1.3 线段的垂直平分线-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 1.3 线段的垂直平分线 一．选择题（共20小题） 1．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 2．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　） A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处 C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处 3．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条内角平分线的交点 D．三角形三条边垂直平分线的交点 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线MN分别交AC，AB于点D，E．若∠CBD：∠DBA＝2：1，则∠A为（　　） A．20° B．25° C．22.5° D．30° 5．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 6．三角形中，到三个顶点距离相等的点是（　　） A．三条高线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 7．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米． A．16 B．18 C．26 D．28 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．2，3，4以外的值 9．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（　　） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠BAC＝20°，D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点，连接AD，则∠CAD＝（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 11．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm，则AC＝（　　） A．4cm B．5m C．6cm D．7cm 13．如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 14．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，下列说法不一定正确的是（　　） A．AE＝BE B．∠AED+∠EBC＝90° C．∠DAE＝∠EBC D．∠BAE＝∠CAE 15．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝6厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　） A．14厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．26厘米 16．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米． A．16 B．28 C．26 D．18 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm 18．下列说法正确的是（　　） ①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等． ②角是轴对称图形． ③线段不是轴对称图形． ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④ 19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（　　） A．6 B．3 C．12 D．4.5 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边中点，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果∠A＝15°，BC＝1，那么AC等于（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（共10小题） 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC边于点E．连接AE，若∠B＝15°，则∠EAC＝　 　． 22．如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为　 　． 23．如图，在△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM＝3cm，△ABC的周长是16cm，则△ABN的周长是 　 　cm． 24．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长等于 　 　cm． 25．如图，在△ABC中，AC＝4，线段AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，若BE＝3，则EC的长为 　 　． 26．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的垂直平分线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A＝58°，则∠ABD的度数为 　 　． 27．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为　 　． 28．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为　 　． 29．如图，在△ABC中，已知AC＝16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于30，则BC的长是　 　． 30．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若∠B＝50°，EC＝AB，则∠C的度数是 　 　． 三．解答题（共10小题） 31．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 32．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF． 33．如图，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM和QN分别垂直平分AB和AC，求∠PAQ的度数． 34．已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，求AB的长． 35．如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　 　cm． 36．已知△ABC，∠C＝90°，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E．若AC＝4，CE＝2，求BC的长． 37．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC的延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝51°，∠BAC＝20°，求∠AEC的度数． 38．如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝BC，DE是AB边的垂直平分线，连接CE． （1）求证：∠DEC＝∠BEC； （2）若AB＝8，BC，求CE的长． 39．已知：如图，点A，B分别在线段CD，CE上，EA，DB分别为线段CD，CE的垂直平分线．求∠AEC的度数． 40．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝50°，∠BAC＝21°，求∠CAE的度数． 同步单元练习——北师大版 1.3 线段的垂直平分线 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D C A B B A D B B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C A D B D C D C C 一．选择题（共20小题） 1．【答案】B 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，进而得出答案． 【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵AC＝8，BC＝5， ∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13． 故选：B． 2．【答案】C 【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得． 【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处． 故选：C． 3．【答案】D 【分析】到两个顶点距离相等的点在这两个顶点为端点的线段的垂直平分线上．∴到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边垂直平分线的交点． 【解答】解：到两个顶点距离相等的点在这两个顶点为端点的线段的垂直平分线上． ∴到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边垂直平分线的交点． 故选：D． 4．【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝DB，再根据等边对等角可得∠A＝∠DBA，然后在Rt△ABC中，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD＝DB， ∴∠A＝∠DBA， ∵∠CBD：∠DBA＝2：1， ∴在△ABC中，∠A+∠ABC＝∠A+∠A+2∠A＝90°， 解得∠A＝22.5°． 故选：C． 5．【答案】A 【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，即可得AB垂直平分CD． 【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD， ∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上， ∴AB垂直平分CD． 故选：A． 6．【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【解答】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点． 故选：B． 7．【答案】B 【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长． 【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米）， 故选：B． 8．【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝BE，再根据等边对等角可得∠BAE＝∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得ACAE． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝4， ∴∠BAE＝∠B＝15°， ∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝15°+15°＝30°， ∵∠C＝90°， ∴ACAE4＝2． 故选：A． 9．【答案】D 【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得． 【解答】解：如图： ∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上， ∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上， ∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上， 又三个交点相交于一点， ∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选：D． 10．【答案】B 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则利用等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠ABC＝50°，然后计算∠DAB﹣∠BAC即可． 【解答】解：∵D为线段AB的垂直平分线与直线BC的交点， ∴DA＝DB， ∴∠DAB＝∠ABC＝50°， ∴∠CAD＝∠DAB﹣∠BAC＝50°﹣20°＝30°． 故选：B． 11．【答案】B 【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB＝PA，而已知线段PA＝5，由此即可求出线段PB的长度． 【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点， ∴PB＝PA， 而已知线段PA＝5， ∴PB＝5． 故选：B． 12．【答案】C 【分析】利用线段垂直平分线的性质求得AD＝BD＝12cm；然后根据三角形的内角和定理求得∠ADC＝30°；最后由直角三角形中的30°角所对的直角边是斜边的一半来求AC的长度． 【解答】解：连接AD． ∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB＝12cm， ∴AD＝BD＝12cm，∠B＝∠BAD＝15°； 又∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°， ∴∠DAC＝60°， ∴∠ADC＝30°， ∴ACAD＝6cm． 故选：C． 13．【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点． 【解答】解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点． 故选：A． 14．【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质及角平分线定义、直角三角形的性质求解判断即可． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE，∠DAE＝∠ABE，∠DAE+∠AED＝90°， 故A不符合题意； ∴∠ABE+∠AED＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠AED+∠EBC＝90°，∠DAE＝∠EBC， 故B、C不符合题意； 只有AE平分∠BAC时，∠BAE＝∠CAE， 故D符合题意； 故选：D． 15．【答案】B 【分析】利用线段垂直平分线的性质推出AE＝CE，于是得到△EBC的周长＝AB+BC＝16厘米． 【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴△EBC的周长为BE+CE+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝10+6＝16（厘米）． 故选：B． 16．【答案】D 【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长． 【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线 ∴AE＝CE ∴AE+BE＝CE+BE＝10 ∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝10+8＝18． 故选：D． 17．【答案】C 【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD＝BD，再利用已知条件三角形的周长计算． 【解答】解：∵△DBC的周长＝BC+BD+CD＝35cm（已知） 又∵DE垂直平分AB ∴AD＝BD（线段垂直平分线的性质） 故BC+AD+CD＝35cm ∵AC＝AD+DC＝20（已知） ∴BC＝35﹣20＝15cm． 故选：C． 18．【答案】D 【分析】根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质求解即可求得答案． 【解答】解：∵①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等．故错误； ②角是轴对称图形．正确； ③线段是轴对称图形，故错误； ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．正确． ∴下列说法正确的是②④． 故选：D． 19．【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BD＝CD，根据直角三角形的性质求出AD，进而得到答案． 【解答】解：∵EF是边BC的垂直平分线，CD＝6， ∴BD＝CD＝6， ∴∠DCB＝∠B， ∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AD＝CD＝6， ∴AB＝AD+BD＝12， 故选：C． 20．【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠A＝15°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点D为AB边中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝15°， ∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝30°， ∵∠C＝90°， ∴BE＝AE＝2BC＝2，CEBC， ∴AC＝AE+CE＝2， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AE＝BE，所以∠B＝∠EAB，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠AEC的度数，进而得出∠EAC的度数． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠EAB＝∠B， ∵∠B＝15°， ∴∠EAB＝15°， ∴∠AEC＝∠B+∠EAB＝15°+15°＝30°， ∴∠EAC＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：60°． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出CE，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可． 【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F， DE＝OD+OE＝3， 在Rt△CDE中，∠DCE＝30°， ∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°， ∵AD＝DC，ED⊥AC， ∴OA＝OC， ∵OA＝OB， ∴OB＝OC， ∵OF⊥BC， ∴CF＝FB， 在Rt△OFE中，∠OEF＝60°， ∴∠EOF＝30°， ∴EFOE＝1， ∴CF＝CE﹣EF＝5， ∴BC＝10， ∴BE＝10﹣6＝4， 故答案为：4． 23．【答案】10． 【分析】由“MN是AC的垂直平分线”知AN＝NC，再根据已知边长及△ABC周长即可求得△ABN的周长． 【解答】解：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AN＝NC，AM＝MC， ∴BC＝AN+BN，AC＝6cm， 又△ABC的周长是16cm， ∴AB+BC＝10cm， ∴△ABN的周长＝AB+BN+AN＝AB+BC＝10cm， 故答案为：10． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝6（cm）， ∵△ABD的周长为13cm， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13（cm）， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）， 故答案为：19． 25．【答案】1． 