1.2 直角三角形-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 1.2 直角三角形 一．选择题（共20小题） 1．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若，DH＝4，则这个六边形EDHIGF的面积为（　　） A．28 B．26 C．32 D．30 2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　） A． B．2 C． D．3 3．下列线段不能组成直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝1，b，c C．a＝2，b＝3，c＝4 D．a＝7，b＝24，c＝25 4．在一次中学生野外生存训练活动中，每位队员都配发了一张地图，并接到训练任务：要求36小时之内到达目的地，但是，地图上并未标明目的地的具体位置，仅知道A、B两地坐标分别为A（﹣1，2）、B（3，2）且目的地离A、B两地距离分别为5、3，如图所示，则目的地的具体位置的坐标为（　　） A．（3，5） B．（3，5）或（3，﹣1） C．（﹣1，﹣1）或（3，﹣1） D．（3，﹣1） 5．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝2，CD＝4，DA＝2，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积是（　　） A．4 B．1+2 C．2+4 D．1 6．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 7．下列各组数中，是直角三角形的三条边长的是（　　） A．1，3， B．3，4，5 C．2，3， D．4，6，7 8．如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（　　） A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO 9．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，0），点P到点O和点A的距离相等，则关于点P的坐标描述正确的是（　　） A．点P的纵坐标为2，横坐标为任意实数 B．点P的横坐标为2，纵坐标为任意实数 C．点P的坐标为（2，0） D．点P的坐标无法确定 10．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　） A．120 B．110 C．100 D．90 11．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　） A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 12．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6．按以下步骤作图： ①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N； ②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点E； ③作射线AE； ④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC为（　　） A．2 B．2 C． D．1 13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为（　　） A．1 B． C．1 D． 14．用长度相等的火柴棒首尾相连拼接直角三角形，若其中两条直角边分别用6根和8根火柴棒，则斜边需用火柴棒的根数为（　　）根． A．12 B．10 C．8 D．6 15．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 16．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个推断：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中所有正确推断的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 17．直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（　　） A．25 B．14 C．7 D．7或25 18．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（　　） A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形 B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形 C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形 19．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（　　） A．45° B．40° C．30° D．25° 20．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（　　） A．5，12，13 B．，4，5 C．1，，2 D．4，5，6 二．填空题（共10小题） 21．三国时期吴国赵爽创造了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理，在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的，已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是　 　． 22．已知直角三角形的直角边为a，b，斜边为c．若a+b＝4，则c的最小值为 　 　． 23．已知直角三角形的两边长为3和4，则直角三角形的面积为　 　． 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB＝50°，则∠DBE＝　 　． 25．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示）　 　，　 　． 26．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为　 　cm． 27．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a、b、c的大小关系是　 　． 28．若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为　 　． 29．如图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等式　 　． 30．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是　 　三角形． 三．解答题（共10小题） 31．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，交BC于D，AB于E． （1）求证：△ABC为直角三角形； （2）求AE的长． 32．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为 　 　；（用含t的代数式表示） （2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值． 33．如图，在△ABC中，AB＝10，△ABC的角平分线AD的长为8，BD＝6，求AC的长． 34．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长． 35．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且∠ABC＝90°，连接AC，试判断△ACD的形状． 36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若BC＝5，AC＝12，求CD的长． 