第02讲 8.1基本立体图形（第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征）（知识清单+12类热点题型讲练+分层强化训练）

第02讲 8.1基本立体图形（第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征） 课程标准 学习目标 ①了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 ②了解简单组合体的概念及结构特征。 ③了解简单组合体的概念及结构特征 1.通过阅读课本解圆柱、圆锥、圆台、球的定义； 2.在棱柱、棱锥与棱台学习的基础上，进一步掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征； 3.了解简单组合体的概念及结构特征．灵活运用各种知识解决组合体问题； 知识点01：圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 【即学即练1】（23-24高一上·安徽·开学考试）如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 知识点02：圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 【即学即练2】（24-25高一下·全国·随堂练习）圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 知识点03：圆台 （1）圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （2）圆台的图形 （3）圆台的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆台 【即学即练3】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 知识点04 球的结构特征 （1）定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做 球体，简称球 （2）相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 【即学即练4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 绕轴旋转而成（填序号）． 题型01圆柱的结构特征 【典例1】（2024·吉林·模拟预测）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【典例2】（多选）（2024高一·江苏·专题练习）（多选）下列说法正确的是（　　） A．圆柱的底面是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 【变式1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列几何体中为圆柱的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 题型02 圆柱截面有关计算 【典例1】（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）用一张的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是 . 【变式1】（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 题型03 圆柱展开图及最短距离问题 【典例1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【变式1】（23-24高一下·安徽六安）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【变式2】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 题型04 圆锥的结构特征 【典例1】（23-24高一下·山东泰安）如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（24-25高一·全国·随堂练习）根据下列描述，说出几何体的名称： (1)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形； (2)一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形． 【变式1】（23-24高一下·青海西宁·期中）菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【变式2】（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 题型05 圆锥截面有关计算 【典例1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二·上海·课堂例题）设点为圆锥的高靠近顶点的三等分点，求过与底面平行的截面面积与底面面积之比． 【变式2】（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 题型06圆锥展开图及最短距离问题 【典例1】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【典例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，已知在圆锥中，底面半径，母线长，为母线上的一个点，且，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点．求：    (1)绳子最短长度的平方； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)的最大值． 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【变式2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里. 题型07圆台的结构特征 【典例1】（23-24高二上·江西南昌）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（    ） A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面 【变式1】（24-25高二上·上海·课后作业）圆台的母线都相等，各条母线的延长线相交于一点．( ) 【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列说法错误的是（    ） A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线 C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D．圆锥的母线可能平行 题型08圆台展开图 【典例1】（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【典例2】（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【变式1】（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 题型09球的结构特征 【典例1】（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是 ． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ） ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上； ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段． A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．经过球面上不同的两点只能作一个大圆 D．球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面 题型10球的截面性质及计算 【典例1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，球心为，已知球的半径r为5，，求小圆的半径． 【变式1】（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【变式2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且．求截面的面积． 题型11球面距 【典例1】（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·上海·单元测试）已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为 ． 【变式1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 题型12简单组合体 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A．B．C．D． 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【变式1】（2024高一·江苏·专题练习）若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．    【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）指出图中三个空间几何体的构成． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江西抚州·期中）中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧．已知某古代建筑的一根圆柱，每增高，直径收分，若该柱子柱根直径为，柱高，则柱头直径为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·福建漳州·一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 3．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知某圆锥的母线长为8，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（23-24高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 6．（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 7．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 8．（23-24高二上·青海海南·阶段练习）如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（    ）. A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．圆柱的侧面展开图是矩形 B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面 C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台 D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面 三、填空题 11．（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm 12．（23-24高二·上海·课堂例题）已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ． 四、解答题 13．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，表面上有P､Q两点，若P､Q两点在轴截面上，且，，一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程. 14．（24-25高一·全国·课后作业）已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． B能力提升 15．（24-25高二·全国·课后作业）一个圆锥的底面半径为R，高为． (1)用平行于底面的平面截圆锥得到一个圆台，其上下底面面积之比为，求圆台上下底面之间的距离； (2)求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值． 16．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24. （1）求圆台的母线长l. （2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 8.1基本立体图形（第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征） 课程标准 学习目标 ①了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。 ②了解简单组合体的概念及结构特征。 ③了解简单组合体的概念及结构特征 1.通过阅读课本解圆柱、圆锥、圆台、球的定义； 2.在棱柱、棱锥与棱台学习的基础上，进一步掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征； 3.了解简单组合体的概念及结构特征．灵活运用各种知识解决组合体问题； 知识点01：圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 【即学即练1】（23-24高一上·安徽·开学考试）如图是某几何体的展开图，该几何体是（    ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】B 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】由图可知，该几何体是圆柱. 【详解】解：将展开图还原后，可得到一个圆柱， 故选：B. 知识点02：圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 【即学即练2】（24-25高一下·全国·随堂练习）圆锥的截面形状不可能为（    ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．圆 D．椭圆 【答案】B 【知识点】圆锥的结构特征辨析 【分析】根据圆锥的特征逐项判断可得答案. 【详解】对于A，用过轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是等腰三角形，符合题意； 对于B，圆锥的侧面是曲面，所以截面形状不可能为平行四边形，不符合题意； 对于C，用垂直于轴的平面去截圆锥，得到的截面形状是圆，符合题意； 对于D，用与轴斜交的平面去截圆锥，得到的截面形状可能是椭圆，符合题意． 故选：B. 知识点03：圆台 （1）圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （2）圆台的图形 （3）圆台的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆台 【即学即练3】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析 【分析】由圆台的已知数据，利用勾股定理可求得母线长. 【详解】 由已知得：， 所以在直角梯形中，， 所以圆台的母线长为5. 故选：C. 知识点04 球的结构特征 （1）定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做 球体，简称球 （2）相关概念： 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段 【即学即练4】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 绕轴旋转而成（填序号）． 【答案】③④ 【知识点】由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据图形判断即可. 【详解】题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转而成． 故答案为：③④. 题型01圆柱的结构特征 【典例1】（2024·吉林·模拟预测）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（    ） ①矩形  ②圆  ③椭圆  ④部分抛物线  ⑤部分椭圆 A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】对不同的放置情况分别判断，得出结论 【详解】当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆； 当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分； 当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆； 故选：C 【典例2】（多选）（2024高一·江苏·专题练习）（多选）下列说法正确的是（　　） A．圆柱的底面是圆面 B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面 C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交 D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 【答案】AB 【知识点】柱、锥、台体的轴截面、圆台的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【分析】根据圆柱和圆台的结构特征，依次判断选项即可. 【详解】A：圆柱的底面是圆面，故A正确； B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故B正确； C：圆台的母线延长相交于一点，故C错误； D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故D错误.    故选：AB 【变式1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列几何体中为圆柱的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】球的结构特征辨析、判断几何体是否为圆锥、圆柱的结构特征辨析、判断几何体是否为棱台 【分析】结合几何体的特征逐个判断即可. 【详解】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球． 故选：B． 【变式2】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】设底面半径为，分底面周长为和两种情况讨论，分别求出底面半径. 【详解】如图所示，设底面半径为，若矩形的长为卷成圆柱底面的周长，则，所以； 同理，若矩形的宽为卷成圆柱底面的周长，则，所以． 故选：CD．    【变式3】（23-24高二·上海·课堂例题）一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是什么图形？如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状又会是什么图形？请分别画出以上两种情形的示意图． 【答案】答案见解析 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】水平放置的圆柱，水平截面形状为圆；如果把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形. 【详解】一个水平放置的封闭圆柱形容器中装了部分的水，此时水面的形状是圆，如图： 把圆柱沿侧面放倒在水平的面上，那么水面的形状是矩形，如图： 题型02 圆柱截面有关计算 【典例1】（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径是10，水面宽是16，则截面水深是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】圆柱轴截面的有关计算 【分析】由题意知，交于点，在中，求出，即可得答案； 【详解】由题意知，交于点， ∵，∴， 在中，∵，， ∴，∴． 故选：B． 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）用一张的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则圆柱的轴截面面积是 . 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、圆柱轴截面的有关计算 【分析】根据已知，分圆柱的高为8以及高为4，两种情况，分别求出圆柱底面圆的半径，进而得出圆柱的轴截面面积. 【详解】若圆柱的高为，则底面圆的周长为4，设，则， 此时圆柱的轴截面为两边长分别为和的矩形， 所以轴截面面积； 若圆柱的高为，则底面圆的周长为8，设，则， 此时圆柱的轴截面为两边长分别为和的矩形， 则轴截面面积. 综上可知，圆柱的轴截面面积为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥的结构特征辨析、圆柱轴截面的有关计算 【分析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状. 【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边， 当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确； 故选:D 【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题. 【变式2】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（    ） A．32 B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 题型03 圆柱展开图及最短距离问题 【典例1】（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【详解】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C 【典例2】（24-25高三上·湖北·期中）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知：，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，      可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 故选：A. 【变式1】（23-24高一下·安徽六安）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺. 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用圆柱的展开图，由勾股定理求解即可. 【详解】解：如图： 一条直角边（即圆柱体的高）长(尺)，另一条直角边长(尺)， 根据勾股定理可知葛藤的最短长度为尺. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 题型04 圆锥的结构特征 【典例1】（23-24高一下·山东泰安）如图，已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图扇形的圆心角为，则圆锥的母线长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算、圆锥的结构特征辨析 【分析】由圆锥的底面周长与侧面展开图的半圆弧相等，结合弧长公式列方程即可求母线长. 【详解】由题设母线长为，则，可得. 故选：D. 【典例2】（24-25高一·全国·随堂练习）根据下列描述，说出几何体的名称： (1)一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形； (2)一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形． 【答案】(1)圆锥 (2)半圆锥 【知识点】圆锥的结构特征辨析 【分析】根据旋转体的几何特征可知，（1）中得到的几何体为整个圆锥，（2）中得到的几何体为圆锥的一半. 【详解】（1）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形是： 以等腰三角形的高为轴，底边的一半为底面圆半径，腰为母线的整个圆锥； （2）一个直角三角形绕着一条直角边所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形是： 以直角三角形的一条直角边为轴，另一条为底面圆半径，斜边为母线的半圆锥. 