精品解析：山东省威海市2024—2025学年上学期八年级数学期末试题

2024—2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效． 一、选择题 1. 以下分式不论a为何值，恒有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 图中所示的交通标志，其中有（ ）个中心对称图形． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 的对角线，交于点O，以下结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 不可能是轴对称图形 4. 已知一个样本数据，，…，，的平均数和方差分别为，，则新数据，，…，，的平均数和方差分别是（ ） A. 9 4 B. 9 8 C. 6 4 D. 6 7 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形共有（ ）条对角线 A. 108 B. 54 C. 144 D. 72 6. 将轴轴分别向上，左平移2，3个单位，则的坐标变为（ ） A. B. C. D. 7. （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A. B. C. D. 9. 小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（ ）． A. 相同 B. 少 C. 多 D. 不确定 10. 已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（ ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A. ①②③④⑤ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题 11. 将点绕原点O逆时针旋转后的坐标为________． 12. 某公司招聘员工，A，B最终进入决赛，成绩如下表．公司笔试成绩和面试成绩按（，为整数）的权重录取．若最终A被录取，则可以是________（填一个即可） 应聘者 笔试成绩 面试成绩 A 86 90 B 92 84 13. 化简的结果是________． 14. 若是一个完全平方式，则的值为________． 15. 要使质量分数为的氯化钾溶液变成质量分数为的氯化钾溶液，可加入多少克的的氯化钾溶液？设可加入的的氯化钾溶液，可列分式方程________． 16. 一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为________ 三、解答题 17. 将下列各式分解因式． （1）； （2）； （3）； （4）． 18. （1）用两种方法计算； （2）关于的分式方程无解，求的值． 19. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）． 该校从学生成绩都不低于85分的初三·七班和初三·八班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 收集数据 初三·七班10名学生成绩： 85，95，100，90，90，100，85，100，100，85． 初三·八班10名学生成绩： 85，95，95，90，100，90，90，95，95，95． 描述数据 初三·八班10名学生成绩： 分数 85 90 95 100 人数 a 3 b 1 分析数据 初三·七班和初三·八班10名学生成绩： 班级 平均数 中位数 众数 方差 初三·七班 x y 100 41 初三·八班 93 95 m n 应用数据 根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）填空_______；_______；_______；_______； （3）结合数据，你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由、 20. “刘公岛杯”2024年中国·威海超级铁人三项系列赛于9月28日在半月湾铁人三项专用赛场举行A，B两人分别从距离威海，的城市驾车前往，A的平均车速是B的平均车速的1.2倍，A提前半小时出发，比B提前十分钟到达威海．求A的平均车速． 21. 如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． （1）求证：； （2）点落在何位置，并说明理由． 22. 规定：对于关于的函数，当，若，则称：当时，是的增函数；反之，若，则称：当时，是的减函数． 例如，证明关于的函数在范围内为减函数． 令， 则 ， ，，． ．即． 所以，在范围内为减函数． 请完成下面问题： （1）当时，为________函数（增、减或者不确定）； （2）判断关于的函数在范围内的增减性，并说明理由． 23. （1）探究：如图1，已知，点E，F是上任意两点，判断，的面积是否相等，并说明理由； （2）应用：已知如图2，在平面直角坐标系中，解析式为：，，点D坐标为，点P为上任意一点，则________； （3）拓展：请参考上述结论，在图3中作使其与四边形面积相等．（不写作法，保留作图痕迹） 24. 旋转在几何学中扮演着重要的角色，通过图形的旋转，可以巧妙地构造出全等条件，从而解决问题． （1）如图1，点D，E分别为等边边，上的点，以为边作等边交于点G．连接．判断，，的数量关系； A同学的思路：将绕点D逆时针旋转； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转； 请你参考以上方法判断，，的数量关系为 ． （2）如图2，点D为等边外一点，连接，，，其中与交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由； （3）如图3，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，，，其中交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号、座号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．非选择题用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按上述要求作答的答案无效． 一、选择题 1. 