第七章 复数（4易错+1压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数 （4易错+1压轴） 01 目录 易错题型一 混淆虚部定义致错 1 易错题型二 忽视两个复数比较大小的条件 2 易错题型三 误把复数当实数代入计算 2 易错题型四 复数的几何意义应用错误 3 压轴题型一 根据复数几何意义求参数或模的范围 3 02 易错题型 易错题型一 混淆虚部定义致错 求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式()，则该复数的实部为，虚部为.（注意区分虚部为,而不要错误的认为是） 例题1：（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若复数，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D．1 例题2：（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 巩固训练 1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C．i D．2 2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知复数（为虚数单位），复数是复数的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 易错题型二 忽视两个复数比较大小的条件　 两个复数如果不全是实数,不能比较大小 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）若复数，则实数的值为 . 例题2：（24-25高一上·上海·课后作业）满足的实数、的取值分别是什么？ 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课前预习）.( ) 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，若，则的取值范围是 ． 易错题型三 误把复数当实数代入计算 题目中出现单独一个，容易忽视,此时应首先设出复数的代数形式:,再代入运算求解 例题1：（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知非零复数满足，则（   ） A． B． C． D． 例题2：（2025高三·全国·专题练习）已知非零复数满足，则 . 巩固训练 1．（24-25高三上·河北张家口·期末）若复数满足且，则（    ） A．5 B． C． D．10 2．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知复数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 易错题型四 复数的几何意义应用错误 复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.注意两个复数中间连接号要化为“”号 例题1：（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 . 例题2：（24-25高一下·全国·课堂例题）已知复数满足，求的最小值． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 03 压轴题型 压轴题型一 根据复数几何意义求参数或模的范围　 例题1：（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 例题2：（23-24高一下·广东佛山·期中）复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 例题3：（24-25高一上·上海·课堂例题）复数z满足，求的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）设复数满足，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 3．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数 （4易错+1压轴） 01 目录 易错题型一 混淆虚部定义致错 1 易错题型二 忽视两个复数比较大小的条件 2 易错题型三 误把复数当实数代入计算 4 易错题型四 复数的几何意义应用错误 5 压轴题型一 根据复数几何意义求参数或模的范围 7 02 易错题型 易错题型一 混淆虚部定义致错 求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式()，则该复数的实部为，虚部为.（注意区分虚部为,而不要错误的认为是） 例题1：（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若复数，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】由等式得，然后利用复数的乘除运算计算出复数，即可得到复数的虚部. 【详解】∵， ∴， ∴复数的虚部是. 故选：C 例题2：（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解. 【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 巩固训练 1．（24-25高二上·广东广州·期中）已知，则复数的虚部为（   ） A．1 B． C．i D．2 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】由除法运算及虚部概念即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以复数的虚部为1， 故选：A 2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知复数（为虚数单位），复数是复数的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数除法计算，结合共轭复数及复数的概念求得答案. 【详解】依题意，，则， 所以的虚部为. 故选：A 易错题型二 忽视两个复数比较大小的条件　 两个复数如果不全是实数,不能比较大小 例题1：（24-25高一上·上海·课后作业）若复数，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】复数能比较大小，它一定是实数，由此计算即可． 【详解】因为复数， 所以复数为实数， 即，解得. 当时，，成立， 当时，，不成立. 综上所述，. 故答案为：. 例题2：（24-25高一上·上海·课后作业）满足的实数、的取值分别是什么？ 【答案】， 【知识点】比较对数式的大小、已知复数的类型求参数 【分析】由复数的概念及对数函数单调性比较大小，即可得参数值. 【详解】由， 可知复数与复数均为实数， 所以，解得， 当时，两复数为和，满足； 当时，两复数为和，不满足； 综上所述，. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课前预习）.( ) 【答案】错误 【知识点】复数的基本概念 【分析】由复数不能比较大小即可判断. 【详解】因为复数不能比较大小，所以是错误的. 故答案为：错误. 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由复数模求参数 【分析】复数本身没有大小，但其模长有大小，根据题意可得为实数，又模长的计算公式解不等式即可得答案. 【详解】因为，所以为实数，故， 又，即，所以， 则的取值范围是. 故答案为：. 易错题型三 误把复数当实数代入计算 题目中出现单独一个，容易忽视,此时应首先设出复数的代数形式:,再代入运算求解 例题1：（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知非零复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】推导出，代入题干等式，即可得出的值. 【详解】设，则， 因为，则，则，故. 故选：A. 例题2：（2025高三·全国·专题练习）已知非零复数满足，则 . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、求复数的模 【分析】推导出，代入题干等式，即可得出的值. 【详解】设，则， 因为，则，则，故. 故答案为：. 巩固训练 1．（24-25高三上·河北张家口·期末）若复数满足且，则（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】设，则可得，结合复数运算可得，再计算出后结合模长定义计算即可得. 【详解】设，则，即， 则，则， 则. 故选：B. 2．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知复数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复数的除法运算、由复数模求参数 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合复数的运算，即可判断. 【详解】设，，，即， ， 反过来，若，举例，时，，但. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 易错题型四 复数的几何意义应用错误 复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离.注意两个复数中间连接号要化为“”号 例题1：（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数模的几何意义求解. 【详解】设复数，则， 即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆， ，其表示点到点的距离， 其最大值为到圆心的距离加上半径，即， 故答案为：. 例题2：（24-25高一下·全国·课堂例题）已知复数满足，求的最小值． 【答案】最小值为4． 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】方法一，设复数的代数形式，利用模的代数运算公式，利用的取值范围，求模的最小值； 方法二，利用复数模的几何意义，转化为圆外的点与圆上点的距离问题. 【详解】方法一  设，则， 即．． ． 由，得． ，． ． 当时，取得最小值，最小值为4． 方法二  由复数及其模的几何意义知， 满足，即的复数所对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 而的几何意义是：复数对应的点与点的距离． 由圆的知识可知的最小值为． 又，所以的最小值为． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）若复数满足为虚数单位，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，求出坐标原点到圆心的距离，即可求出的最大值. 【详解】设，因为，即， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，而表示点到原点的距离， 又，所以的最大值为. 故答案为： 03 压轴题型 压轴题型一 根据复数几何意义求参数或模的范围　 例题1：（2024·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据模长得到方程，求出，并求出，从而得到. 【详解】设，则， 即，由于，故，解得， 则， 故选：D 例题2：（23-24高一下·广东佛山·期中）复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：B 例题3：（24-25高一上·上海·课堂例题）复数z满足，求的取值范围. 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数的几何意义得出表示以为圆心，为半径的圆，再由圆的对称性确定的取值范围. 【详解】解：表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离， 如图，从图中可直观地得到的最小值为， 的最大值为， ∴的取值范围是 巩固训练 1．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）设复数满足，则的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设复数，根据题意得到，得到复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆，进而求得的最大值. 【详解】设复数，可得，所以， 所以复数对应的点的轨迹为为圆心半径为的圆， 所以的最大值是． 故选：B.    2．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数的几何意义，数形结合得出的最小值并求出即可. 【详解】 如图： ， 则的几何意义是复平面内的动点到定点的距离等于， 对应的轨迹为以为圆心，半径为的圆． 的几何意义为动点到定点的距离， 由图形可知：当点位于时，取的最小值， 由， 所以的最小值为：， 故答案为：4 3．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为 ． 【答案】6 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由复数的几何意义求解即可. 【详解】设(为实数)， 则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点， 则表示的几何意义是圆上的点到的距离， 根据圆的性质可知，所求最大值为. 故答案为：6. / 学科网（北京）股份有限公司 $$