【变式1】（23-24高一下·青海西宁·期中）菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【答案】C 【知识点】圆锥的结构特征辨析、由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据圆锥的概念和组合体的概念判断即可. 【详解】将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选：C 【变式2】（23-24高一下·河北邢台·阶段练习）在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】B 【知识点】圆锥的结构特征辨析 【分析】由已知，先判定，然后根据题意结合圆锥的定义即可做出判断. 【详解】由题意知，为等腰三角形，，D为BC的中点，所以，所以满足：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为圆锥，该几何体为圆锥. 故选：B. 题型05 圆锥截面有关计算 【典例1】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图所示，为圆锥的轴截面， 设圆锥的底面半径为， 若，所得截面面积最大值为， ，不符合题意； 若， 此时所得截面面积的最大值，符合题意， 此时有，所以， 又，所以. 故选：D. 【典例2】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】根据圆锥的轴截面是顶角为知过此圆锥顶点的所有截面中截面面积最大值为. 【详解】由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为， 设过圆锥顶点的截面三角形顶角为，则， 则截面面积为，当时，， 故选：C． 【变式1】（23-24高二·上海·课堂例题）设点为圆锥的高靠近顶点的三等分点，求过与底面平行的截面面积与底面面积之比． 【答案】 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】作出圆锥的轴截面，利用比例关系求解. 【详解】如图，作出圆锥的轴截面，设截面圆的半径为，底面半径为， 由已知可得， 于是截面面积和底面面积之比是.    【变式2】（23-24高一下·山东临沂·期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是12． (1)求圆锥的母线长； (2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆锥中截面的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据面积关系可得，进而可得母线长； （2）取的中点，由题意可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】（1）因为轴截面的面积为，解得， 所以圆锥的母线长为. （2）取的中点，连接，则， 可得，则， 当且仅当，等号成立，此时， 所以截面面积的最大值. 题型06圆锥展开图及最短距离问题 【典例1】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）如图，圆锥底面半径为3，母线，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内，再利用两点间距离最短求出结果. 【详解】把圆锥侧面沿母线剪开，展在同一平面内得扇形，连接，如图， 令扇形圆心角大小为，则，解得， 在中，，则， 所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为. 故选：C 【典例2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，已知在圆锥中，底面半径，母线长，为母线上的一个点，且，从点拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点．求：    (1)绳子最短长度的平方； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)的最大值． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】（1）将圆锥展开，求出相关的基本量，然后用表示即可； （2）过顶点作绳子的垂线，通过三角形面积相等即可表示出顶点到绳子的最短距离； （3）利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）将圆锥的侧面沿展开在平面上，如图所示，则该图为扇形， 且弧的长度就是底面圆的周长，所以． 所以．    由题意知绳子长度的最小值为展开图中的，其值为． 所以； （2）绳子最短时，在展开图中过作，垂足为，则的长度为顶点到绳子的最短距离， 在中，， 所以， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为； （3）因为在上是严格增函数，所以的最大值为 【变式1】（24-25高二上·上海·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公里，B是上一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路，这条铁路从A出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里 【答案】9 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果. 【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：      记为上的任意一点，作，垂足为，连接， 因为的长为，所以， 由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的， 易知，所以， 上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大， ∴下坡段的铁路，即图中的， 因为，所以. 故答案为：9 【变式2】（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为1公里，母线长为4公里，是母线一点，且公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路，则这段铁路的长度为 公里. 【答案】5 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为，由圆锥的结构特征求出的值，作出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理计算可得答案． 【详解】根据题意，设该圆锥展开图的圆心角为， 该圆锥中，底面半径为1公里，母线长为4公里，则有，变形可得， 如图为该圆锥的展开图， 有，，则， 故， 即符合题意最短的铁路的长度为5． 故答案为：5． 题型07圆台的结构特征 【典例1】（23-24高二上·江西南昌）用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（    ） A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆 【答案】A 【知识点】圆台的结构特征辨析 【分析】根据截面与几何体相交时的形状，即可判定选项. 【详解】用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为圆形，B错误； 截面与圆台的轴平行时，得到梯形，C错误； 截面与底面不平行也不相交时，得到椭圆，D错误； 图形不可能是矩形，则A正确， 故选:A. 【典例2】（23-24高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 B．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台 C．圆锥、圆台的底面都是圆，母线都与底面垂直 D．位于上方的面是棱台的上底面，位于下方的面是棱台的下底面 【答案】B 【知识点】棱台的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】利用圆台的定义判断A，B；利用圆锥、圆台的定义判断C；利用棱台的定义判断D作答. 【详解】根据圆台母线的定义知，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，A错误； 根据圆台的定义，可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台，B正确； 根据圆锥、圆台的定义知，圆锥、圆台的母线都不与底面垂直，C错误； 棱台的两个底面相似，其中较小的面是上底面，较大的面是下底面，D错误． 故选：B 【变式1】（24-25高二上·上海·课后作业）圆台的母线都相等，各条母线的延长线相交于一点．( ) 【答案】正确 【知识点】圆台的结构特征辨析 【分析】根据圆台的定义 即可判断. 【详解】圆台定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴，旋转一周所成.几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形. 【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列说法错误的是（    ） A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面 B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线 C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点 D．圆锥的母线可能平行 【答案】ABD 【知识点】圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【详解】当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误；由圆台的结构特征知B错误；由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确，D错误．故选ABD. 题型08圆台展开图 【典例1】（24-25高二上·江西景德镇·阶段练习）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【知识点】圆台的展开图 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 【典例2】（23-24高一下·山西忻州·阶段练习）某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为 ． 【答案】 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台的展开图 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆半径，再利用等腰梯形的性质求出高. 【详解】依题意，圆台上底面圆周长为，则圆台上底半径， 圆台下底面圆周长为，则圆台下底半径， 圆台轴截面是等腰梯形，上下底边长分别为，腰长为， 所以圆台的高，即等腰梯形的高为（cm）. 故答案为： 【变式1】（2024·贵州黔南·二模）某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是和）铁皮材料，通过卷曲使得边与边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台的展开图 【分析】根据圆台的侧面展开图求得，再结合圆台的结构特征分析求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以该圆台的高为. 故选：C. 【变式2】（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆台的展开图 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 题型09球的结构特征 【典例1】（24-25高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】球的结构特征辨析 【分析】根据球的概念逐一判断即可. 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）给出以下说法： ①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【知识点】球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据球的定义、结构特征以及球的截面依次判断命题即可. 【详解】①：根据球的定义知，球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长，故①正确； ②：因为球的直径必过球心，故②不正确； ③：因为球的任何截面都是圆面，故③不正确， ④：过圆柱轴的平面截圆柱所得的截图为矩形，故④正确． 故答案为：①④ 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ） ①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆； ②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径； ③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面； ④球面上任意三点可能在一条直线上； ⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段． A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【知识点】球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据球的定义，球的截面的性质判断各命题． 【详解】任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，由球的定义知②正确，由球的截面圆性质知③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确． 故选：C. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．到定点的距离等于定长的点的集合是球 B．球面上不同的三点可能在同一条直线上 C．经过球面上不同的两点只能作一个大圆 D．球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面 【答案】D 【知识点】球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据球的定义及结构特征，逐一判断即可：对于A，球是实心几何体，可判断；对于B，球面上不同的三点一定不共线，可判断；对于C，过球的直径可以作无数个大圆，可判断；对于D，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面正确. 【详解】对于A，球是球体的简称，球体的外表面称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的， 到定点的距离等于定长的点的集合是球面，不是球体，故A错； 对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错； 对于C，过球的直径可以作无数个大圆，故C错， 对于D，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线必垂直于该截面，故D正确. 故选：D. 题型10球的截面性质及计算 【典例1】（2024·江苏南京·模拟预测）已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据球的截面性质，结合三角形面积等积性、勾股定理进行求解即可. 【详解】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：A 【典例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）如图所示，球心为，已知球的半径r为5，，求小圆的半径． 【答案】3 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】由勾股定理可得. 【详解】如图，设， ，， 则在中，小圆的半径． 故所求小圆的半径为． 【变式1】（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）球的体积为，用一个平面截球，若球心到截面的距离为，则截面圆的半径为 . 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】求出球的半径，再利用球的截面小圆的性质列式计算即得. 【详解】令球半径为，则，解得， 所以截面圆的半径. 故答案为： 【变式2】（23-24高二·上海·课堂例题）已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且．求截面的面积． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算、正弦定理求外接圆半径 【分析】根据题意分析可知所求截面即为的外接圆，结合正弦定理运算求解. 【详解】由题意可知：是边长为2的等边三角形，且所求截面圆即为的外接圆， 则的外接圆半径， 所以截面的面积为. 题型11球面距 【典例1】（2024·甘肃兰州·一模）球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于北纬西经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求球面距离 【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解. 【详解】甲、乙两地在北纬线上，所对圆心角为， 即甲、乙两地在北纬线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径， 则，所以甲、乙两地的球心角为， 故甲、乙两地的球面距离为. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·上海·单元测试）已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、求球面距离 【分析】由题意得大圆的半径为，，从而可利用弧长公式可求得结果. 【详解】因为球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且， 所以经过A、B两点的大圆的劣弧长为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·上海·随堂练习）如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【知识点】求球面距离 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 【变式2】（24-25高二·上海·课堂例题）设地球的半径为，在北纬圈上有两点，它们的经度相差，求这两点间的纬线的长. 【答案】 【知识点】求球面距离 【分析】利用球中截面圆的性质，结合地球经纬度的定义即可得解. 【详解】如图所示，连接.    设地球球心为，北纬圈中心为，则，. 所以. 所以. 所以两点间的纬线的长为：. 题型12简单组合体 【典例1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】组合体截面的形状、组合体的切接问题 【分析】用过球心的截面去截球，分截面与正方体侧面的不同关系，即可判断选项. 【详解】当截面过球心，且截面不平行于任何侧面，且不过体对角线时，截面图形是A； 当截面过正方体的两条相交的体对角线时，截面图形是B； 当截面过球心，且平行于正方体的一个侧面时，截面图形是C； 过球心的截面不能为D. 故选：D 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、组合体的构成 【分析】根据给定条件，利用旋转体的结构特征分别按分析即可. 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    【变式1】（2024高一·江苏·专题练习）若将如图所示的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．    【答案】答案见解析 【知识点】由平面图形旋转得旋转体 【分析】如图，将图形分成直角三角形、直角梯形和矩形3个部分，结合旋转体的定义即可求解. 【详解】①是直角三角形，旋转后形成圆锥； ②是直角梯形，旋转后形成圆台； ③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示． 通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．    【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）指出图中三个空间几何体的构成． 【答案】答案见解析 【知识点】组合体的构成 【分析】由几何体的定义以及题图观察可得结果. 【详解】题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱柱． 题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥． 题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江西抚州·期中）中国古代建筑中的圆柱，多是根部略粗，顶部略细，这种做法称为“收分”，柱子做出收分，既稳定又轻巧．已知某古代建筑的一根圆柱，每增高，直径收分，若该柱子柱根直径为，柱高，则柱头直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】根据比值关系即可求解. 【详解】柱头直径为． 故选：B． 2．（2024·福建漳州·一模）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解. 【详解】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为， 则石磨的侧面积为，解得. 故选：A. 3．（23-24高一下·河南驻马店·期末）已知某圆锥的母线长为8，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、圆锥的结构特征辨析 【分析】根据给定条件，利用扇形弧长公式即可求出圆锥底面圆半径. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得. 故选:B 4．（23-24高一下·天津·期中）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）    A．①是棱台，②不是圆台 B．②是圆台，③是棱锥 C．③是棱锥，④是棱台 D．③是棱锥，④是棱柱 【答案】D 【知识点】判断几何体是否为棱柱、判断几何体是否为棱锥、判断几何体是否为棱台 【分析】棱柱：有两个面平行，其余各面都是平行四边行，且相邻的公共边平行所围成的图形； 棱锥：由一个面是多边形，其余各面都是共顶点的三角形所围成的图形； 棱台：用平行与底面的截面截棱锥，截面与底面之间几何体； 圆台：用平行与底面的截面截圆锥，截面与底面之间几何体. 【详解】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误； 对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误； 对于C：④是棱柱，故C错误； 对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确. 故选：D 5．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（    ） ①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． A．①和⑤ B．①和② C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【知识点】由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据旋转体的定义判断. 【详解】根据旋转体的定义可得圆柱和球体为旋转体. 故选：D. 6．（24-25高二·上海·课堂例题）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. 7．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，圆锥的母线长为3，底面半径为1，一只蚂蚁从点P处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则蚂蚁爬行的最短路线长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可. 