2-2函数的单调性与最值分层作业-2025届高三数学一轮专题复习

2-2 函数的单调性与最值 分层作业 一、单项选择题 1．函数f(x)＝|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(0,2) D．(0，＋∞) 【答案】A【解】∵f(x)＝|x－2|＝∴函数f(x)＝|x－2|的单调递减区间为(－∞，2)． 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 【答案】A【解】y＝－x和y＝在上均递减，所以f(x)＝－x＋在上递减，f(x)max＝f(－2)＝. 3.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】对于A，因为在上递增，在上递减，故在上递减，故A错误； 对于B，因为在上递增，在上递减，故在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上递减，在上递减，故在上递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误；故选：C. 4．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 【答案】D【解】设f(x)＝x，则y＝＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A错误； 则y＝|f(x)|＝|x|在R上无单调性，B错误； 则y＝－＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C错误； y＝－f(x)＝－x在R上为减函数，所以选项D正确． 5.函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由题意知函数是定义在上的增函数， 则由，得，解得，即，故选：D 6.若函数，在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解】对称轴为且开口向上，且在上是减函数， 所以，所以，故选：D. 7.函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解】由得或，即函数的定义域为， 又二次函数的图象的对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又函数为增函数，所以的单调递减区间为．故选：D 8.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解】由，解得或，的定义域为 . 内层函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增， 外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为 .故选：D. 二、多项选择题 9．(2023·深圳模拟)下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0”的是(　　) A．f(x)＝21－x B．f(x)＝－ C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－ 【答案】BCD【解】f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)＝21－x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误； 函数f(x)＝－在(0，＋∞)上递增，故B正确；函数f(x)＝x2＋4x＋3在(0，＋∞)上递增，故C正确； 函数f(x)＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BCD. 10．(2023·湛江检测)已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增 B．函数y＝f(x)在[－1,0]上单调递减 C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值 D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值 【答案】ABD【解】f(x)＝－x2＋2|x|＋1＝作出函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1,0]上单调递减，故A，B正确； 由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确． 11.(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－，－1) B. C．[0，) D．(，＋∞) 【答案】ABC【解】由题意得y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，故y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(2ax)<f(2x2＋1)，故f(|2ax|)<f(2x2＋1)，所以|2ax|<2x2＋1， 当x＝0时，|0|<1恒成立，满足要求， 当x≠0时，|2a|<＝2|x|＋在x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立， 其中2|x|＋≥2＝2，当且仅当2|x|，即|x|＝时，等号成立，故|2a|<2，解得－<a<， 综上，a的取值范围为－<a<， A选项，由于(－，－1)⊆(－，)，A正确； B选项，⊆(－，)，B正确； C选项，[0，)⊆(－，)，C正确； D选项，(，＋∞)显然不是(－，)的子集，D错误． 三、填空题 12．(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为________． 【答案】【解】函数y＝2x与y＝－2－x均在R上是增函数，故f(x)在R上是增函数， f(3x－1)<f(1－x)等价于3x－1<1－x，得x<. 13．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________________． 【答案】f(x)＝(x－1)2(答案不唯一，如f(x)＝满足题意即可)【解】令f(x)＝(x－1)2， 满足f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，但函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增， 所以函数f(x)＝(x－1)2可以说明命题p为假命题． 14．f(x)＝若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________；若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． 【答案】(－∞，0]；(2,4]【解】若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0， 则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]； 当a>0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4，解得a＝4或a＝－4(舍去)， 又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4； 当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意， 所以实数t的取值范围为(2,4]． 四、解答题 15．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的单调递减区间． 【解】(1)f(x)＝x|x－4|＝函数f(x)的大致图象如图所示． (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)． 16．（1）求证：y=-x²+1在区间[0，+∞)上为减函数. （2）画出函数y=-x²+2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间. 【解】（1）证明：设任意0x<x2，则y−y=x−x=(x−x)(x+x)>0，；∴y>y， ∴函数y=−x²+1在区间[0，+∞)上是减函数. （2）作出函数图象如图所示： 增区间为：(−∞，−1)，(0，1)，减区间为：(−1，0)，(1，+∞). 一、单项选择题 1.设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[2,6] D．[2，＋∞) 【答案】B【解】画出函数f(x)的图象(图略)，结合图象可知f(x)在R上是增函数， 由f(a＋1)≥f(2a－1)，得a＋1≥2a－1，解得a≤2. 2.f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么实数a的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(1，＋∞) D. 【答案】D【解】由题意得在R上递增，所以：解得：，故选D 3．函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解】当时，，在R上递减，故在上递减，故成立． 当时，二次函数的对称轴为， ∴要使在区间上是减函数，则必有且对称轴，即， 解得，综上，，即a的取值范围是．故选：C． 4.(2023·杭州模拟)设a∈R，则“a≥1”是“函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解】由题意可得，f(x)＝＝a＋在(1，＋∞)上单调递减，则a－1>0，解得a>1. 因为a≥1不能推出a>1，a>1⇒a≥1，所以是必要不充分条件． 5.已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0　　B．f(x1)<0，f(x2)>0　　C．f(x1)>0，f(x2)<0　　D．f(x1)>0，f(x2)>0 【答案】B【解】因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0， 所以当x1∈(1，2)时，f(x1)<f(2)＝0，当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0．