精品解析：河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

洛阳市2024——2025学年第一学期期末考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分0在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 1 2 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 5. 已知均为实数，且，下列命题正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 是的充分条件 D. 是的必要条件 6. 在计算机算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用(单位∶次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n的函数.已知某算法的时间复杂度()，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n的最大值为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 7. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，当时，，则a的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. ﹒ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分0在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义域为的奇函数，其零点分别为，若，则关于x的方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数最小值为1，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴为直线 C. 图象的一个对称中心为点 D. 在上单调递增 11. 已知连续函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（    ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数a最小值是______． 13. 函数的单调递增区间为________． 14. 已知，且（表示x，y中较小者），则h的最大值为______． 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数是增函数，，若p和q均正确，求实数a的取值范围． 16. （1）求值：. （2）在锐角三角形ABC中，，求的值. 17. 已知 （1）将化成最简形式； （2）求满足的x的集合． 18. 已知，函数，当且仅当时，． （1）求实数a的值； （2）设，当时，求函数的值域． 19. 果蔬清洗剂主要由表面活性剂，乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可以去除果蔬表面的部分农药残留．但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬．已知用1个单位量的清水可清除果蔬上残留农药量的，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数． （1）试根据问题的实际含义，确定的值，并在此基础上，求出a，b的值； （2）现用单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗两次．哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少?请说明理由． 20. 已知函数是定义在R上的偶函数． （1）求k的值； （2）设，且，若，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳市2024——2025学年第一学期期末考试 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分0在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先应用诱导公式，再逆用两角和的正弦公式即可求值. 【详解】. 故选：C. 2. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解出每个集合，再利用并集的定义求解即可. 【详解】令，解得， 令，解得，即，故D正确. 故选：D 3. 已知，若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数运算可得，，，再利用对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】对于函数，， ，， 又在定义域上单调递增，且， 所以，所以，即. 故选：B. 4. 要得到函数图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减的平移原则一一判断，得到答案. 【详解】A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A正确； B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误； C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误； D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D错误. 故选：A 5. 已知均为实数，且，下列命题正确的是（ ） A. 是的充分条件 B. 是的必要条件 C. 是的充分条件 D. 是的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用不等式的性质结合必要条件的定义判断D即可. 【详解】对于A，令，满足，不满足， 则不是的充分条件，故A错误， 对于B，令，满足，不满足， 则不是的必要条件，故B错误， 对于C，令，满足，不满足， 则不是的充分条件，故C错误， 对于D，若，由不等式性质得， 则是的必要条件，故D正确. 故选：D 6. 在计算机的算法分析中，常用时间复杂度来衡量一个算法的优劣，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算次数，若用(单位∶次)表示算法的时间复杂度，它是算法求解问题数据规模n的函数.已知某算法的时间复杂度()，一台计算机每秒可以进行1.3亿次运算，则要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n的最大值为（ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】将各项数值代入时间复杂度算法公式中求近似值，要求小于等于情况下最接近于n值，即为n的最大值. 【详解】由题意知： ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴满足1秒内完成一次运行，n的最大值为50. 故选：B. 7. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记函数的最小正周期为，根据正弦函数的单调性、对称性计算可得. 【详解】记函数的最小正周期为，则，可得． 又，且， 又，所以函数的一个对称中心为， 函数的一条对称轴为，又， ，解得． 故选：C 8. 已知函数，当时，，则a的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. ﹒ 【答案】D 【解析】 【分析】易得在R上递增，令，得到恒成立，将，转化为，即恒成立求解. 