【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，    一只蚂蚁从点P出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点P的最短距离为， 设，圆锥底面周长为，所以圆弧的长为， 所以， 在中，由，得， 故选：D. 8．（23-24高二上·青海海南·阶段练习）如图，已知圆柱底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点则小虫爬行路线的最短长度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】展开圆柱侧面，根据两点间直线距离最短求得正确结论. 【详解】展开圆柱的侧面如图所示， 由图可知小虫爬行路线的最短长度是. 故选：B 二、多选题 9．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 【答案】ABC 【知识点】棱锥的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析 【分析】通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线的定义进行判断知D正确． 【详解】解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误； B、如图（2）（3）所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误； C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误； D、根据圆锥母线的定义知，故D正确． 故选：ABC． 10．（23-24高一下·湖北·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．圆柱的侧面展开图是矩形 B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面 C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台 D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面 【答案】ABD 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、圆柱的展开图及最短距离问题、圆台的结构特征辨析 【分析】对于A，由圆柱的侧面展开图判断；对于B，由圆绕着它的直径所在的直线旋转判断；对于C，由直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转判断；对于D，由圆柱、圆锥、圆台的特征判断. 【详解】对于A，圆柱的侧面展开图是矩形，所以A正确； 对于B，球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面，所以B正确； 对于C，当直角梯形绕它的直角所在的腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台，所以C错误； 对于D，圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题 11．（23-24高一下·吉林延边·阶段练习）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为cm，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点.则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm 【答案】 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、余弦定理解三角形 【分析】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将圆锥的侧面展开，找到最短路径，利用三角形进行求解.. 【详解】 解： 由已知得：圆锥的底面半径为cm， 则底面圆的周长，即圆锥侧展开图扇形的的弧长为：cm， 又圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图扇形的半径为：5cm， 则侧面展开图圆心角，最短距离即为的长， 由余弦定理得：， 故答案为： 12．（23-24高二·上海·课堂例题）已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ． 【答案】 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的面积最小，据此在球中计算即可. 【详解】设正三角形 的中心为 , 如图所示,连接 , 是正三角形 的中心, 平面 球的半径 , 球心 到平面 的距离为 1 , 即 在  中, ,, . 过点 作球 的截面，当截面与 垂直时，截面圆的半径最小,即截面圆的面积最小, 此时截面圆的半径为 , 截面面积 . 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，已知圆柱的高为80cm，底面半径为10cm，表面上有P､Q两点，若P､Q两点在轴截面上，且，，一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程. 【答案】 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将圆柱侧面沿母线展开，再在三角形中利用勾股定理计算可得. 【详解】解：将圆柱侧面沿母线展开,得到如图所示的矩形.设圆柱的底面半径为，则. . 过点Q作于点，在中，，. , 即蚂蚁爬过的最短路径长是. 【点睛】本题考查空间曲面上距离最小值问题，解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案． 14．（24-25高一·全国·课后作业）已知球的直径长为10，过直径上一点且垂直于直径的平面截球面得圆． (1)若，求圆的半径； (2)若圆的面积为，求球心到该截面的距离． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】（1）利用勾股定理计算可得； （2）记圆的半径为，球心到该截面的距离为，由截面圆的面积求出，再由计算可得； 【详解】（1）解：因为球的半径，所以． （2）解：记圆的半径为，球心到该截面的距离为， 则，得， 因此． B能力提升 15．（24-25高二·全国·课后作业）一个圆锥的底面半径为R，高为． (1)用平行于底面的平面截圆锥得到一个圆台，其上下底面面积之比为，求圆台上下底面之间的距离； (2)求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】圆台的结构特征辨析、棱柱表面积的有关计算 【分析】（1）由圆台的结构特征直接求出； （2）设正四棱柱的底面对角线的一半为x，作出圆台的直截面，利用三角形相似求出，建立四棱柱的表面积的表达式，利用二次函数求最值. 【详解】（1）由圆台的结构特征可知，圆台上底面的半径为，设截去的小圆锥的高为h，则，解得． 所以圆台上下底面之间的距离为． （2）如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，由于， 则，即，解得． 因为正四棱柱的底面是一个正方形，其底边长为，底面积为， 所以，四棱柱的表面积为． 当时，正四棱柱的表面积S有最大值，即． 16．（23-24高一下·山东日照·阶段练习）如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的底面半径是3，圆锥的高为24. （1）求圆台的母线长l. （2）若该棱锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】圆锥中截面的有关计算、截面及其做法 【分析】（1）由已知可得，结合题干数据和勾股定理可求解，即得解； （2）设正方体的棱长为x，利用相似三角形的比例关系列出等量关系，可得解. 【详解】(1)由已知，又 所以， 所以，圆台的母线 （2） 如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x， 则 解得 故正方体的棱长为 / 学科网（北京）股份有限公司 $$