第11章 解三角形 易错训练与压轴训练（2易错+5压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第11章 解三角形 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 三角形中漏解 1 易错题型二 解方程时忽视了而直接将约去 2 压轴题型一 锐角三角形中周长取值范围 2 压轴题型二 锐角三角形中边长代数和 5 压轴题型三 三角形面积最值（范围） 7 压轴题型四 三角形中中线问题 10 压轴题型五三角形中角平分线问题 13 02 易错题型 易错题型一 三角形中漏解 例题1：（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 例题2：（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若，试判断的形状. 巩固训练 1．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 易错题型二 解方程时忽视了而直接将约去 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 例题2：（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 巩固训练 1．（23-24高一下·河南省直辖县级单位）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状为 . 03 压轴题型 压轴题型一 锐角三角形中周长取值范围　 例题1：（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且. (1)求角C的值： (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 例题2：（24-25高二上·陕西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，且. (1)求B； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 例题3：（23-24高一下·山东菏泽·期中）在锐角中，已知． (1)求； (2)求周长的最大值． 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)已知. ①若，求A； ②若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 2．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，，. (1)若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间； (2)锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若是锐角，且，求角的正弦值； (3)在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，求周长的取值范围． 压轴题型二 锐角三角形中边长代数和　 例题1：（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 例题2：（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 例题3：（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 巩固训练 1．（2024高二上·云南·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 2．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 3．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）设函数． (1)求方程在上的所有解； (2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围． 压轴题型三 三角形面积最值（范围） 例题1：（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 例题2：（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，， (1)若以，，为边长的三个正三角形的面积分别为，，并满足，，求. (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 例题3：（23-24高一下·吉林·期中）如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. (1)若，求的面积； (2)证明：； (3)若，求的面积的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一下·天津·期中）的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 2．（23-24高一下·湖南）年湖南省油菜花节，益阳市南县罗文村（湖南省首个涂鸦艺术村）通过层层遴选，最终在全省个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图（如图）． 已知：四点共圆，，，，，其中（不计宽度）是观赏路线，与是油菜花区域． (1)求观赏路线的长度； (2)因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值． 3．（23-24高一下·浙江）在中，角，，所对的边为，，，已知，是边上的点，满足，. (1)求角大小； (2)求三角形面积的最大值. 压轴题型四 三角形中中线问题 例题1：（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则. (1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长； (2)请证明题干中的定理； (3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值. 例题2：（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 例题3：（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值. 巩固训练 1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）在中，已知角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若边上的中线为，求的值； 2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）的内角所对的边分别为，且 (1)若，求在上的投影向量；（用向量表示） (2)若，，为的平分线，为中线，求的值. 3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 压轴题型五三角形中角平分线问题 例题1：（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 例题2：（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的角平分线交AB于点D，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 例题3：（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，若函数在上恰好有两个零点. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. 巩固训练 1．（23-24高一下·山东日照·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C的大小； (2)若，∠ACB的角平分线交AB于点D，且，求的面积． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 3．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若. (1)求角； (2)若点在边上，，，请在下列三个条件中任选一个，求边长. ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 解三角形 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 三角形中漏解 1 易错题型二 解方程时忽视了而直接将约去 3 压轴题型一 锐角三角形中周长取值范围 4 压轴题型二 锐角三角形中边长代数和 12 压轴题型三 三角形面积最值（范围） 18 压轴题型四 三角形中中线问题 27 压轴题型五三角形中角平分线问题 34 02 易错题型 易错题型一 三角形中漏解 例题1：（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦值相等得到或，即可判断. 【详解】由，又， 所以或，为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 例题2：（24-25高一上·上海·课后作业）在中，若，试判断的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用同角公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】在中，由及正弦定理得， 而，则，即， 因此，又A、B是三角形内角，于是或， 即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 巩固训练 1．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、已知直线平行求参数 【分析】根据给定条件，利用平行关系建立等式，再利用正弦定理边化角，结合二倍角公式推理判断即得. 【详解】依题意，在中，，由正弦定理得， 即，而， 则或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 2．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）在中，a，b是∠A，∠B，所对的边，已知，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式化简求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则，而， 因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 易错题型二 解方程时忽视了而直接将约去 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）在中，（a、b、c分别为角A、B、C的对边），则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简推理即得. 【详解】在中，及正弦定理得， 而，则， 于是，则或，而，因此或， 所以为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 例题2：（23-24高一下·河南三门峡·期中）已知中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状是 . 【答案】直角三角形 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得，进一步有，即可求解. 【详解】由正弦定理以及，可得， 所以 ， 化简可得：， 因为，，所以，，则， 因为，所以，则的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形 巩固训练 1．（23-24高一下·河南省直辖县级单位）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是 ． 【答案】等腰或直角三角形 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】分类讨论或，时，由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式变形可得． 【详解】若，即，则成立， 若，则由得， 所以，， 所以或（舍去）， 所以三角形为直角三角形或等腰三角形． 故答案为：等腰或直角三角形 2．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状为 . 【答案】等腰或直角三角形 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理边角互化化简可得或，进而可判断出的形状. 【详解】， 由正弦定理可得， 所以，， 即，， 或， ，或. 因此，为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 03 压轴题型 压轴题型一 锐角三角形中周长取值范围　 例题1：（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且. (1)求角C的值： (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由题意知，则，根据正弦定理边角互化，可求出边的关系，再根据余弦定理可求解； （2）根据锐角三角形可求出各个角的范围，再根据正弦定理可求得的表达式，再利用辅助角公式变形，由角的取值范围可求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 利用正弦定理化简，得，即， 由余弦定理，得， 又因为，所以； （2）由（1）得，即， 又因为三角形为锐角三角形， 所以，解得：， 因为，由正弦定理得：， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 所以，则的取值范围为， 所以周长的取值范围.. 例题2：（24-25高二上·陕西·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为，且. (1)求B； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理求得即可. （2）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，由余弦定理得， 而，所以. （2）由（1）知，，在锐角中，，则， 由正弦定理得， 于是 ， 而，则，即，， 所以周长的取值范围为. 例题3：（23-24高一下·山东菏泽·期中）在锐角中，已知． (1)求； (2)求周长的最大值． 【答案】(1) (2)6 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的正弦公式 【分析】（1）根据二倍角公式及已知条件直接求解即可. （2）解法一：利用正弦定理将周长表示为某一个角的三角函数形式，再利用三角函数的有界性进而求解；解法二：利用余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为△为锐角三角形，所以，所以， 所以， 所以，即． （2）解法一：由正弦定理可得， 所以 = ， 在锐角△中，因为 解得，即 所以当，即时，取最大值， 此时. 