【分析】先利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB＝3，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB＝3， ∵AC＝4， ∴CE＝AC﹣AE＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 26．【答案】62°． 【分析】根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义得到∠1＝∠2＝∠3，求出∠4和∠C，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵BD是∠ADE的角平分线， ∴∠1＝∠2， ∵DE是BC的中垂线， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2＝∠3， 又∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°， ∴∠4＝∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C＝180°﹣58°﹣30°﹣30°＝62°． 故答案为：62°． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝EC＝5cm，由AB+BD+AD＝14cm，得到AB+BD+DC＝14cm，所以有AB+BC+AC＝14cm+10cm＝24cm，从而得到结论． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AE＝EC＝5cm， 而△ABD的周长为14cm，即AB+BD+AD＝14cm， ∴AB+BD+DC＝14cm， ∴AB+BC+AC＝14cm+10cm＝24cm， 即△ABC的周长为24cm． 故答案为24cm． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线性质知，EA＝EC．△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+AE＝BC+AB． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC． △EBC的周长＝BC+BE+EC， ＝BC+BE+AE， ＝BC+AB， ＝8+10， ＝18（cm）． 故答案为：18cm． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线性质知，AE＝BE．△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC．解方程得解． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB． △BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC， 即 BC+16＝30， ∴BC＝14． 故答案为：14． 30．【答案】25°． 【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质，求得∠BED，进一步求得∠AED，根据平角的定义可求∠AEC，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：连接AE， ∵△ABC中，DE垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∴∠EAC＝∠C， ∵EC＝AB， ∴AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B＝50°， ∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C， ∴∠CAEB＝25°． 故答案为：25°． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD＝OC，DE＝CE，OE＝OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线； （2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°可得出∠AOE＝∠BOE＝30°，由直角三角形的性质可得出OE＝2DE，同理可得出DE＝2EF即可得出结论． 【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， ∴DE＝CE，OE＝OE， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD＝OC， ∴△DOC是等腰三角形， ∵OE是∠AOB的平分线， ∴OE是CD的垂直平分线； （2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°， ∴∠AOE＝∠BOE＝30°， ∵EC⊥OB，ED⊥OA， ∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°， ∴∠EDF＝30°， ∴DE＝2EF， ∴OE＝4EF． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】根据角平分线性质得出DE＝DF，根据三角形的内角和定理求出∠EDA＝∠FDA，根据等腰三角形性质得出DG垂直平分EF． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°， ∴∠EDA＝180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA＝180°﹣∠AFD﹣∠FAD， ∴∠EDA＝∠FDA， ∵DE＝DF（已证）， ∴DG垂直平分EF（三线合一）， 即AD垂直平分EF． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】由MP和NQ分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AP＝BP，AQ＝CQ，又由等腰三角形的性质，可求得∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，继而求得答案． 【解答】解：∵在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线， ∴PA＝PB，AQ＝CQ， ∴∠PAB＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∴∠PAB+∠CAQ＝70°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】利用垂直平分线的性质和已知的周长计算． 【解答】解：∵DE是BC的中垂线， ∴BE＝EC， 则AC＝EC+AE＝BE+EA＝8， 又∵△ABE的周长为14， 故AB＝14﹣8＝6． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】要求周长，就要求出三角形各边长，利用垂直平分线的性质即可求出． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线． ∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm． 又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm． ∴AB+BD+CD＝13cm，即AB+BC＝13cm． ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm． 故答案为19． 36．【答案】2+2． 【分析】根据勾股定理求出AE＝2，根据线段的判定与性质求出AE＝BE＝2，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：如图，连接AE， ∵∠C＝90°，AC＝4，CE＝2， ∴AE2， ∵D是AB中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝2， ∴BC＝CE+BE＝2+2． 37．【答案】38°． 【分析】根据三角形的外角性质求出∠ACE，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：∵∠B＝51°，∠BAC＝20°， ∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝71°， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠CAE＝∠ACE＝71°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACE＝38°． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DE⊥AB，AE＝EB＝4，得到DE＝AE＝EB，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到CH＝EH，设EH＝x，则BH＝4﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴DE⊥AB，AE＝EB＝4， ∵∠A＝45°， ∴DE＝AE＝EB， 又∵DC＝CB，CE＝CE， ∴△EDC≌△EBC（SSS）． ∴∠DEC＝∠BEC＝45°； （2）解：过点C作CH⊥AB于点H， ∵∠BEC＝45°， ∴CH＝EH， 设EH＝x，则BH＝4﹣x， 在Rt△CHB中，CH2+BH2＝BC2， 即x2+（4﹣x）2＝10， 解之，x1＝3，x2＝1（不合题意，舍）， 即EH＝3． ∴CEEH＝3． 39．【答案】30°． 【分析】根据线段垂直平分线的性质个等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【解答】解：连接DE， ∵EA，DB分别为线段CD，CE的垂直平分线． ∴CE＝DE，DC＝DE， ∴CD＝CE＝DE， ∴∠C＝60°， ∵∠CAE＝90°， ∴∠AEC＝30°． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，得到∠EAC＝∠ECA，根据三角形的外角性质解答． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交AC于点D， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠B＝50°，∠BAC＝21°， ∴∠ECA＝∠B+∠BAC＝71°， ∴∠CAE＝71°． 学科网（北京）股份有限公司 $$