精品解析：山东省部分学校2024-2025学年高二上学期阶段性诊断性测试数学试题

高二阶段性诊断测试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角确定斜率，即可求解. 【详解】由倾斜角为，可得， 所以，解得. 故选：C 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线中，，， 因此，该双曲线渐近线方程为. 故选：C. 3. 与向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设单位向量为，结合模长公式求得即可. 【详解】设所求的单位向量为，解得，则， 故所求的单位向量为. 故选：A 4. 已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示圆得，根据原点不在圆内得，解得的取值范围，再逐项判断即可. 【详解】依题意，方程表示圆，则，解得. 因为坐标原点不在圆的内部，所以. 综上所述，，结合选项可知A符合题意. 故选：A 5. 若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由时，最小，即可求解. 【详解】可化为，可得圆心，半径． 当时，最小，此时点到的距离， 所以的最小值为. 故选：C 6. 已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与长轴垂直的直线交于A，B两点.若为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得两点坐标，结合已知可得，求解即可. 【详解】由椭圆方程可得，将代入方程可求得，所以. 因为为直角三角形，所以，则，即， 解得． 故选：D. 7. 已知，若四点共面，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据四点共面，结合空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题可知. 因为四点共面，所以， 即， 则解得. 故选：A 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴上的椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是两条平行于轴的直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，将代入结合椭圆的标准方程判断，对于C，由双曲线的标准方程分析判断，对于D，将代入化简变形判断. 【详解】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误； 对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确； 对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确； 对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴直线，故D正确． 故选：BCD 10. 如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出求出法向量和直线方向向量，根据向量关系即可判断AB；由投影向量公式可判断C；求出两个平面法向量，根据向量夹角公式可判断D. 【详解】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，. 因为，所以平面，A正确. ，所以EO不与平面平行，B错误. 在上的投影向量为，C错误． 易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则，D正确. 故选：AD 11. 已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆的公共弦方程为 B. 满足的点有2个 C. 若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，两圆的方程作差可得公共弦方程；对于B，可判断点的轨迹是圆，进而判断两圆的位置关系即可；对于C，根据圆的几何性质可知，圆的直径的最小值为圆心到直线AB的距离与圆的半径的差；对于D，设存在定点，使得，解得点的坐标，将转化为，进而可求最小值. 【详解】对于A，和两式作差， 可得，故A正确. 对于B，由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆， 圆心的坐标为，两圆的圆心距为， 半径和与半径差分别为， 由3，得两圆相交，则满足条件的点有2个，故B正确. 对于C，直线AB的方程为，即， 圆心到直线AB的距离为， 所以圆的半径的最小值为，故C错误. 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有． 设，则有， 化简得．因为，所以， 解得，则，所以，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上 12. 若点和点关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求. 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 13. 已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为______，此时点的坐标为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，焦点． 过点作准线的垂线，垂足为.由题可知. 依题意可知当P，Q，E三点共线且点在中间时，距离之和最小，最小值为3. 如图所示，点的纵坐标为-1，代入抛物线的方程，求得， 所以点的坐标为. 故答案为：3， 14. 已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算求出的相关量，并求出其面积，再利用空间求出球心到平面的距离即可求解. 【详解】依题意，，则， 则，的面积为，，则球的半径, 设平面ABC的法向量为，则，令，得， 则点到平面ABC的距离，球面上的点到平面距离最大值为， 所以三棱锥的体积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是的三个顶点． （1）若直线经过的中点，且与直线平行，求的一般式方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率与的中点坐标，利用点斜式可求的方程； （2）求得与直线的方程，利用点到直线的距离公式求得边上的高，可求的面积. 【小问1详解】 由题意，， 的中点坐标为， 所以的方程为，即的一般式方程为； 【小问2详解】 由题意，， 直线AB的方程为，即， 因为点到直线AB的距离为， 所以的面积为. 16. 在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点. （1）用表示，并求的值； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及数量积与模长关系计算即可； （2）利用空间向量数量积的运算律结合（1）计算即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 且， 则 ； 【小问2详解】 易知， 所以 . 17. 已知圆经过点和，其圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入点的坐标，解方程即可求得圆的标准方程. （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 所以， 解得， 故圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知圆心为． ①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 由题意，圆心到直线的距离等于半径2，即，解得， 此时直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 18. 如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动. （1）证明：. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为正交基底建立空间直角坐标系，由数量积可证； （2）求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算可得； （3）设，求出平面法向量，根据线面角的向量夹角公式，将用表示，利用换元和二次函数性质求解可得. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面， 所以，又为正方形，所以两两垂直， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以， 则， 所以 【小问2详解】 解：由（1）可得， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为 【小问3详解】 解：设.因为，所以， 则 由（1）可得. 设平面的法向量为， 则取 设直线与平面所成的角为，则 .令，则， 所以 当，即时，取得最大值，最大值为1； 当，即时，取得最小值，最小值为. 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 19. 若将任意平面向量绕起点逆时针方向旋转角，得到向量，则称点绕点逆时针方向旋转角得到点.在平面直角坐标系中，已知曲线是椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆. （1）求椭圆的方程. （2）已知，是椭圆长轴上的两个顶点，，为椭圆上异于，的两点，且关于轴对称，若直线与直线交于点，证明：点在某定曲线上，并求出该曲线的方程. （3）已知，不过点的动直线与椭圆交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标. 【答案】（1） （2）点在定曲线：，详见解析 （3）满足条件的直线，过定点，详见解析. 【解析】 【分析】（1）本小题可以考虑利用题目已知条件将原椭圆上的点的坐标转换成题目中椭圆，求出原椭圆方程，也可以利用已知条件原椭圆逆时针旋转了，则旋转后椭圆的对称轴为和，求出椭圆的长轴长和短轴长，并进一步得到椭圆的方程. （2）可以利用和点坐标作为参数写出直线方程，用参数表示点的坐标，利用点和点在椭圆上消去参数； （3）设出直线的方程，与椭圆联立，利用题目给出的关系求出直线过的定点. 【详解】（1）解：（方法一）设椭圆上任意一点，则即斜椭圆上一点， 则， 化简得，故椭圆的方程为． （方法二）由得或 由得或 所以椭圆的长轴长为，得， 椭圆的短轴长为，得， 故椭圆的方程为 （2）证明：根据椭圆的对称性，不妨令．设，则. ，由P，M，T三点共线，得； ，由Q，N，T三点共线，得 两式相乘可得 因为，所以，所以， 故点在某定曲线上，该定曲线的方程为 （3）解：当直线的斜率为0时，设直线的方程为， 则，且，即， 所以，不符合题意． 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为. 由消去得， 则. 直线HA与HB的斜率分别为， 于是 ， 整理得，解得或 当时，直线过点，不符合题意，因此. 综上，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二阶段性诊断测试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，则（ ） A B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 与向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，过点且与长轴垂直的直线交于A，B两点.若为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若四点共面，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列结论正确有（ ） A. 若，则是椭圆 B. 若，则是焦点在轴上的椭圆 C. 若，则是双曲线 D. 若，则是两条平行于轴直线 10. 如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 在上的投影向量为 D. 二面角的余弦值为 11. 已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆的公共弦方程为 B. 满足点有2个 C. 若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上 12. 若点和点关于直线对称，则______． 13. 已知是抛物线的焦点，是上一点，则的最小值为______，此时点的坐标为______． 14. 已知，，是球上三点，球心的坐标为，是球上一动点，则三棱锥的体积的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是的三个顶点． （1）若直线经过的中点，且与直线平行，求的一般式方程； （2）求的面积． 16. 在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点. （1）用表示，并求的值； （2）求的值. 17. 已知圆经过点和，其圆心直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且与圆相切，求的方程. 18. 如图，在四棱台中，平面，底面为正方形，，点在线段上运动. （1）证明：. （2）求异面直线与所成角的余弦值. （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 若将任意平面向量绕起点逆时针方向旋转角，得到向量，则称点绕点逆时针方向旋转角得到点.在平面直角坐标系中，已知曲线是椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆. （1）求椭圆的方程. （2）已知，是椭圆长轴上的两个顶点，，为椭圆上异于，的两点，且关于轴对称，若直线与直线交于点，证明：点在某定曲线上，并求出该曲线的方程. （3）已知，不过点的动直线与椭圆交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$