ∴PE＝2， ∴点P到边OA的距离是2． 故答案为2． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DC＝3，然后根据三角形的面积公式计算S△ABD． 【解答】解：作DE⊥AB于E，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∴S△ABD8×3＝12． 故答案为12． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】作PH⊥OM于M，如图，根据角平分线定理得到PH＝PA＝2，根据垂线段最短，则Q点运动到H点时，PQ最小，于是得到PQ的最小值为2． 【解答】解：作PH⊥OM于M，如图， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON， ∴PH＝PA＝1， ∴点P到OM的距离为1， ∴Q点运动到H点时，PQ最小，即PQ的最小值为1． 故答案为：1． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】要求△ABD的面积，有AB＝5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是2，则可求得面积． 【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴点D到AB的距离＝CD＝2， ∴△ABD的面积是5×2÷2＝5． 故答案为：5． 25．【答案】4． 【分析】先证明△ACD和△AED全等，得出AC＝AE，即可得出BE的长度． 【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝∠C＝90°， 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC（AAS）， ∴AE＝AC＝6， ∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 故答案为4． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线性质得出DE＝CD，即可求出答案． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠CBA，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝b， ∴△ADB的面积是AB×DEab， 故答案为：ab． 27．【答案】3． 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【解答】解：如图，作DE垂直于AB于点E，则DE为点D到AB边所在直线的距离． ∵BC＝9cm，BD＝6cm， ∴CD＝3cm， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝3cm， 故答案为：3． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】过点C作CE⊥OB于点E，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：过点C作CE⊥OB于点E， ∵点C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA于点D，且CD＝2， ∴CE＝CD＝2， 即CE长度的最小值是2， 故答案为：2． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】过点P作PB⊥ON于B，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BP＝AP． 【解答】解：如图，过点P作PB⊥ON于B， ∵∠MOS＝∠NOS，PA⊥OM， ∴BP＝AP＝5cm． 故答案为：5． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB． 【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE＝PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】AB的长为5． 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，利用角平分线的性质可得DE＝DC＝2，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝2， ∵△ABD的面积为5， ∴AB•DE＝5， ∴AB＝5， ∴AB的长为5． 32．【答案】PC＝1． 【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可． 【解答】解：过P作PE⊥OB于E， ∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA， ∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP， ∵OD＝DP， ∴∠BOP＝∠DPO， ∴∠AOP＝∠DPO， ∴PD∥OA， ∴∠PDE＝∠AOB， ∵∠AOB＝30°， ∴∠PDE＝30°， ∵∠PEO＝90°，DP＝2， ∴PEDP＝1， ∴PC＝1． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】由题中条件可得Rt△ACD≌Rt△AED，进而得出AC＝AE，AC＝AE，把△BDE的边长通过等量转化即可得出结论． 【解答】解：求△DBE的周长，即求DE+EB+BD的值． ∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE．（1分） 可证△ACD≌△AED．∴AC＝AE．（3分）． 又∵AC＝BC， ∴DE+EB+BD＝DC+EB+BD＝BC+EB＝AC+EB＝AE+EB＝AB．（4分）． 又∵AB＝10cm， ∴△DBE的周长＝DB+BE+DE＝10cm． ∴△DBE的周长是10cm．（6分）． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离．由角平分线的性质证得DE＝DC．在△ABC中，由勾股定理求得BC＝8，设CD＝x，则DE＝CD＝x，BD＝8﹣x．AE＝AC＝6，则BE＝4， 在Rt△BED中由勾股定理列出x2+42＝（8﹣x）2，求得x的值即可． 【解答】解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离． 又∵∠C＝90°，AD平分∠CAB， ∴DE＝DC 在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝8，设CD＝x， 则DE＝CD＝x，BD＝8﹣x． 在Rt△ACD与Rt△AED中，∵， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝6，∴BE＝4， 在Rt△BED中，∵DE2+EB2＝DB2，即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3． ∴D到AB的距离是3．（其它利用相似三角形的性质、三角函数定义、面积法相应给分）． 35．【答案】见解答． 【分析】要使到OM和ON的距离相等，则点在∠MON的角平分线上；要使到A、B的距离相等，则点在线段AB的中垂线上，两条直线的交点就是所求的点． 【解答】解：如图，点P为抓捕点． 36．【答案】BC＝5，AB＝11． 【分析】过C点作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，如图，利用三角形面积公式得到CE，再根据角平分线的性质得CF＝CE，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BFCF，BC＝2BF＝5，然后利用勾股定理计算出AF，从而得到AB的长． 【解答】解：过C点作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，如图， ∵S△ADC， ∴AD×CE， ∴CE， ∵AC平分∠DAB，CE⊥AD于E，CF⊥AB于F， ∴CF＝CE， ∵∠B＝60°， ∴BFCF， ∴BC＝2BF＝5， 在Rt△ACF中，AF， ∴AB＝AF+BF8． 即BC的长为5，AB的长为8． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD＝DE，然后求出BD+DE＝BC． 【解答】解：∵∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴CD＝DE， ∴BD+DE＝BD+CD＝BC， ∵BC＝6， ∴BD+DE＝6． 故答案为：6． 38．【答案】（1）见解析； （2）6． 【分析】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证； （2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB． 【解答】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ∵CE⊥AD， ∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF， ∴AC平分∠DAB； （2）解：由（1）可得BF＝DE＝4， 在Rt△ACE和Rt△ACF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF＝10， ∴AB＝AF﹣BF＝6． 39．【答案】证明见解析． 【分析】首先利用角平分线的性质证明FD＝AD，然后利用三角形的外角与内角的关系证明∠AHD＝∠ADH，最后利用等腰三角形的判定即可求解． 【解答】证明：∵∠BAC＝90°，DF⊥BC，BD是∠ABC的平分线， ∴FD＝AD，∠ABH＝∠CBD， ∵AE⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠BAH+∠CAH＝∠CAH+∠C＝90°， ∴∠C＝∠BAH， ∵∠AHD＝∠ABH+∠BAH， ∠ADH＝∠C+∠CBD， ∴∠AHD＝∠ADH， ∴AH＝AD， ∴AH＝DF． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，可以求出∠B与∠D都是直角，再根据∠DAB＝120°，AC平分∠DAB求出∠DAC＝∠BAC＝60°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AC＝2AD，AC＝2AB，整理即可得解； （2）不会改变．过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE＝CF，根据（1）的结论有AC＝AE+AF，然后再证明△CDE与△CBF全等，根据全等三角形对应边相等得到DE＝BF，从而得到AB+AD＝AE+AF，进而得解． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°， ∴∠B＝∠D＝90°， ∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝2AD，AC＝2AB， ∴2AB+2AD＝2AC， ∴AB+AD＝AC； （2）猜想：不会改变． 理由如下：过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F， 根据（1）的结论，AE+AF＝AC， ∵AC平分∠DAB， ∴CE＝CF， ∵∠B+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中，， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴DE＝BF， ∴AD+AB＝AE+DE+AB＝AE+BF+AB＝AE+AF， ∴AD+AB＝AC． 即（1）中的结论没有发生改变． 学科网（北京）股份有限公司 $$