37．如图，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形． ①请你在所给的网格中画出边长为的格点三角形△ABC． ②△ABC的面积＝　 　． 38．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积． 39．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图． （1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC； （2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD； （3）在图2中满足题（2）条件的格点D有 　 　个． 40．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD，BC＝2，CD＝4．求∠ADC的度数． 同步单元练习——北师大版 1.2 直角三角形 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C B C D B B B B B 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A A B D B D D A D 一．选择题（共20小题） 1．【答案】A 【分析】根据，DH＝4，想法把a，b，c求出来，想到作辅助线，构造直角三角形． 【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM＝90°，∠ABC+∠CBM＝90°， ∴∠EBM＝∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA（AAS）， ∴BM＝AB＝b，EM＝AC＝a， 同理可证△CND≌△CAB， ∴EM＝AC＝a，ND＝AB＝b， 在△EFM中，FM2+EM2＝EF2，即（2b）2+a2＝34， 在△HND中，HN2+ND2＝HD2，即（2a）2+b2＝16， ∴a，b，c． ∴S六边形EDHIGF＝S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD ＝c2+b2+a2+2ab＝28． 故选：A． 2．【答案】B 【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC，代入计算即可． 【解答】解：由勾股定理得：AB，AC，BC， ∵AB2+AC2＝25，BC2＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴S△ABC， ∴， ∴AD＝2， 故选：B． 3．【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，故本选项错误； B、∵12+（）2＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误； C、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故本选项正确； D、∵72+242＝252，∴能组成直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 4．【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式列方程组求解． 【解答】解：设目的地确切位置的坐标为（x，y）， 根据题意有， 解可得 或 故所求点的坐标为（3，5）或（3，﹣1）． 故选：B． 5．【答案】C 【分析】连接AC，在直角三角形ABC中得到AC的值，然后再根据：DC2+AC2＝AD2，可得三角形ACD是直角三角形，最后求得三角形ACD和三角形ABC的面积和就是所求四边形的面积． 【解答】解：连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2， 在直角三角形ABC中，AC2＝AB2+BC2， ∴AC2＝8， 又∵DC＝4，AD＝2， ∴DC2＝16，AD2＝24， 在三角形ACD中有：DC2+AC2＝16+8＝24＝AD2， ∴三角形ACD是直角三角形，∠DCA＝90°， ∴四边形ABCD的面积＝三角形DCA的面积+三角形ABC的面积DC×ACAB×BC4×22×2＝42， 故选：C． 6．【答案】D 【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【解答】解：A、∵abc2ab（a+b）（a+b）， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵4ab+c2＝（a+b）2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵4ab+（b﹣a）2＝c2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 7．【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断． 【解答】解：A、∵12+（）2≠32，∴不是直角三角形； B、∵32+42＝52，∴是直角三角形； C、∵22+（）2≠72，∴不是直角三角形； D、∵42+62≠72，∴不是直角三角形； 故选：B． 8．【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论． 【解答】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形， ∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°， ∴∠DEB＝∠O， 故选：B． 9．【答案】B 【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：∵点P到点O和点A的距离相等， ∴点P在线段OA的垂直平分线上， ∵点A坐标为（4，0）， ∴点P的横坐标为2，纵坐标为任意实数， 故选：B． 10．【答案】B 【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示： 则四边形OAPL是矩形． ∵∠CBF＝90°， ∴∠ABC+∠OBF＝90°， 又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠OBF＝∠ACB， 在△OBF和△ACB中， ， ∴△OBF≌△ACB（AAS）， ∴AC＝OB， 同理：△ACB≌△PGC， ∴PC＝AB， ∴OA＝AP， ∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+AC＝3+4＝7， ∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， ∴长方形KLMJ的面积为10×11＝110． 故选：B． 11．【答案】B 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是， 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是； 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形； 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是， ∵， ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5， 故选：B． 12．【答案】A 【分析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案． 【解答】解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G， 由题意可得：O是△ACB的内心， ∵AB＝10，AC＝8，BC＝6， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴四边形OGCD是正方形， ∴DO＝OG2， ∴CO＝2． 