故选B． 6.函数的单调递增区间是（ ） A． B． 和 C．和 D． 和 【答案】B【解】；如图：单调递增区间是和．故选：B. 7.设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　　B．(－∞，2]　　　　　C．[2，6]　　　　　D．[2，＋∞) 【答案】B【解】易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，∴a＋1≥2a－1， 解得a≤2．故实数a的取值范围是(－∞，2]． 8.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 【答案】A【解】不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，由>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1<f(x2)＋x2， 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 二、多项选择题 9．奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．函数在上递减 C． D．函数在上递增 【答案】ABD【解】根据图像可知：时，，在递减，在上递增， 所以根据奇函数性质，当时，，A正确； 当时，在递减，在上递增，故BD正确. 由于在上递增，所以，故C错误；故选：ABD 10．已知函数，则（    ） A． B． C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点 【答案】ACD【解】令，得，则，得， 故，，，A正确，B错误. ，所以在上单调递增， ，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确；故选：ACD 11.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD【解】是在R上的偶函数，是在R上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以，，，所以BD正确，C错误； 若，则，A错误；故选：BD 三、填空题 12．（2023四川泸州一模）若对一切实数，都满足且，则 ． 【答案】【解】由题知，， 令，，则，所以；故答案为： 13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】【详解】令，则. 因为在上单调递减，在上单调递增，在R上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为在上单调递减，所以有，解得；故答案为： 14．（2023高三北京海淀）已知函数 ①若最大值为，则a的一个取值为 ．②记最大值为，则的值域为 ． 【答案】，【解】由解析式可知是定义域为R的奇函数，且当时，，当且仅当时等号成立； ，两函数如下图所示： 由图可知，当时，的最大值为， 当时，的最大值为在区间的最大值，即为， 当时，的最大值为； ①若满足，当时，，不符题意； 当时，，解得或（舍去） 当时，，不符题意； ②综上所述，根据函数图象可知函数的最大值为；故答案为：①；②。 四、解答题 15．已知函数. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性；（2）若，求函数的最大值和最小值. 【解】（1）的图象如下图所示： 的定义域为，当时，任取，， 其中，所以，所以在区间上递减. 同理可证得在区间上递减. （2）由（1）得在区间上递减，所以时，取得最大值为， 当时，取得最小值为. 16．(2023·重庆联考)已知f(x)＝(x∈R)． (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0. 【解】(1)f(x)＝＝1－在R上是增函数． 证明：在R上任取x1，x2且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝， 由x1<x2可知所以所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． 即f(x)在R上是增函数． (2)易知f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，由(1)知，函数f(x)在R上是增函数， 由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0， 解得－3<t<1，即关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0的解集为{t|－3<t<1}． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2-2 函数的单调性与最值 分层作业 一、单项选择题 1．函数f(x)＝|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(0,2) D．(0，＋∞) 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A. B．－ C．－2 D．2 3.（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 5.函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.若函数，在上是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 8.函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．(2023·深圳模拟)下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0”的是(　　) A．f(x)＝21－x B．f(x)＝－ C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－ 10．(2023·湛江检测)已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增 B．函数y＝f(x)在[－1,0]上单调递减 C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值 D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值 11.(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－，－1) B. C．[0，) D．(，＋∞) 三、填空题 12．(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为________． 13．已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________________． 14．f(x)＝若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________；若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． 四、解答题 15．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的单调递减区间． 16．（1）求证：y=-x²+1在区间[0，+∞)上为减函数. （2）画出函数y=-x²+2|x|+3的图像，并指出函数的单调区间. 一、单项选择题 1.设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[2,6] D．[2，＋∞) 2.f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么实数a的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(1，＋∞) D. 3．函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.(2023·杭州模拟)设a∈R，则“a≥1”是“函数f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0　　B．f(x1)<0，f(x2)>0　　C．f(x1)>0，f(x2)<0　　D．f(x1)>0，f(x2)>0 6.函数的单调递增区间是（ ） A． B． 和 C．和 D． 和 7.设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　　B．(－∞，2]　　　　　C．[2，6]　　　　　D．[2，＋∞) 8.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 二、多项选择题 9．奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） A．当时， B．函数在上递减 C． D．函数在上递增 10．已知函数，则（    ） A． B． C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点 11.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2023四川泸州一模）若对一切实数，都满足且，则 ． 13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 14．（2023高三北京海淀）已知函数 ①若最大值为，则a的一个取值为 ．②记最大值为，则的值域为 ． 四、解答题 15．已知函数. （1）画出函数的草图，并用定义证明函数的单调性；（2）若，求函数的最大值和最小值. 16．(2023·重庆联考)已知f(x)＝(x∈R)． (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(2)解关于t的不等式f(t2－3)＋f(2t)<0. 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$