【详解】当时，，在上递增，且； 当时，在上递增，且， 所以在R上递增， 令， 当时，， 当时，， 所以恒成立， 因为，即， 即， 所以，即， 令，,则在上递增， 所以， 则，即，所以a的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：令，可得恒成立，从而可转化不等式，进而利用单调性解不等式. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分0在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数是定义域为的奇函数，其零点分别为，若，则关于x的方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得，即求关于x的方程的根所在的区间，由和的图象有两个交点，知有两个零点，利用零点存在性定理即可得出选项. 【详解】因为函数是奇函数，故其零点对应的点关于原点对称， 且，所以，则关于x的方程为. 分别画出和的图象，如图： 则由图象可知两函数有两个交点， 令，则有两个零点， 因为，， ，， ，，， 所以关于x的方程的解所在的区间是，. 故选：AD. 10. 已知函数的最小值为1，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一条对称轴为直线 C. 图象一个对称中心为点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角变换公式结合最小值可得，利用周期公式可判断A的正误，利用代入法可判断BC的正误，利用正弦函数的性质可判断D的正误. 【详解】 ， 因为的最小值为1，故，故， 所以，所以的最小正周期为，故A正确； ，而为函数的最小值， 故图象的一条对称轴为直线，故B正确； 而函数图象的对称中心的纵坐标为，故不是函数图象的对称中心，故C错误； 当，，而在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知连续函数满足：①；②若，则．则下列结论正确的有（    ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法判断AC，利用基本不等式结合给定条件取舍判断B，利用特殊函数法判断D. 【详解】对于A，令，而， 代入得，解得或， 当时，令，得到，解得， 此时也有，与若，则矛盾，故排除， 综上，，故A正确， 对于B，令，结合，得到， 化简得， 若，则不成立， 若，则， 若，；若时，，若，则，又，对于连续函数来说，一定存在一个y对应两个x的情况，与②不符； 所以， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 故，所以，故B正确， 对于C，若，令，得到， 故，则，故C正确， 对于D，令，满足， 由指数函数性质得在上单调递增，满足当时，， 而， ， 故满足， 得到，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数a的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用对数单调性解不等式化简集合B，然后根据集合的包含关系列出集合的区间端点满足的不等式，再求解求的最小值即可. 【详解】， 又，且，所以，所以实数a的最小值是2. 故答案为：2 13. 函数的单调递增区间为________． 【答案】（开区间也给分） 【解析】 【分析】利用整体法，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】令,解得， 令，则， 由于，故， 故单调递增区间为：， 故答案为： 14. 已知，且（表示x，y中的较小者），则h的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值. 【详解】∵，∴， ∴， 当时，，时，，时，， ∴， 当时，，当时，， ∴时，，∴， 又当，，即， ∴的最大值是． 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数是增函数，，若p和q均正确，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数单调性列不等式求得p正确时a的范围，利用余弦函数的单调性求得的最大值为，根据存在问题得，即可求得q正确时a的范围，求两个范围的交集即可得解. 【详解】由p正确可得，∴或. 由，得，又在上递减， ∴的最大值为. 由q正确，得，∴， 由p，q均正确知，∴或， ∴a的取值范围为. 16. （1）求值：. （2）在锐角三角形ABC中，，求的值. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质及换底公式化简求值即可； （2）先根据二倍角余弦公式得，利用同角三角函数基本关系得，，然后利用两角和正切公式得，根据角的范围得，即可得解. 【详解】（1） . （2）由已知A，B，C均为锐角， 由，得， ∴， ∴， 又，∴. 又，故， ，故， ∴. 从而. 17. 已知 （1）将化成最简形式； （2）求满足的x的集合． 【答案】（1）= （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及弦切互化化简即可. （2）由题意，利用二倍角及诱导公式化简得，解得，然后根据正弦函数性质解不等式即可. 【小问1详解】 ∵， ∴. 【小问2详解】 结合（1）知，即为， ∴， ∴，∴， ∴， 故x取值的集合为． 18. 已知，函数，当且仅当时，． （1）求实数a的值； （2）设，当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性可得，即可根据的两根为0，1求解， （2）根据，利用换元法，结合对勾函数单调性即可求解. 【小问1详解】 由得 即 ∴，即 依题意知，该不等式组的解集为． ∴方程的两根为0，1． ，解得． 经检验，当时，符合题意，故； 【小问2详解】 令，因，则且， 故， 因函数上递减，在上递增， 又，，则， 故， 故 ∴函数的值域为． 19. 果蔬清洗剂主要由表面活性剂，乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可以去除果蔬表面的部分农药残留．但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬．已知用1个单位量的清水可清除果蔬上残留农药量的，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数． （1）试根据问题的实际含义，确定的值，并在此基础上，求出a，b的值； （2）现用单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗两次．哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少?请说明理由． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出特殊点处的函数值，再代入求解参数即可. （2）利用给定条件求出残留量，再对参数范围分类讨论求解即可. 【小问1详解】 根据问题的实际意义，可知， 将代入，得，解得． 【小问2详解】 由（1）知， 设果蔬未被清洗时，农药残留量单位1， 若用单位量的水清洗一次，则农药残留量为 若将单位量的水平均分成2份，先后清洗2次， 则农药残留量为， 而 ， ①当，即时，， 将水均分成2份，清洗两次，农药残留量比较少． ②当，即时，， 两种方式下，农药残留量相等． ③当，即时，． 清洗一次，农药残留量比较少． 20. 已知函数是定义在R上的偶函数． （1）求k的值； （2）设，且，若，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质即可求出； （2）由题设得，表示出，令，由，求得的值域，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 由得：， ∴， ∴， ∴， 从而．∴ 【小问2详解】 由（1）知 ∴， 又， ∴ 其中令, 则 由于，故， 对于函数， ， 所以函数是单调增函数. ∴，∴． 故面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $