第10章 三角恒等变换（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（广东省部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题）已知，则（   ） A．1 B．0 C． D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山西晋城·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 11．（2025·江西·一模）已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．的最大值为 C．是非奇非偶函数 D．关于的方程有无数个实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·安徽合肥·模拟预测）若，则的最小正周期为 ． 13．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知角，满足，，则 . 14．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则 ； 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题）已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 16．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值. 17．（24-25高一上·重庆·期末） 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为． (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 18．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 19．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” (1)判断，，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，，是，的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； (3)若，，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（广东省部分学校2025届高三上学期期末联考数学试题）已知，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】直接根据二倍角余弦公式计算可得. 【详解】因为， 所以由二倍角余弦公式可得， 故选：D． 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为角的终边经过点， 所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·内蒙古包头·阶段练习）设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、比较函数值的大小关系 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】 因为当时，为增函数， 所以，故 故选：C. 4．（2024·陕西西安·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和与差的余弦公式将题目条件打开，联立方程组求解即可. 【详解】因为 则为 . 联立求解得 ， 所以 . 故选:B. 5．（24-25高一上·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先求出的值，再结合弦化切求值. 【详解】根据题意，， 则. 故选：A 6．（24-25高一上·山西晋城·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、二倍角的正切公式 【分析】根据充分、必要性定义，及二倍角正切公式即可得答案. 【详解】由，则， 但当时，，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据同角三角函数的平方式，求得已知角的正弦值和余弦值，结合余弦的差角公式，可得答案. 【详解】由，，可得，则， ，则或， 由于，所以，， ， 故选：B 8．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）若角，满足，，且，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据已知可得，，，，则，应用余弦倍角公式可得、，再应用正弦和角公式求，即可确定角的大小. 【详解】由，，则，， 由，，则，， 所以，，， ， 而，故. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式、差角的正切公式，结合特殊角的三角函数值逐项判断即得. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是. 故选：BC 10．（24-25高一上·内蒙古通辽·期末）下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】根据两角和与差的正弦、余弦、正切公式，可判断A，B，D选项；由二倍角的余弦公式，可判断C选项. 【详解】A选项，因为 所以，故A正确； B选项，，故B错； C选项，，故C错； D选项，，故D正确； 故选：AD 11．（2025·江西·一模）已知函数，则（    ） A．是的一个周期 B．的最大值为 C．是非奇非偶函数 D．关于的方程有无数个实数解 【答案】ACD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A，计算可得，可判断A；利用辅助角公式可得，计算可知可得与不能同时取得最大值，可判断B；计算可得，可判断C；令，可得有无数个零点，可判断D. 【详解】 ，所以是的一个周期，故A正确； ， 由，可得， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，可得， 当时，，此时， 根据周期性可得与不能同时取得最大值， 所以的最大值小于，故B错误； ， 所以，所以是非奇非偶函数，故C正确； 由，可得， 所以，令， 由 ， 所以是以为周期的周期函数， 又，，所以有无数个零点， 从而可知关于的方程有无数个实数解，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·安徽合肥·模拟预测）若，则的最小正周期为 ． 【答案】/ 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简，由三角函数的周期性及其求法即可求解. 【详解】，其中， ， 故答案为：. 13．（24-25高三上·陕西渭南·期中）已知角，满足，，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由两角和的正切公式求解即可. 【详解】解：因为，， 所以. 故答案为： 14．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）若，，且，，则 ； 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以，又，所以. 所以， 同时也能确定. 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题）已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、二倍角的正弦公式、已知正（余）弦求余（正）弦、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用正弦二倍角公式以及齐次式的方法即可求解； （2）先由，可求得，再由两角差的正切公式，即可求得结果. 【详解】（1）由正弦二倍角公式，得， 又，所以； （2）因为为锐角，且，可得， 由，可得， 所以， 所以. 16．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为 (2)， 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】（1）由二倍角公式及两角差的正弦公式化简，由周期公式可得周期，由整体法求解可得函数的单调递减区间； （2）由的范围和三角函数的性质逐步求解可得值域. 【详解】（1）由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）由(1)知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. 17．（24-25高一上·重庆·期末） 如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标记为． (1)求的表达式，并求的值； (2)若为任意角，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由条件等式求正、余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、利用定义求某角的三角函数值、求15°等特殊角的余弦 【分析】（1）分析可知射线为角的终边，利用三角函数的定义可得出的表达式，再利用余弦函数的周期和两角和的余弦公式可求得的值； （2）解法一：由已知结合三角恒等变换可得出关于、的方程组，解出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解； 解法二：由已知可得出的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式可计算出的值，再利用两角差的正弦公式化简即可得解. 【详解】（1）设射线为锐角的终边，则，则， 射线绕点逆时针方向旋转后交单位圆于点，则射线为角的终边， 由三角函数的定义可得， . （2）法一：因为， 联立，解得或， 又因为或； 法二：因为，则， 所以，， 当时，则 ， 此时，； 当时，则 ， 所以，. 综上所述，或. 18．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx（型）的二次式的最值、利用正弦型函数的单调性求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）代入化简得，再设，转化为二次函数求解值域即可； （2），同（1）采用换元法得，根据复合函数单调性即可得到不等式，解出即可； （3）转化为，再对进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以，， 则，即的值域为. （2）， 令，则， 则， 当时，，则，且t关于x单调递增， 因为在是单调递增的，所以在单调递增， 则有，解得. （3）对于任意的，，均有， 则有， 即，，有， ①当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ②当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ③当，即时，则有， 即，解得， ④当，即时，则有， 即，解得， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用含参二次函数最值模型，对对称轴的范围进行分类讨论即可. 19．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” (1)判断，，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由； (2)若，，是，的“3重覆盖函数”，求m的取值范围； (3)若，，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3) 【知识点】函数新定义、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】(1)利用给定定义判断即可. (2)利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可 (3)利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可 【详解】（1）， ，， 故的值域为，当时，， 此时，只有三个实数满足要求， 故不是的“4重覆盖函数”. （2），， 令，则的大致图象如下： 是的“3重覆盖函数”， ， 在成立， . （3）， ，令， 为的“9重覆盖函数”， 即有9个实数根， 即有9个实数根， 因为与的大致图象如下， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，要满足题意，所以，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为零点问题，再转化为交点问题建立不等式组，得到所要求的参数范围即可． / 学科网（北京）股份有限公司 $$