以下分式不论a为何值，恒有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 根据分式有意义的条件对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．当时，分式无意义，故本选项不符合题意； B．当，分式无意义，故本选项不符合题意； C．当，分式无意义，故本选项不符合题意； D．∵， ∴， ∴无论取何值，分式总有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 图中所示的交通标志，其中有（ ）个中心对称图形． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：第1个和第4个图形是中心对称图形，共2个． 故选：C． 3. 的对角线，交于点O，以下结论错误的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 不可能是轴对称图形 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和菱形的判定和性质，轴对称图形的判断，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据平行四边形的性质可判断A，C，由得到是菱形，进而可判断B，D． 【详解】解：∵平行四边形的对角线，相交于点O， ∴，，故A，C正确，不符合题意； 若， ∴是菱形 ∴，故B正确，不符合题意； ∴此时是轴对称图形，故D错误，符合题意． 故选：D． 4. 已知一个样本数据，，…，，的平均数和方差分别为，，则新数据，，…，，的平均数和方差分别是（ ） A. 9 4 B. 9 8 C. 6 4 D. 6 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握平均数与方差计算公式是解题的关键． 根据平均数与方差公式计算即可求解． 【详解】解：由题意，得 新数据平均数为 ， 新数据方差为 ． 故选：B． 5. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形共有（ ）条对角线 A. 108 B. 54 C. 144 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和，对角线的计算，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正多边形的一个外角是，根据外角和性质为可得正多边形的边数，由边形总的对角线数为，由此即可求解． 【详解】解：正多边形的一个外角是， ∴正多边形的边数为， ∴这个正多边形共有条对角线， b故选： B． 6. 将轴轴分别向上，左平移2，3个单位，则的坐标变为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移变换，解题的关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加． 根据直角坐标系中点的平移法则：横坐标满足“左（移）减右（移）加”，纵坐标满足“下（移）减上（移）加”求解即可． 【详解】∵将轴轴分别向上，左平移2，3个单位， ∴将分别向下，右平移2，3个单位后变为． 故选：D． 7. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 8. 如图，在中，，，，点D为上的动点，点E，F分别为，的中点，则最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得，是的中位线，则有，然后可知当时，最小，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，的值最小， ∴当时，最小， 此时，， 即， ∴， ∴， 故选：C． 9. 小丽家和小明家到学校的路程都是，其中小丽家走的是平路，骑车速度是．小明家需要走的上坡路，的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，那么小丽比小明在路上花费的时间（ ）． A. 相同 B. 少 C. 多 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，用合适的分式表示出来． 【详解】解：∵小明上坡路走的时间：，下坡路走的时间：， 总时间为：； 小丽花费的时间为：， ∴． ∴小丽比小明在路上花费的时间少． 故选：B． 10. 已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（ ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A. ①②③④⑤ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，即可判断①；根据平行四边形的性质即可判断②；根据等边对等角得到，，然后结合平行线的性质得到，，进而求出，然后利用三角形内角和定理求出，即可判定③；若，得到是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形外角的性质得到，然后求出，进而得到，即可判断④； 根据题意得到点F在线段上，进而可判断⑤． 【详解】∵，点E为的中点， ∴ ∴为等腰三角形，故①正确； ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确； 若， 又∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确； ∵将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F， ∴点F在线段上， ∵ ∴为直角三角形，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③④⑤． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 11. 将点绕原点O逆时针旋转后的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，利用点绕原点旋转得出两点关于原点对称是解题关键，注意关于原点对称的横坐标互为相反数，关于原点对称的纵坐标互为相反数． 根据点绕原点旋转，可得两点关于原点对称，根据关于原点对称的横坐标互为相反数，关于原点对称的纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点绕原点O逆时针旋转后对应点与A点关于原点对称， ∴对应点的坐标是． 故答案为：． 12. 某公司招聘员工，A，B最终进入决赛，成绩如下表．公司笔试成绩和面试成绩按（，为整数）的权重录取．若最终A被录取，则可以是________（填一个即可） 应聘者 笔试成绩 面试成绩 A 86 90 B 92 84 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得 又∵ ∴ ∴可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 13. 化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母的分式的减法运算，数量掌握知识点是解题的关键． 先通分，再进行分子加减，最后要化为最简分式． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的2倍，据此求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为；． 15. 要使质量分数为的氯化钾溶液变成质量分数为的氯化钾溶液，可加入多少克的的氯化钾溶液？设可加入的的氯化钾溶液，可列分式方程________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． 设可加入的的氯化钾溶液，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设可加入的的氯化钾溶液， 根据题意得，． 故答案为：． 16. 一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，，则第四个顶点的坐标为________ 【答案】或或 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分情况讨论． 设第四个顶点的坐标为，根据平行四边形的性质分三种情况，然后分别列出方程组求解即可． 【详解】解：∵一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为，，， 设第四个顶点的坐标为 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 当点和是对角顶点坐标时， ∴ ∴第四个顶点的坐标为； 综上所述，第四个顶点的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 17. 将下列各式分解因式． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用平方差公式因式分解，然后提公因式求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式法则展开，然后利用完全平方公式因式分解即可； （3）综合利用公式法分解因式即可； （4）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. （1）用两种方法计算； （2）关于的分式方程无解，求的值． 【答案】（1）两种方法见详解， （2）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简，解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法，分式方程无解的意义是解题的关键． （1）方法一：先将括号里的分式通分，再与括号外的分式作乘除；方法二：运用乘法的分配律计算即可； （2）先根据分式的性质解分式方程，再根据分式无解得到或计算即可． 【详解】解：（1）方法一： ； 方法二： ； （2）， 整理得，， 等式两边同时乘以去分母得，， ∴， ∵关于的分式方程无解， ∴当时，， ∴， 解得，； 当时，无意义，原分式方程无解， 解得，； 综上所述，的值为或． 19. 2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）． 该校从学生成绩都不低于85分的初三·七班和初三·八班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 收集数据 初三·七班10名学生成绩： 85，95，100，90，90，100，85，100，100，85． 初三·八班10名学生成绩： 85，95，95，90，100，90，90，95，95，95． 描述数据 初三·八班10名学生成绩： 分数 85 90 95 100 人数 a 3 b 1 分析数据 初三·七班和初三·八班10名学生成绩： 班级 平均数 中位数 众数 方差 初三·七班 x y 100 41 初三·八班 93 95 m n 应用数据 根据以上信息，完成下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）填空_______；_______；_______；_______； （3）结合数据，你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由、 【答案】（1） 补全统计图如下： （2）93，，95，16 （3）初三·八班的成绩更好一些， 理由如下： ∵初三·七班和初三·八班的平均数相同，初三·七班的中位数和方差都小于初三·八班， ∴初三·八班的成绩更好一些． 【解析】 【分析】本题考查读统计表和条形统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及方差的计算． （1）根据初三·七班10名学生成绩补全条形统计图即可； （2）根据平均数，中位数，众数，方差的概念求解即可； （3）根据平均数，中位数，方差的意义求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，初三·七班10名学生成绩中95分的有1人，100分的有4人， 【小问2详解】 初三·七班的平均数； 初三·七班10名学生成绩从小到大排列为： 85，85，85，90，90，95，100，100，100，100， 中间的两个数为90，95 ∴中位数； 初三·八班10名学生成绩中95分的人数最多， ∴众数； ∴方差； 【小问3详解】 略 20. “刘公岛杯”2024年中国·威海超级铁人三项系列赛于9月28日在半月湾铁人三项专用赛场举行A，B两人分别从距离威海，的城市驾车前往，A的平均车速是B的平均车速的1.2倍，A提前半小时出发，比B提前十分钟到达威海．求A的平均车速． 【答案】A的平均车速为． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，设B的平均车速为x，则A的平均车速为，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】设B的平均车速为x，则A的平均车速为 根据题意得， 解得 经检验，是方程的解， ∴ ∴A的平均车速为． 21. 如图，将沿对角线折叠，点B的对应点为，连接，，其中与交于点E． （1）求证：； （2）点落在何位置，并说明理由． 【答案】（1） ∵四边形是平行四边形 ∴， 由折叠得，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）当点落在的延长线上时，， 理由如下： 当点落在的延长线上时， ∴ ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠得到，，然后证明出，得到，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，即可得到； （2）当点落在的延长线上时，证明出四边形是矩形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，折叠性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 规定：对于关于的函数，当，若，则称：当时，是的增函数；反之，若，则称：当时，是的减函数． 例如，证明关于的函数在范围内为减函数． 令， 则 ， ，，． ．即． 所以，在范围内为减函数． 请完成下面问题： （1）当时，为________函数（增、减或者不确定）； （2）判断关于的函数在范围内的增减性，并说明理由． 【答案】（1）减 （2）函数在范围内是增函数，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了函数的增减性，解题的关键是理解题意． （1）令，则，由可得，，，推出，即，即可判断； （2）令，则，由，可得，，推出．即，即可判断． 【小问1详解】 解：令， 则 ， ，，， ， ．即， 当时，为减函数， 故答案为：减； 【小问2详解】 函数在范围内是增函数，理由如下： 令， 则 ， ，， ， ．即， 函数在范围内是增函数． 23. （1）探究：如图1，已知，点E，F是上任意两点，判断，的面积是否相等，并说明理由； （2）应用：已知如图2，在平面直角坐标系中，解析式为：，，点D坐标为，点P为上任意一点，则________； （3）拓展：请参考上述结论，在图3中作使其与四边形面积相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）12；（3）见解析 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和几何综合，一次函数与坐标轴交点问题，三角形面积等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据同底等高的两个三角形面积相等求解即可； （2）连接，根据题意求出，，得到，，然后得到； （3）连接，作，延长交的延长线于点E即为所求． 【详解】（1）∵ ∴与间的距离相等 ∵ ∴和的面积相等； （2）如图所示，连接 ∵解析式为： ∴当时， ∴ ∴当时， 解得 ∴ ∴ ∵点D坐标为 ∴ ∵ ∴； （3）如图所示，点E即为所求； ∵ ∴ ∴． 24. 旋转在几何学中扮演着重要的角色，通过图形的旋转，可以巧妙地构造出全等条件，从而解决问题． （1）如图1，点D，E分别为等边边，上的点，以为边作等边交于点G．连接．判断，，的数量关系； A同学的思路：将绕点D逆时针旋转； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转； 请你参考以上方法判断，，的数量关系为 ． （2）如图2，点D为等边外一点，连接，，，其中与交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由； （3）如图3，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，，，其中交于点E，且，判断，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则A同学的思路：将绕点D逆时针旋转，如图1.1，此时旋转后与重合，旋转到，连接，由旋转可得，，，然后可得，进而问题可求解；B同学的思路：将绕点E顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，由旋转可得，，，然后可得，进而问题可求解；C同学的思路：将绕点F顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，，由旋转可得，，，，然后可得，进而问题可求解； （2）在上取一点F，使，连接，由题意易得，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （3）在上取一点F，连接，使得，由题意易得，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：∵和是等边三角形， ∴． A同学的思路：将绕点D逆时针旋转，如图1.1，此时旋转后与重合，旋转到，连接， 由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴点M在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； B同学的思路：将绕点E顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接， 由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点N在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； C同学的思路：将绕点F顺时针旋转，如图，此时旋转后与重合，旋转到，连接，， 由旋转可得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点C在线段上， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：；理由如下： 如图2，在上取一点F，使，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：；理由如下： 如图，在上取一点F，连接，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $