函数的单调性与最值讲义-2025届高三数学一轮复习

2-2 函数的单调性与最值 讲义 一、单调性与最值有关概念 (一).增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时都有f(x1)<f(x2),称函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时都有f(x1)>f(x2),称函数f(x)在区间D上是减函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (二).单调性、单调区间的定义 1.若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 2.区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. 3.单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则. 4.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示; 5.如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”隔开. 6.函数单调性是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题, 故单调区间的端点若属于定义域,则区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (三).增函数与减函数形式的等价变形 y=f(x)在区间D上是增函数 对∀x1<x2,都有f(x1)<f(x2) (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0; y=f(x)在区间D上是减函数 对∀x1<x2,都有f(x1)>f(x2) (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0. (四).函数的最值(值域) 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 1.利用单调性求最值:如果一个函数为单调函数,则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域). (1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则ymax=f(b),ymin=f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则ymax=f(a),ymin=f(b). (3)若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决定出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值. 2.图象法求最值:作出函数的图象,通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域. (1)分段函数:尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域,但对于一些便于作图的分段函数,数形结合也可很方便的计算值域. (2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值,此时需将多个函数作于同一坐标系中, 然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象,从而利用图象求得函数的值域. 3.换元法求最值: (1)在换元的过程中,因为最后是要用新元解决值域,所以一旦换元,后面紧跟新元的取值范围. (2)换元的作用有两个: ①通过换元可将函数解析式简化,例如当解析式中含有根式时,通过将根式视为一个整体,换元后即可“消灭”根式,达到简化解析式的目的. ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 4.分离常数法求最值:形如或(,至少有一个不为零)的函数,可用此法. 以为例,解题步骤如下: 第一步,用分子配凑出分母的形式,将函数变形成的形式, 第二步,求出函数在定义域范围内的值域,进而求出的值域。 5.判别式法:主要用于含有二次的分式函数,形如:的函数,可用此法. 将函数式化成关于x的方程,且方程有解,用根的判别式求出参数y的取值范围,即得函数的值域。 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域,并且注意变形过程中的等价性。 另外,此种形式还可使用分离常数法解法。 6.导数法求最值:对可导函数求导,令,求出极值点,判断函数的单调性: (1)如果定义域为闭区间,额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处; (2)如果定义域是开区间且函数存在最值,则函数最值一定取在极值点处。 二、单调性的常见运算性质 (一).单调性的运算 1.增函数( )增函数( )增函数 2.减函数( )减函数( )减函数 3.为 ,则:为 ,为 4.增函数( )减函数( )增函数 5.减函数( )增函数( )减函数 6.增函数( )减函数( )未知(导数) 7.函数y=f(x)与函数y=f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. 8.若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. 9.在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)>0)与和具有相同的单调性. 10.若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数. 11.若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,且f(x)>0,g(x)>0,则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数. (二).复合函数的单调性: 1.函数是由与复合而成(在公共定义域内); 其中:称为外函数,称为内函数; 2.复合函数单调性判断:“同增异减”. (1)内函数( )外函数( ),则复合函数( ); (2)内函数( )外函数( ),则复合函数( ); (3)内函数( )外函数( ),则复合函数( ); (4)内函数( )外函数( ),则复合函数( ); 三、对勾函数与飘带函数 (一).对勾函数:f(x)=ax+(ab>0) (1)当a>0,b>0时,f(x)在(-∞,-],[,+∞)上是增函数,在[-,0),(0,]上是减函数; (2)当a<0,b<0时,f(x)在(-∞,-],[,+∞)上是减函数,在[-,0),(0,]上是增函数; (二).飘带函数:f(x)=ax+(ab<0) (1)当a>0,b<0时,f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数; (2)当a<0,b>0时,f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是减函数; 考点一 求函数的单调性 【例1-1】下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( ) A.y=-x B.y=x2-x C.y=ln x-x D.y=ex-x 【例1-2】(多选)下列函数在(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x- B.y=|x2-2x| C.y=2x+2cos x D.y=lg(x+1) 【例1-3】函数y=(x2-3x+2)的单调递增区间为_,单调递减区间为_. 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法. 1.下列函数中在区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. 2.(2023 乐山检测)函数f(x)=(x-4) |x|的单调递增区间是( ) A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0)和(2,+∞) D.(2,+∞) 3.函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是( ) A. B.和[2,+∞) C.(-∞,1]和 D.和[2,+∞) 考点二 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 【例2-1】在R上的函数f(x)关于y轴对称:x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,则( ) A.f(-2)<f(3)<f(4) B.f(-2)>f(3)>f(4) C.f(3)<f(4)<f(-2) D.f(4)<f(-2)<f(3) 【例2-2】(2024 宁夏银川 二模)在上的函数关于对称,且当时,恒成立,若,,,则,,的大小关系为( ) A. B. C. D. 思维升华 比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性进行比较. 命题点2 求函数的最值 【例2-3】(2023 四川外国语大学附中)函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为( ) A. B.[0,1] C. D. 【例2-4】(多选)下列函数中,值域正确的是( ) A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[,+∞) 思维升华 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法:主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题. (2)单调性法:利用函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域. (3)数形结合法. (4)换元法:引进一个(几个)新的量来代替原来的量,实行这种“变量代换”. (5)分离常数法:把函数分离成一个常数和一个分式和的形式. (6)导数法. 命题点3 解函数不等式 【例2-5】函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是_. 【例2-6】(2024 江西 模拟预测)奇函数在上递增,且,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 思维升华 解函数不等式时,由单调性条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. 1.函数的值域为 . 2.(2024高三下 北京怀柔 模拟)函数,则对任意实数x,函数的值域是( ) A. B. C. D. 3.函数()的最大值为( ) A.2 B. C. D. 4.函数的定义域为,则值域为( ) A. B. C. D. 5.(23-24高三上 河南新乡 月考)对,,中较大者记为,若函数,则的最小值为 . 6.函数的最大值为 . 7.(2024 辽宁丹东 二模)已知函数,,,,则( ) A. B. C. D. 8.(2024 北京 模拟预测)函数,记,则( ) A. B. C. D. 9.(2024 湖北武汉 二模)已知函数,则关于的不等式的解集为( ) A. B. C. D. 10.(2024 吉林长春 模拟预测)已知函数,则不等式的解集为 ( ) A. B. C. D. 11.(2024 全国 模拟预测)已知函数,则满足的的取值范围是( ) A. B. C. D. 考点三 已知单调性求参数取值范围 【例3-1】二次函数f(x)=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上是减函数,那么a的取值范围是_. 【例3-2】(2024 黑龙江大庆 模拟预测)函数在上单调递减,则t的取值范围是( ) A. B. C. D. 【例3-3】若函数在上单调递增,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【例3-4】(2023 重庆模拟)已知函数f(x)=在R上是减函数,则a的取值范围是( ) A.(0,1) B. C. D. 思维升华 利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解. 易错点 忽略分段函数单调性的分段点 分段函数的单调性与分段点息息相关,在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中,除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况。 1.(2023 常德模拟)若函数f(x)=ax2+x+a在[1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,1] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 2.(2024 大连模拟)已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知函数(且)在定义域内是增函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-3),B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f(x+1)<1的解集的补集是(全集为R)( ) A.(-1,2) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 6.定义在[-2,2]上的f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,x1≠x2,且f(a2-a)>f(2a-2),则a的取值范围为_. 7.(23-24高三下 重庆 开学考试)已知函数在上为减函数,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.(23-24高三上 江西上饶 月考)已知实数且,函数在上是增函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 9.已知函数f(x)=;是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D.,1) 10.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.f(x)=;满足对x1≠x2,都有>0,则a的取值范围是_. 12.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是( ) A.[-3,0) B.(-∞,-2] C.[-3,-2] D.(-∞,0) 13.(2024 新高考I卷T6)函数,在R上单调递增,则a取值的范围是( ) A. B. C. D. 1.(2024 全国新 卷 高考真题)已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.(2023 北京 高考真题)下列函数中,在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 3.(2023 全国甲卷 高考真题)已知函数.记,则( ) A. B. C. D. 4.(2023 全国新 卷 高考真题)设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.(2022 浙江 高考真题)已知函数则 ;若当时,,则的最大值是 . 6.(2021 全国甲卷 高考真题)下列函数中是增函数的为( ) A. B. C. D. 7.(2020 山东 高考真题)已知函数的定义域是,若对于任意两个不相等的实数,,总有成立,则函数一定是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数 8.(2020 全国 高考真题)设函数,则( ) A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2-2 函数的单调性与最值 讲义 一、单调性与最值有关概念 (一).增函数、减函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，称函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，称函数f(x)在区间D上是减函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (二).单调性、单调区间的定义 1.若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 2.区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 3.单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则． 4.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 5.如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 6.函数单调性是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (三).增函数与减函数形式的等价变形 y＝f(x)在区间D上是增函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)<f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0； y＝f(x)在区间D上是减函数⇔对∀x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0． (四).函数的最值(值域) 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 1.利用单调性求最值：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)． (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． (3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值． 2.图象法求最值：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域． (1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域． (2)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中， 然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域． 3.换元法求最值： (1)在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． (2)换元的作用有两个： ①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的． ②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 4.分离常数法求最值：形如或（，至少有一个不为零）的函数，可用此法. 以为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式， 第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。 5.判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：的函数，可用此法. 将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。 应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。 另外，此种形式还可使用分离常数法解法。 6.导数法求最值：对可导函数求导，令，求出极值点，判断函数的单调性： (1)如果定义域为闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处； (2)如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。 二、单调性的常见运算性质 (一).单调性的运算 1.增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ 2.减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ 3.为↗，则:为↘，为↘ 4.增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ 5.减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ 6.增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） 7.函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性． 8.若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反． 9.在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性． 10.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． 11.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x)•g(x)也是区间A上的增(减)函数． (二).复合函数的单调性： 1.函数是由与复合而成(在公共定义域内)； 其中：称为外函数，称为内函数； 2.复合函数单调性判断：“同增异减”． (1)内函数（↗）外函数（↗），则复合函数（↗）； (2)内函数（↘）外函数（↘），则复合函数（↗）； (3)内函数（↗）外函数（↘），则复合函数（↘）； (4)内函数（↘）外函数（↗），则复合函数（↘）； 三、对勾函数与飘带函数 (一).对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0) (1)当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数； (2)当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数； (二).飘带函数：f(x)＝ax＋(ab＜0) (1)当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； (2)当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数； 考点一 求函数的单调性 【例1-1】下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　) A．y＝－x　　　B．y＝x2－x　　　C．y＝ln x－x　　　D．y＝ex－x 【答案】A【解】对于选项A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数，故选A． 【例1-2】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1) 【答案】ACD【解】∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 【例1-3】函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． 【答案】(－∞，1)　(2，＋∞)【解】令u＝x2－3x＋2>0，则x<1或x>2． 所以函数y＝(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 因为,所以原函数的单调性与u＝x2－3x＋2的单调性相反． 又u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数， 所以y＝(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)． 思维升华 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法．(2)导数法．(3)图象法．(4)性质法． 1.下列函数中在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】结合常见函数的图象和性质进行判断. 【解】对于A，因为是周期函数，在上不单调，故A错误； 对于B，在上是，单调递增，故B错误； 对于D，是二次函数，开口向上，对称轴为轴，所以在上递增，故D错误； 对于C，只有这个函数在上单调递减，故C正确；故选：C 2.(2023·乐山检测)函数f(x)＝(x－4)·|x|的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0)和(2，＋∞) D．(2，＋∞) 【答案】C【解】函数f(x)＝(x－4)·|x|＝的图象如图所示， 由图可知函数的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)． 3.函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　) A．　　B．和[2，＋∞)　　C．(－∞，1]和　　D．和[2，＋∞) 【答案】B【解】y＝|x2－3x＋2|＝如图，递增区间是和[2，＋∞)． 考点二 函数单调性的应用 命题点1 比较大小 【例2-1】在R上的函数f(x)关于y轴对称：x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 【答案】A【解】因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)<f(3)<f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4)． 【例2-2】（2024·宁夏银川·二模）在上的函数关于对称，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据条件先得到单调性，再根据单调性比较大小. 【解】当时，恒成立，即当时，， 在上单调递增，又函数关于对称，所以在上递减， 所以；因为，所以；所以， 所以，即，故选：D. 思维升华　比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性进行比较． 命题点2 求函数的最值 【例2-3】(2023·四川外国语大学附中)函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的值域为(　　) A. B．[0,1] C. D. 【答案】C【解】由y＝x在[1,4]上递增，且y＝在[1,4]上递减，可得f(x)＝x－＋1在[1,4]上单调递增， 又f(1)＝0，f(4)＝，故值域为. 【例2-4】(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 【答案】ACD【解】对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)． 对于B，y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2；故值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增， ∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数，∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)． 思维升华 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． (6)导数法. 命题点3 解函数不等式 【例2-5】函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 【答案】[－1,1)【解】依题意得⇒－1≤a<1；所以实数a的取值范围是[－1,1)． 【例2-6】（2024·江西·模拟预测）奇函数在上递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可. 【解】由，可得，因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以，故不等式的解集为．故选：D 思维升华　解函数不等式时，由单调性条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． 1.函数的值域为 ． 【答案】且【解】函数的定义域为， ，故函数的值域为且. 2.（2024高三下·北京怀柔·模拟）函数，则对任意实数x，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解】依题意，， 显然，则，于是，所以函数的值域是.故选：C 3.函数（）的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B【解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以当时，函数取到最大值为.故选：B 4.函数的定义域为，则值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解】因为函数在内均单调递增，可知在内单调递增， 可知在内的最小值为，最大值为，所以值域为.故选：A. 5.（23-24高三上·河南新乡·月考）对，，中较大者记为，若函数，则的最小值为 . 【答案】【解】当，即，即时，， 当，，即或时，， 所以，函数图象如图所示： 由图可得，函数在，上递减，在上递增，所以. 6.函数的最大值为 . 【答案】【解】令，则，所以， 对称轴为，开口向下，所以函数在单调递增，在上单调递减. 所以当，即时，取得最大值为. 7．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】求得函数的单调性，结合对数的运算性质，进而求得的大小关系. 【解】因为函数，可得， 当时，；当时，；当时，， 所以在和上递增，在上递减， 因为，可得，所以， 又因为，， 所以，所以，即，所以；故选：D. 8．（2024·北京·模拟预测）函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】判断在上单调递减，进一步比较对数、指数幂的大小即可求解. 【解】注意到定义域为全体实数，且，所以是上的偶函数， 从而， 因为在上单调递增，所以关于在上单调递减， 而，所以.故选：B. 9．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得. 【解】由，故在上递增，由，有，即；故选：A. 10．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可. 【解】，定义域为，又，故为偶函数； 又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数； 又，故当时，，则此时为上的单调增函数， 故时，为单调减函数；，即，则，即， ，也即，解得；故选：A. 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【解】设，，则，所以为奇函数． 又，由的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，则在上单调递增， 因为，所以，所以，解得， 故满足的的取值范围为．故选：B 考点三 已知单调性求参数取值范围 【例3-1】二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2]【解】二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2． 【例3-2】(2024·黑龙江大庆·模拟预测)函数在上单调递减，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据复合函数的单调性可得的单调性，从而可求得t的取值范围. 【解】因为在上递增，所以在上单调递减，则，解得；故选：A 【例3-3】若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解】设，则即为， 而图像的对称轴为，故在上单调递增， 则，即的增区间为， 而函数在上单调递增，故， 即实数的取值范围为，故选：B 【例3-4】(2023·重庆模拟)已知函数f(x)＝在R上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0,1) B. C. D. 【答案】C【解】∵f(x)＝在R上递减，∴得0<a≤，∴选C. 思维升华　利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解． 易错点 忽略分段函数单调性的分段点 分段函数的单调性与分段点息息相关，在判断分段函数的单调性或者根据分段函数单调性解参数的题目中，除了考虑每一段的单调性还需要单独考虑分段点的情况。 1.(2023·常德模拟)若函数f(x)＝ax2＋x＋a在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,1] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞) 【答案】D【解】当a＝0时，f(x)＝x，在[1，＋∞)上单调递增，满足题意； 当a≠0时，f(x)＝ax2＋x＋a的图象的对称轴为x＝－， 要使函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需解得a>0，综上，a的取值范围是[0，＋∞)． 2.(2024·大连模拟)已知函数f(x)＝若f(a－1)≥f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B【解】函数f(x)＝的图象如图所示，由图象知，函数f(x)在R上是增函数， 所以f(a－1)≥f(－a)转化为a－1≥－a，解得a≥. 3.已知函数（且）在定义域内是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据题意，利用分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【解】因为是增函数，则，解得，即的范围为;故选：C． 4.已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】D【解】f(2x－1)＜f．所以0≤2x－1＜，解得≤x＜． 5.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)(　　) A．(－1，2)　　　B．(1，4)　　　C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)　　　D．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 【答案】D【解】不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2， 故所求补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 6.定义在[－2，2]上的f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则a的取值范围为______． 【答案】[0，1)【解】因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函数在[－2，2]上单调递增， 所以－2≤2a－2<a2－a≤2，解得0≤a<1． 7.（23-24高三下·重庆·开学考试）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解】由题意可得：，解得，所以的取值范围是.故选：D. 8.（23-24高三上·江西上饶·月考）已知实数且,函数在上是增函数,则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C【解】因为在上是增函数；所以解得，故选：C. 9.已知函数f(x)＝;是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．,1) 【答案】B【解】由对数函数的定义可得a>0，且a≠1．又函数f(x)在R上单调，而y＝ax2－x－的图象开口向上， 所以函数f(x)在R上单调递减，故有;即;所以a∈． 10.如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】D【解】当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，得－≤a<0． 综上所述，得－≤a≤0．故选D． 11.f(x)＝;满足对x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是________． 【答案】【解】由已知得f(x)递增，∴;解得≤a＜2，∴a的取值范围是． 12.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，0)　　　　　B．(－∞，－2]　　　　　C．[－3，－2]　　　　　D．(－∞，0) 【答案】C【解】若f(x)是R上的增函数，则应满足解得－3≤a≤－2． 13.(2024·新高考I卷T6)函数，在R上单调递增，则a取值的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是；故选：B. 1.(2024·全国新Ⅰ卷·高考真题)已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是；故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误；故选：C. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即；由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以，综上，， 又为增函数，故，即；故选：A. 4．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是；故选：D 5．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】；/【分析】分段函数解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【解】由已知，，所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以，所以的最大值为. 故答案为：，. 6．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D. 7．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有；所以函数一定是增函数；故选：C 8．（2020·全国·高考真题）设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$