故选：A． 13．【答案】A 【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数． 【解答】解：AC， 则AM， ∵A点表示﹣1， ∴M点表示1， 故选：A． 14．【答案】B 【分析】根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：由勾股定理得：斜边需用火柴棒的根数10（根）， 故选：B． 15．【答案】D 【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【解答】解：A、∵c2ab（a+b）（a+b）， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵4c2＝（a+b）2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、∵4（b﹣a）2＝c2， ∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 16．【答案】B 【分析】利用大正方形面积和小正方形面积可得出大正方形和小正方形的边长，利用勾股定理可判断①，利用线段和差可判断②，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和可判断③，利用①③可判断④． 【解答】解：∵大正方形面积为49， ∴大正方形边长为7， 在直角三角形中， x2+y2＝72＝49， 故说法①正确； ∵小正方形面积为4， ∴小正方形边长为2， ∴x﹣y＝2， 故说法②正确； ∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和， ∴4xy+4＝49， ∴2xy+4＝49， 故说法③正确； ∵2xy+4＝49， ∴2xy＝45， ∵x2+y2＝49， ∴x2+y2+2xy＝49+45， ∴（x+y）2＝94， ∴x+y， 故说法④错误； 故选：B． 17．【答案】D 【分析】分两种情况：①当3和4为两条直角边长时；②当4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可． 【解答】解：分两种情况： ①当3和4为两条直角边长时， 由勾股定理得：第三边长的平方＝斜边长的平方＝32+42＝25； ②当4为斜边长时， 第三边长的平方＝42﹣32＝7； 综上所述：第三边长的平方是7或25． 故选：D． 18．【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【解答】解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确； B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确； C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确； D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误． 故选：D． 19．【答案】A 【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG＝90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC﹣∠DAE＝∠ACG，即可得解． 【解答】解：如图，连接CG、AG， 由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10， ∴AC2+AG2＝CG2， ∴∠CAG＝90°， ∴△CAG是等腰直角三角形， ∴∠ACG＝45°， ∵CF∥AB， ∴∠ACF＝∠BAC， 在△CFG和△ADE中， ， ∴△CFG≌△ADE（SAS）， ∴∠FCG＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°， 故选：A． 20．【答案】D 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：A．∵52+122＝132， ∴以5、12、13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵42+52＝（）2， ∴以4、5、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵12+（）2＝22， ∴以1、、2为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵42+52≠62， ∴以4、5、6为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】由BF＝BE+EF结合“小正方形的边长是2，每个直角三角形的短的直角边长是6”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵EF＝2，BE＝6， ∴BF＝BE+EF＝8， ∴S正方形ABCD＝4•S△BCF+S正方形EFGH＝48×6+2×2＝100． 故答案为：100． 22．【答案】． 【分析】先根据勾股定理，得c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入并整理成关于a的完全平方公式，然后讨论可得答案． 【解答】解：根据勾股定理c2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝16﹣2ab＝16﹣2a（4﹣a） ＝2a2﹣8a+16＝2（a2﹣4a）+16 ＝2（a﹣2）2+8， ∴2（a﹣2）2+8≥8， 所以当a＝2时，c2的最小值是8， 所以c的最小值是． 故答案为：． 23．【答案】或6． 【分析】分为两种情况：①斜边AB＝4，②直角边AC＝4，再求出答案即可． 【解答】解：△ABC中，∠C＝90°， 分为两种情况： ①当斜边AB＝4，BC＝3时，由勾股定理得：AC， △ABC的面积是3； ②当BC＝3，AC＝4时，△ABC的面积是6， 所以直角三角形的面积为或6， 故答案为：或6． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】证明∠CAD＝∠DBE即可解决问题． 【解答】解：∵∠C＝∠E＝90°，∠ADC＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠DAC， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD∠CAB＝25°， 故答案为25°． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】五边形的面积＝边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，或五边形的面积＝边长为a的正方形面积+边长为b的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【解答】解：如图所示： ①S＝c2ab×2＝c2+ab， ②S＝a2+b2ab×2＝a2+b2+ab． 故答案为：c2+ab，a2+b2+ab． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的长度，然后利用等面积法求得AC边上的高的长度， 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm， 由勾股定理知，AC4． 设AC边上的高的长度为h cm，则AB•BCAC•h， ∴h2（cm）． 故答案为：2． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形根据勾股定理分别计算出a、b、c的值，因为a、b、c大于0，所以分别求a2、b2、c2比较大小即可比较a、b、c的大小． 【解答】解：在图中，每个小正方形的边长为1， 则a， c＝4，b5， c2＝16，a2＝17，b2＝25， c2＜a2＜b2， 故c＜a＜b， 故答案为 c＜a＜b． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得等腰底边上的高． 【解答】解：如图：BC＝12．AB＝AC＝10， 在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC； 则BD＝DCBC＝6； Rt△ABD中，AB＝10，BD＝6； 由勾股定理，得：AD8． 故答案为：8． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】该图形的面积与3个直角三角形组成一个直角梯形，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式进行解答． 【解答】解：依题意得：abc2ab（a+b）（a+b）， 整理，得 c2＝a2+b2． 故答案为：c2＝a2+b2． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据勾股定理求出AB2、BC2、AC2的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可． 【解答】解：∵由勾股定理可知，AC2＝12+82＝65， BC2＝62+42＝52， AB2＝22+32＝13， ∴AC2＝BC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：直角． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形； （2）根据线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，设AE＝x，则EC＝4﹣x，根据勾股定理可得x2+32＝（4﹣x）2，再解即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5， 又∵42+32＝52， 即AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形； （2）证明：连接CE． ∵DE是BC的垂直平分线， ∴EC＝EB， 设AE＝x，则EC＝4﹣x． ∴x2+32＝（4﹣x）2． 解之得x，即AE的长是． 32．【答案】（1）2t﹣4； （2）； （3）t的值为或或4． 【分析】（1）由勾股定理可求得AC的值，根据线段的和差关系解答即可；再设斜边AB上的高为h，由面积法可求得答案； （2）根据角平分线的性质解答即可； （3）分AB作为底和腰两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴由勾股定理得：， ∵已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动， ∴当点P在AC的延长线上时，点P运动的长度为：AC+CP＝2t， ∵AC＝4， ∴CP＝2t﹣AC＝2t﹣4． 故答案为：2t﹣4． （2）过点P作PM⊥AB于点M，如图所示： ∵∠ACB＝90°， ∴PC⊥BC， ∵点P在∠ABC的角平分线上，PM⊥AB， ∴PC＝PM， 又∵PB＝PB， ∴Rt△PCB≌Rt△PMB（HL）， ∴CB＝MB， ∴AM＝AB﹣MB＝AB＝BC＝5﹣3＝2， 设PM＝PC＝x，则AP＝4﹣x， 在Rt△APM中，AM2+PM2＝AP2， ∴22+x2＝（4﹣x）2， 解得：， ， 即若点P在∠ABC的角平分线上，则t的值为． （3）当AB作为底边时，如图所示： 则PA＝PB，设PA＝a，则PC＝AC﹣AP＝4﹣a， 在Rt△PCB中，PB2＝PC2+CB2， a2＝（4﹣a）2+32， 解得：， 此时； 当AB作为腰时，如图所示： AP1＝AB＝5，此时； AB＝BP2时， ∵BC⊥AP2， ∴AP2＝2AC＝8， 此时t＝8÷2＝4， 综上分析可知，t的值为或或4． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】在三角形ABD中，利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABD为直角三角形，得到一对直角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，再由AD为公共边，利用ASA得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形的对应边相等即可求出AC的长． 【解答】解：在△ABD中，AD2+BD2＝82+62＝100，AB2＝102＝100， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵AD为△ABC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AC＝AB＝10． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， 由勾股定理知：AB20． ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E． ∴AE＝BEAB＝10． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状． 【解答】解：△ACD是直角三角形．理由是： ∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝2， ∴AC2＝AB2+BC2＝1+4＝5， ∴AC， 又∵AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形． 36．【答案】． 【分析】在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长，再根据三角形ABC的面积为定值可求出CD的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB13， ∵AB•CDAC•BC ∴CD． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】①利用勾股定理即可作出边长为的格点三角形△ABC； ②利用三角形的面积公式就可以解决问题． 【解答】解：①如图所示： ②△ABC的面积＝5×3÷2＝7.5． 故答案为：7.5． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积． 【解答】解：∵∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 又∵AB＝3，BC＝4， ∴根据勾股定理得：AC5， 又∵CD＝12，AD＝13， ∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169， ∴CD2+AC2＝AD2， ∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°， 则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACDAB•BCAC•CD3×45×12＝36． 故四边形ABCD的面积是36． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）A所在的水平线与B所在的竖直线的交点就是满足条件的点； （2）根据勾股定理可求得AB＝5，则到A的距离是5的点就是所求； （3）到A点的距离是5的格点有2个，同理到B距离是5的格点有2个，据此即可求解． 【解答】解：（1）（2）如图所示： （3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个． 故答案为：4． 40．【答案】135°． 【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理判断∠CDB＝90°，计算即可． 【解答】解：连接BD， ∵∠A＝90°，AB＝AD， ∴∠ADB＝45°， 在Rt△ADB中，BD2＝AB2+AD2＝2+2＝4， 在△CDB中，BC2﹣CD2＝（2）2﹣42＝4， ∴BC2﹣CD2＝BD2，即BC2＝BD2+CD2， ∴∠CDB＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°． 学科网（北京）股份有限公司 $$