解法二：由余弦定理可得，． 代入得，即， 因为,所以， 即，解得, 当且仅当时等号成立， 所以. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. (1)求证：； (2)已知. ①若，求A； ②若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）将右式利用和角公式展开，化简并消去余弦即得； （2）①利用正弦定理和（1）的结论得到，推理得，计算即得角； ②利用① 的结论，推得，由正弦定理将边分别用角的三角函数表示，求出角的范围，借助于余弦函数的值域即可求得周长范围. 【详解】（1）由 ， 故有成立； （2）①由和正弦定理可得，, 又，则有, 由（1）可得，因， 故得，,又， 所以或(不合题意舍去), 即，又,，解得，. ② 因为，，所以； 由正弦定理得: ，即,则, ， 则的周长为， 又是锐角三角形，由可得， 则，故 即的周长的取值范围是. 2．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量，，. (1)若将函数图象向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得到函数，试求在上的单调递减区间； (2)锐角中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1). (2). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、数量积的坐标表示、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及三角公式变形整理得，然后根据平移变换和周期变换求出，再利用正弦函数的性质求解单调区间； （2）先通过求出，然后利用正弦定理表示出，再通过三角恒等变形的公式及三角函数的性质求解最值. 【详解】（1）因为， 将函数图象向左平移个单位长度得， 再把得到的图象上所有点横坐标缩短为原来的，得， 由得， 要求在上的单调递减区间，则，解得， 即在上的单调递减区间为； （2）由可得，，即， 又，则，所以，则， 又为锐角三角形，则，解得， 因为，所以， 所以，， 则 ， 因为，可得，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 3．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)若是锐角，且，求角的正弦值； (3)在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、给值求值型问题、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，求出，再由及两角和的正弦公式计算可得； （3）利用正弦定理将边化角，转化为的三角函数，再求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为 ， 所以的最小正周期. （2）因为， 所以，又是锐角，所以， 所以 所以 ； （3）由可得，即 因为为锐角，则，所以，所以，则， 由正弦定理得， 所以 ， 因为，即， 所以， 所以， 所以，即 所以 故周长的范围为． 压轴题型二 锐角三角形中边长代数和　 例题1：（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 例题2：（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）如图，在中，点在边上，． (1)若，，，求； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、几何图形中的计算 【分析】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得. （2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，即， 而，解得，则， 在中，， 由余弦定理得. （2）在锐角中，，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是. 例题3：（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出，求出角的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式求出的取值范围，再利用双勾函数的基本性质以及反比例函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，即，即， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由（1）得， 所以，， 因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，，则， 则， 因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当或时，， 所以，函数在上的值域为， 因为，则， 故. 因此，的取值范围为. 巩固训练 1．（2024高二上·云南·学业考试）在中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)求的值； (2)若是锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据题意求出角的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得. （2）因为，，则， 由正弦定理可得， 所以， ， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以，，则， 故. 即的取值范围是. 2．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，同角三角函数的商数关系，两角和的正弦公式及诱导公式得，根据，即可得出，进而求解； （2）由余弦定理得，根据平面向量的线性运算得，进而得出，根据正弦定理，二倍角公式，降幂公式，辅助角公式得出，结合，正弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 由正弦定理得， 又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以． （2）由余弦定理可得， 又，所以 ， 由正弦定理可得，所以， ， 所以， 由题意得解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为． 3．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）设函数． (1)求方程在上的所有解； (2)在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式化简，根据的范围求出满足条件的的取值. （2）结合锐角三角形角的范围和已知条件解出的值，利用正弦定理得到的解析式，利用三角函数的性质即可求出取值范围. 【详解】（1） ， 即， 或者，即 即方程在上的所有解为或 （2）在锐角中，，， ， 能盖住的最小圆为的外接圆， 所以的外接圆的半径， 由正弦定理可得， ， 因为是锐角三角形，所以， ，， 故的取值范围为 压轴题型三 三角形面积最值（范围） 例题1：（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果； （2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 例题2：（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，， (1)若以，，为边长的三个正三角形的面积分别为，，并满足，，求. (2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，； (3)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)，； (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式求出，再由面积公式及余弦定理求出，最后由正弦定理求出，即可求出； （2）利用正弦定理及角平分线的性质得到，设，，再在中利用余弦定理求出，即可得解； （3）首先得到，利用正弦定理得到，再根据的范围及正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 即，即，又，则， 所以，则，所以，则； 因为， 所以，所以，解得， 由正弦定理，所以，则， 所以. （2）在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 因为是角的平分线，故， 又，故， 所以， 设，， 在中由余弦定理，有， 解得，所以（负值舍去）， 所以，. （3）因为， 由正弦定理，得， 在锐角中，，，， 即，可得， 则有，，，， 即，得， 所以面积的取值范围为. 例题3：（23-24高一下·吉林·期中）如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. (1)若，求的面积； (2)证明：； (3)若，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、证明三角形中的恒等式或不等式、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解， （3）利用余弦定理得，正弦定理得，结合（2）的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记， 在中，由余弦定理，， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形， 所以，且， 所以， 则的面积为； （2）在中，由正弦定理可得， 即且， 由于， 故， 由于三角形中，，因此，得证， （3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设， 在中，由余弦定理，， ， 在中，由正弦定理，，即，所以， 结合 ， 又因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围为． 巩固训练 1．（23-24高一下·天津·期中）的内角的对边分别为已知. (1)若的周长等于3，求； (2)若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）利用余弦定理求出的关系，再结合三角形的周长即可得解； （2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角的范围，再利用正弦定理求出边，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）由余弦定理及已知条件得，， 又因为的周长等于3， 所以，得。 联立方程组， 解得； （2）①根据题意， 得， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以； ②因为是锐角三角形， 由①知得到， 故，解得， 由正弦定理，得， 又，所以， 所以 ， 又因， 故， 所以， 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 2．（23-24高一下·湖南）年湖南省油菜花节，益阳市南县罗文村（湖南省首个涂鸦艺术村）通过层层遴选，最终在全省个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图（如图）． 已知：四点共圆，，，，，其中（不计宽度）是观赏路线，与是油菜花区域． (1)求观赏路线的长度； (2)因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得，由此可得结果； （2）在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（1）四点共圆，，， ，； 在中，由正弦定理得：， ，，，； 在中，由余弦定理知：， 即，解得：或（舍）， . （2）在中，，； 在中，由余弦定理得：， （当且仅当时取等号）， ， 即区域面积的最大值为. 3．（23-24高一下·浙江）在中，角，，所对的边为，，，已知，是边上的点，满足，. (1)求角大小； (2)求三角形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、用基底表示向量、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由三角形的内角和性质及余弦两角和与差的公式化简可得角的大小； （2）利用向量的基本定理，以，为基底，表示出，两边平方，化简后利用均值不等式可求出最大值，结合三角形面积公式求解. 【详解】（1）由三角形内角和性质可知，， ， ，又 ； （2）因为,所以 所以，又， ， 即， ， 解得，当时等号成立， . 压轴题型四 三角形中中线问题 例题1：（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD是中BC边上的中线，则. (1)若在中，，，，求此三角形BC边上的中线长； (2)请证明题干中的定理； (3)如图中，若，D为BC中点，，，，求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）余弦定理求出，再用所给式子求出中线即可； （2）左右两个三角形和分别使用余弦定理，得到两个方程，结合，相加即可证明； （3），利用三角恒等变换，求得，结合，求出．在，用面积公式求出，进而求出，再用余弦定理即可解. 【详解】（1） 如图所示， 由余弦定理得，， 代值计算得到，求得； 由于，代值计算得，求得 （2）在中，； 在中，； 两式相加，且，得到，则原式得证． （3）由于 则由正弦定理，得， 即， 去分母整理得到，即． 且，则，则． 由于，且，即 联立解出 由于，则， 解得，则（负数不满足）. 由余弦定理得到，代值计算，， 则， 则． 例题2：（2025·辽宁沈阳·一模）的内角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，为的中线．若，，． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】（1）先根据条件求角，结合平面向量的数量积求的长. （2）设，利用列式可求的长. 【详解】（1）由 所以，又，所以. 因为为中点，所以， 所以. 所以，即. （2）因为平分，所以. 设， 由. 所以. 故. 例题3：（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用平面向量坐标运算的性质得到，再利用三角函数的性质求解最小正周期和单调减区间即可. （2）法一利用向量中线定理得到，再结合基本不等式求解最值，法二利用多次余弦定理得到，再结合基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）依题意得 ， ，因此函数的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间是. （2）由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 法一：由向量中线定理得， 所以， 所以，化简得， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 所以，解得， 故， 当且仅当时取等，故面积的最大值为. 法二：在中，由余弦定理得， 即， 在中，由余弦定理得， 即， 因为， 所以， 两式子相加得， 在中，由余弦定理得， 化简得到， 代入中，整理得， 由重要不等式得，当且仅当时取等， 所以，解得， 故， 当且仅当时取等，故面积的最大值为. 巩固训练 1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）在中，已知角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若边上的中线为，求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，即可得结果； （2）先利用余弦定理可得，再根据向量分析可得，进而可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得：， 又因为， 即， 可得 在中，，则，可得， 且，所以. （2）在中，由余弦定理可得，即， 因为边上的中线为，则， 可得， 即，可得， 所以. 2．（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）的内角所对的边分别为，且 (1)若，求在上的投影向量；（用向量表示） (2)若，，为的平分线，为中线，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求投影向量、向量加法法则的几何应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由化简解得，再结合用正弦定理可得，进而求在上的投影向量即可； （2）先用三角形面积公式求，再利用求得，又为中线，所以由求得，从而计算的值. 【详解】（1） ，解得，又，故. 因为在中，，而，即， 所以投影向量为. （2）， 由可得 ， ， 所以. 3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)24 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】 （1）根据余弦定理与正弦定理化简可得，再根据直角三角形中勾股定理求解即可； （2）设，由余弦定理与同角三角和的关系可得，再根据二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）由有，故， 由正弦定理可得，故， 即，又，故. 若，则，故，则为直角三角形. 设，则，则，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 设，则，由余弦定理可得， 即，由可得， 故. 故，当时取得最大值， 为. 压轴题型五三角形中角平分线问题 例题1：（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，外接圆半径为2，的角平分线与交于点.求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由，利用正弦定理转化整理为，再利用余弦定理求解； （2）根据，利用两角和的余弦得到，进而得到，结合外接圆半径为2可求出三角形的边长，在中利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 即,即, 因为，所以. （2）. 所以，从而， 所以， 因为外接圆半径为，所以外接圆直径为， 由正弦定理得， 所以 因为的角平分线为，所以，所以 在中，由正弦定理得，即，解得 例题2：（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的角平分线交AB于点D，，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、对勾函数求最值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角可得，再由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可得出答案. （2）令，利用正弦定理求出，再化简的表达式，最后再利用对勾函数单调性即可得到范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 所以， 因为，所以， ，即，所以，即. （2）锐角中，令，则，则， 在中，，， 在中，，则， 所以 令， 因为，则， 则，根据对勾函数的单调性知 在上单调递减，在单调递增， 且，， 则的值域为. 即的取值范围为. 例题3：（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知函数，若函数在上恰好有两个零点. (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围； (3)在中，设内角所对的边分别为，其中，的角平分线交于，求线段的长度. 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，结合三角函数的性质即可求得函数的单调递增区间； （2）令，则，由题意得在上有两个不同的实根，结合三角函数的性质即可求得实数的取值范围； （3）由得，结合余弦定理及三角形的面积即可求得线段的长度. 【详解】（1） 由得， 由函数在上恰好有两个零点得 . ∴， 由， 得，， 所以函数的单调递增区间为. （2），令，则， 由题意得在上有两个不同的实根， . （3）由得， ， 因为，则由 解得：（负值舍）， 由 得， . 巩固训练 1．（23-24高一下·山东日照·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C的大小； (2)若，∠ACB的角平分线交AB于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，再根据角平分线性质，借助等面积法求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2），， 又因为，则，， 且，则，即， 与联立，解得（负值舍去），则. 2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值. 【详解】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为. 3．（23-24高三上·山东青岛·期中）已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若. (1)求角； (2)若点在边上，，，请在下列三个条件中任选一个，求边长. ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据正弦定理边化角公式得到，即可得到答案. （2）若选①，根据，平方得到，再利用余弦定理求解即可；若选②，根据得到，再利用余弦定理求解即可；若选③，根据得到，再利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）， 因为中，， 所以， 所以， 所以. 因为中，，所以， 因为，所以. （2）若选①，如图所示：    设，因为， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）. 所以. 若选②，如图所示：    设，因为， 所以，解得. 所以. 若选③，如图所示：    设，，解得. 所以，即，解得或（舍）. 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$