1.1 等腰三角形-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 1.1 等腰三角形 一．选择题（共20小题） 1．等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（　　） A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40° 2．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 3．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝65°，则∠A的度数是（　　） A．45° B．70° C．65° D．50° 4．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝1，则OM的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 5．等腰三角形的一个内角为50°，则它的一个底角的度数为（　　） A．80° B．65° C．50°或80° D．50°或65° 6．已知a，b，c分别是等腰△ABC三边的长，且满足ac＝12﹣bc，若a，b，c均为正整数，则这样的等腰△ABC存在（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（　　）个． A．6 B．8 C．10 D．12 8．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（　　） A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝1.5IE C．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115° 9．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2 B．5 C．1或5 D．2或3 10．如图，在3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C是图中的格点，且△ABC是等腰三角形，则点C的个数是（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 11．如图，l1，l2与l3分别交于A，B两点，且l1∥l2，点C，D分别在l2，l3上．若BC＝BD，∠BCD＝20°，则∠1的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 12．如图，等边△ABC的边长为3，点M为AC边上的一个动点，作MD⊥AB于点D，延长CB使得BF＝AM，连接MF交AB于点E，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D．2 13．如果等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的底角是（　　） A．100° B．70° C．70°或100° D．40°或70° 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 15．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（　　） A．90° B．70° C．45° D．30° 16．如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB，AC的延长线上，且DE＝DF＝AD，点D从B运动到C的过程中，△BED周长的变化规律是（　　） A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 17．下面的四个问题中都有两个变量：①正方形的面积y与边长x；②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x；③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如y＝kx+b（其中k，b是常数，k≠0）的式子表示的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 18．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，则BC的长为（　　） A．14 B．16或22 C．22 D．14或22 19．等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共10小题） 21．若等腰三角形两边的长分别为3cm和7cm，则等腰三角形的周长是 　 　cm． 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6cm，则AC的值为 　 　cm． 23．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为　 　． 24．在平面直角坐标系内点A，点B的坐标是分别为（0，3），（4，3），在坐标轴上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数是 　 　． 25．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 　 　． 26．已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为5，则它的周长为 　 　． 27．如图，BD是△ABC的角平分线，点D是边AC一点，且满足BE＝ED，若∠A＝40°，∠C＝110°，则∠EDB＝ 　 　°． 28．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为 　 　． 29．如果等腰三角形一边长为3，另一边长为10，那么它的周长是 　 　． 30．等腰三角形的两边长是4cm、7cm，则周长为 　 　． 三．解答题（共10小题） 31．如图在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求∠A的度数． 32．（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是 　 　（用含a的代数式表示）； （2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？ ①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是 　 　； ②小My同学按图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°． 请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号； ③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝　 　． 33．在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长． 34．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线． （1）如图1，∠C＝2∠DBC，∠A＝60°，请判断△ABC的形状为　 　； （2）如图2，若∠A＝2∠C，BC＝8，AB＝4.8，直接写出AD的长度为　 　； （3）如图3，若∠ABC＝2∠ACB，∠ACB的平分线OC与BD相交于点O，且OC＝AB，请你写出求∠A的度数的思路． （4）作图：在（3）的条件下，延长BD，在BD延长线上确定一点M，使作CM＝AB． 35．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？ 36．如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且AD＝BE，AE、CD相交于点F，AG⊥CD，垂足为G．求证：AF＝2FG． 37．如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O． （1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由； （2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． 38．如图，已知AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE． 39．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°．求证：AB＝4BD． 40．如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC． 同步单元练习——北师大版 1.1 等腰三角形 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C D D D B B B D B C 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C D D B D C D B C 一．选择题（共20小题） 1．【答案】C 【分析】利用平角定义，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC， 当∠DAC＝70°时， ∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°， ∴等腰三角形的顶角的度数为110°， 故选：C． 2．【答案】C 【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC， ∵DE⊥BC， ∴∠CDE＝30°， ∵EC＝1.5， ∴CD＝2EC＝3， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴AD＝CD＝3， ∴AB＝AC＝AD+CD＝6． 故选：C． 3．【答案】D 【分析】由“SAS”证△BFD≌△CDE，得∠BFD＝∠CDE，再由三角形的外角性质得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，然后由三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BF＝CD， ， ∴△BDF≌△CED（SAS）， ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD， ∴∠B＝∠FDE＝65°， ∴∠C＝∠B＝65°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 故选：D． 4．【答案】D 【分析】首先过点P作PD⊥OB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出DO的长，再利用等腰三角形的性质求出OM的长． 【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝12， ∴∠OPD＝30°， ∴， ∵PM＝PN，MN＝1，PD⊥OB， ∴MD＝ND＝0.5， ∴MO＝DO﹣MD＝6﹣0.5＝5.5． 故选：D． 5．【答案】D 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时；当等腰三角形的一个底角为50°时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为50°时，则它的两个底角度数都65°； 当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角度数＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 综上所述：它的一个底角的度数为65°或50°， 故选：D． 6．【答案】B 【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可． 【解答】解：∵ac＝12﹣bc， ∴ac+bc＝12， ∴（a+b）c＝12， ∴12＝1×12＝2×6＝3×4，a+b＞c， ∴ 或或， 当 时，三边长分别为 1，6，6或 1，1，11 （不合题意舍去）； 当 时，三边长分别为 2，3，3或 2，2，4 （不合题意舍去）； 当 时，三边长分别为 3，2，2或 3，3，1， 所以一共有4个， 故选：B． 7．【答案】B 【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2， 当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4， 当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8， 综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个， 故选：B． 8．【答案】B 【分析】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为8． 【解答】解：∵BI平分∠DBC， ∴∠DBI＝∠CBI， ∵DE∥BC， ∴∠DIB＝∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴BD＝DI． 同理，CE＝EI． ∴△DBI和△EIC是等腰三角形； ∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8； ∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠IBC+∠ICB＝65°， ∴∠BIC＝115°， 故选项A，C，D正确， 故选：B． 9．【答案】D 【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等， ∵点D为AB的中点， ∴BDAB＝6cm， ∵BD＝PC， ∴BP＝8﹣6＝2（cm）， ∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间时1s， ∵△DBP≌△PCQ， ∴BP＝CQ＝2cm， ∴v＝2÷1＝2； 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP， ∵BD＝6cm，PB＝PC， ∴QC＝6cm， ∵BC＝8cm， ∴BP＝4cm， ∴运动时间为4÷2＝2（s）， ∴v＝6÷2＝3（cm/s）． 故v的值为2或3． 故选：D． 10．【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰． 【解答】解：如图：分情况讨论． ①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 故选：B． 11．【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质求得∠BDC＝∠BCD＝20°，由三角形外角的性质求得∠2＝40°，根据平行线的性质即可求出∠1． 【解答】解：∵BC＝BD，∠BCD＝20°， ∴∠BDC＝∠BCD＝20°， ∴∠2＝∠BDC+∠BCD＝40°， ∵l1∥l2， ∴∠1＝∠2＝40°， 故选：C． 12．【答案】C 【分析】作FN⊥AB，交直线AB的延长线于点N，连接MN，DF，由BF＝AM，再根据全等三角形的判定定理得出△FNB≌△MDA，再由NF＝DM，BN＝AD且FN∥DM，可知四边形FDMN是平行四边形，进而可得出NB+BD＝AD+BD＝AB，DEAB，由等边△ABC的边长为3可得出DE即可． 【解答】解：作FN⊥AB，交直线AB的延长线于点N，连接MN，DF，如图： 又∵MD⊥AB于点D， ∴∠FNB＝∠MDA＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠FBN＝60°， 在FNB和△MDA中， ， ∴△FNB≌△MDA（AAS）， ∴NF＝DM，BN＝AD且FN∥DM， ∴四边形FDMN是平行四边形， ∴DEND， ∵D＝NB+BD＝AD+BD＝AB， ∴DEAB， 又∵AB＝3， ∴DE． 故选：C． 13．【答案】D 【分析】＝由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论． 【解答】解：当40°为顶角时，底角为（180°﹣40°）÷2＝70°， 另外底角也可以为40°， 则它的底角是40°或70°， 故选：D． 14．【答案】D 【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑤作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形； ⑥作AC的垂直平分线交AB于I，则△ACI是等腰三角形； ⑦以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形． 【解答】解：如图：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑤作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形； ⑥作AC的垂直平分线交AB于I，则△ACI是等腰三角形； ⑦以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形． 故选：D． 15．【答案】B 【分析】由平角的性质可得∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，将∠1+∠2＝110°代入可求解． 【解答】解：如图， ∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°， ∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝70°， 故选：B． 16．【答案】D 【分析】由“ASA”可证△BED≌△CDF，由全等三角形的性质可得BD＝CF，BE＝CD，可得△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，即可求解． 【解答】解：∵AD＝DE＝DF， ∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA， ∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°， ∴∠DEA+∠DFA＝60°， ∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°， ∴∠EDB＝∠DFA， ∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°， ∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF， ∴△BDE≌△CFD（ASA）， ∴BD＝CF，BE＝CD， ∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD， ∵点D在BC边上从B至C的运动过程中，AD的长先变小后变大， ∴△BED周长先变小后变大， 故选：D． 17．【答案】C 【分析】根据题意列出函数矩形函数解析式，判定即可． 【解答】解：①根据题意得，y＝x2，故不符合题意； ②根据题意得，y＝20﹣2x，故符合题意； ③设汽车从A地匀速行驶到B地的速度为k， y＝kx（k为常量），故符合题意； ④根据题意得，y＝x（5﹣x）故不符合题意； 故选：C． 18．【答案】D 【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成24cm和30cm两部分，可得|AB﹣BC|＝30﹣24＝6，AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案． 【解答】解：如图，∵AB＝AC，BD是AC边上的中线， 即AD＝CD， ∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|＝|AB﹣BC|＝30﹣24＝6（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝24+30＝54（cm）， 若AB＞BC，则AB﹣BC＝6（cm）， 又∵2AB+BC＝54（cm）， 联立方程组：，解得：AB＝20cm，BC＝14cm， 20、20、14三边能够组成三角形； 若AB＜BC，则BC﹣AB＝6（cm）， 又2AB+BC＝54（cm）， 联立方程组：，解得：AB＝16，BC＝22， 16、16、22三边能够组成三角形； ∴BC＝14或22． 故选：D． 19．【答案】B 【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°， 根据题意得：x+x+2x+20＝180， 解得：x＝40， 故选：B． 20．【答案】C 【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点． 【解答】解：如图所示： 点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】17． 【分析】因为等腰三角形的两边分别为3cm和7cm，但没有明确哪条边是底边，哪条边是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：当3cm为底时，其它两边都为7cm，3cm、7cm、7cm可以构成三角形， 周长为17cm； 当3cm为腰时，其它两边为7cm和3cm，因为7cm、3cm、3cm不可以构成三角形． 故这个等腰三角形周长为17cm． 故答案为：17． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】由线段垂直平分线的性质推出BE＝AE＝6cm，由等腰三角形的性质推出∠BAE＝∠B＝15°，由三角形外角的性质得到∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到ACAE＝3cm． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE＝6cm， ∴∠BAE＝∠B＝15°， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴ACAE＝3cm． 故答案为：3． 23．【答案】3． 【分析】利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝6， ∴BDAB， 故答案为：3． 24．【答案】7． 【分析】分三种情况：当BA＝BC时，当AB＝AC时，当CA＝CB时，进行讨论即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交x 轴于点C1，C2， 当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交坐标 轴于点C3，C4，C5，C6， 当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x 轴于点C7， 综上所述，符合条件的点P有7个， 25．【答案】见试题解答内容 【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案． 【解答】解：分两种情况： ①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9， ∴三角形的周长＝4+9+9＝22； ②当9为底边长，4为腰长时， ∵4+4＜9， ∴不能构成三角形； ∴这个三角形的周长是22． 故答案为：22． 26．【答案】21或18． 【分析】根据题意，要分情况讨论：①8是腰；②8是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边． 【解答】解：①若8是腰，则另一腰也是8，底是5，但是8+8＞5，故构成三角形，故周长为：8+8+5＝21． ②若8是底，则腰是5，5． 5+5＞8，符合条件．成立． 故周长为：8+5+5＝18． 故答案为：21或18． 27．【答案】15． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝30°，根据角平分线的定义求出∠ABD＝15°，根据等腰三角形的性质即可得到答案． 【解答】解：∵∠A＝40°，∠C＝110°， ∴∠ABC＝30°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝15°， ∵BE＝ED， ∴∠EDB＝∠ABD＝15°． 故答案为：15． 28．【答案】． 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长． 【解答】解：如图， 等边三角形高线即中线，AB＝2， ∴BD＝CD＝1， 在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1， ∴由勾股定理得，AD． 故答案为：． 29．【答案】23． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：分两种情况： 当腰为3时，3+3＜10，所以不能构成三角形； 当腰为10时，3+10＞10，所以能构成三角形，周长是：3+10+10＝23． 故答案为：23． 30．【答案】15cm或18cm． 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论：①腰长为4cm；②腰长为7cm，对于每一种情况，首先根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，然后再求出周长即可． 【解答】解：∵等腰三角形的两边长是4cm、7cm， ∴有以下两种情况： ①当腰长为4cm时， 此时该等腰三角形的三边为：4cm，4cm，7cm， ∵4+4＞7， ∴符合构成三角形的条件， ∴此时该等腰三角形的周长为：4+4+7＝15（cm）； ②当腰长为7cm时， 此时该等腰三角形的三边为：7cm，7cm，4cm， ∵4+7＞7， ∴符合构成三角形的条件， ∴此时该等腰三角形的周长为：7+7+4＝18（cm）． 综上所述：等腰三角形的两边长是4cm、7cm，则周长为15cm或18cm 故答案为：15cm或18cm． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】见试题解答内容 【分析】由已知条件开始，通过线段相等，得到角相等，再由三角形内角和求出各个角的大小． 【解答】解：设∠A＝x°． ∵BD＝AD， ∴∠A＝∠ABD＝x°， ∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠BCD＝2x°， 在△ABC中x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， ∴∠A＝36°． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CDBCa，由勾股定理得到ADa，于是得到S△ABCBC•ADa2； （2）①根据三角形的面积公式即可得到结论； ②补全图形如图2所示； ③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位线，得到PNEF，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD＝CDBCa， ∴ADa， ∴S△ABCBC•ADa2； （2）①∵边长为2的正方形的面积＝4， ∴剪拼成的等边三角形的面积＝4， ∴a2＝4， ∴a2， 即该三角形边长的平方是； ②补全图形如图2所示； ③由题意知，PG＝PE，GN＝NF， ∴PN是△GEF的中位线， ∴PNEF， ∵N为AB边上的中点， ∴BNAB＝1， ∵边长为2的正方形的面积＝4， ∴剪拼成的等边三角形的面积＝4， ∴a2＝4， ∴a2， 即△GEF边长的平方是， ∴EF， ∴PN， ∵PN2＝BN2+BP2， ∴1+x2， ∴x21； 故答案为：（1）a2；（2）①；③1； 33．【答案】见试题解答内容 【分析】分两种情况讨论：当AB+AD＝30，BC+DC＝24或AB+AD＝24，BC+DC＝30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14． 【解答】解：设三角形的腰AB＝AC＝x 若AB+AD＝24cm， 则：xx＝24 ∴x＝16 三角形的周长为24+30＝54（cm） 所以三边长分别为16cm，16cm，22cm； 若AB+AD＝30cm， 则：xx＝30 ∴x＝20 ∵三角形的周长为24+30＝54（cm） ∴三边长分别为20cm，20cm，14cm； 因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm． 34．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由BD为∠ABC的平分线，得到∠ABC＝2∠DBC，等量代换得到∠ABC＝∠C，证得AB＝AC，即可得到结论； （2）如图2，截取BE＝AB，连接DE，推出△ABD≌△EBD，根据全等三角形的性质得到∠A＝∠DEB，AD＝ED，由∠A＝2∠C，得到∠DEB＝2∠C，求出∠C＝∠EDB，得到ED＝EC即可得到结论； （3）过B作BF平分∠DBC交AC于F，根据角平分线的性质得到BD平分∠ABC，∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD，由∠ABC＝2∠ACB，得到∠ACB＝∠ABD＝∠CBD，由角平分线的定义得到∠1＝∠3∠DBC，∠4＝∠2∠ACB，推出△OBC≌△FCB，根据全等三角形的性质得到OC＝BF，由AB＝OC，得到BF＝AB等量代换得到∠ABF＝∠AFB，求得AB＝AF，即可得到结论； （4）作图解答即可． 【解答】（1）证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABC＝2∠DBC， ∵∠C＝2∠DBC， ∴∠ABC＝∠C， ∴AB＝AC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：如图2，截取BE＝AB，连接DE，在△ABD与△EBD中，， ∴△ABD≌△EBD， ∴∠A＝∠DEB，AD＝ED， ∵∠A＝2∠C， ∴∠DEB＝2∠C， ∵∠DEB＝∠C＝∠EDB， ∴∠C+∠EDB＝2∠C， ∴∠C＝∠EDB， ∴ED＝EC， ∵AB＝4.8， ∴CE＝BC﹣BE＝3.2， ∴AD＝DE＝CE＝3.2； （3）解：过B作BF平分∠DBC交AC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴， 即∠ABC＝2∠ABD＝2∠CBD， ∵∠ABC＝2∠ACB， ∴∠ACB＝∠ABD＝∠CBD， ∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC， ∴∠1＝∠3∠DBC，∠4＝∠2∠ACB， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， 在△OBC与△FCB中，， ∴△OBC≌△FCB， ∴OC＝BF， ∵AB＝OC， ∴BF＝AB， ∵∠ABF＝∠ABD+∠3，∠AFB＝∠ACB+∠1， ∵∠ABD＝∠ACB，∠1＝∠3， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AB＝AF， ∴AB＝BF＝AF， ∴△ABF为等边三角形， ∴∠A＝60°； （4）延长BD，在BD延长线上确定一点M，使作CM＝AB，如图： 故答案为：等边三角形；3.2． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长； （2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验． 【解答】解：（1）设底边长为x cm， ∵腰长是底边的2倍， ∴腰长为2x cm， ∴2x+2x+x＝18，解得，xcm， ∴2x＝2cm， ∴各边长为：cm，cm，cm． （2）①当4cm为底时，腰长7cm； ②当4cm为腰时，底边＝18﹣4﹣4＝10cm， ∵4+4＜10， ∴不能构成三角形，故舍去； ∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm． 36．【答案】见试题解答内容 【分析】欲证AF＝2FG，因为AG⊥CD，△AGF为直角三角形，根据三角函数证明∠GAF＝30°或∠AFD＝60即可，需要证明△ADF∽△ABE，通过证明△ABE≌△CAD可以得出． 【解答】证明：∵等边三角形ABC， ∴AB＝CA，∠ABE＝∠CAD＝60°， 在△ABE和△CAD中，， ∴△ABE≌△CAD（SAS）． ∴∠AEB＝∠CDA，又∠EAD为公共角， ∴△ADF∽△ABE． ∴∠AFD＝∠B＝60°． ∵AG垂直CD，即∠AGF＝90°， ∴∠GAF＝30°， ∴AF＝2FG（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）． 37．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）EC＝BD，理由为：由△ABE和△ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠EAB＝∠DAC＝60°，AE＝AB，AD＝AC，利用等式的性质得到∠EAC＝∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：由三角形ADC为等边三角形，得到∠ADC＝∠ACD＝60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠ADB，由∠EOD为三角形OCD的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠EOD＝∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度数，利用邻补角定义求出∠DOC的度数，即为BD与CE的夹角． 【解答】解：（1）EC＝BD，理由为： ∵△ABE和△ACD都为等边三角形， ∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AE＝AB，AD＝AC， ∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD， 在△AEC和△ABD中， ， ∴△AEC≌△ABD（SAS）， ∴EC＝BD； （2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为： ∵△ADC为等边三角形， ∴∠ADC＝∠ACD＝60°， ∵△AEC≌△ABD， ∴∠ACE＝∠ADB， ∵∠EOD为△COD的外角， ∴∠EOD＝∠ODC+∠OCD＝∠ODC+∠ACD+∠ACE＝∠ODC+∠ADB+∠ACD＝∠ADC+∠ACD＝120°，即∠DOC＝60°， 则BD和CE的夹角大小为60°． 38．【答案】见试题解答内容 【分析】此题可以用证明全等三角形的方法解决；也可以用等腰三角形的三线合一的性质解决． 【解答】证明：作AF⊥BC于F， ∵AB＝AC（已知）， ∴BF＝CF（三线合一）， 又∵AD＝AE（已知）， ∴DF＝EF（三线合一）， ∴BF﹣DF＝CF﹣EF，即BD＝CE（等式的性质）． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°可以推出AB＝2BC，同理可得BC＝2BD，则结论即可证明． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴AB＝2BC，∠B＝60°． 又∵CD⊥AB， ∴∠DCB＝30°， ∴BC＝2BD． ∴AB＝2BC＝4BD． 40．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAD＝∠CAD，再由三角形的高的定义得出∠BEC＝∠ADC＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，根据同角的余角相等得出∠EBC＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠CAD＝∠EBC． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵BE⊥CE，AD⊥BC， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠EBC． 学科网（北京）股份有限公司 $$