精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

汕头市潮阳实验学校2024~2025学年度第一学期 高一期中考试数学试卷 命题人：吴齐峰 审题人：梁 安 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 5. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 取值范围为 6. 有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 8. 设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是___________． 14. 已知定义在R 上的函数满足：，则=________；若，对任意的都有 则不等式的解集为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 16. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 17. 已知定义域是R的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并予以证明； （3）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 19. 已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. （1）判断集合是否为“完美集”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集”，求证： ； （3）是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市潮阳实验学校2024~2025学年度第一学期 高一期中考试数学试卷 命题人：吴齐峰 审题人：梁 安 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为集合，所以. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零即可列不等式组求解. 【详解】由得函数的定义域为. 故选：B. 3. 设，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】， ， 故选：A 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由， 则“”不能推出“”，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 5. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意； 故选：D. 6. 有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合给定条件利用幂函数性质判断即可. 【详解】对于，它是定义在上的奇函数， 值域是且，且在上单调递减，不满足题意. 对于，它是定义域为的奇函数，值域是， 且在上单调递增，不满足题意. 对于，它是定义域为的奇函数，值域是， 且在上单调递增，不满足题意. 对于，它是定义在上的偶函数， 值域是，且在上单调递增，满足题意． 故选：D. 7. 若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数在上的值域，由已知可得函数在上的值域包含，再列出不等式求解即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为， 因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含， 显然，否则当时，，不符合题意， 于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 8. 设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确. 【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数， 表示数、比较大的数． 当，时，，故选项A、C错误； 当时，，故选项B错误． ∵，且，∴， ∵，，∴，故选项D正确． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 函数在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即得. 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. D. 函数为减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，即可得到函数的单调区间，依题意可得，解得即可. 【详解】因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调递减，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知定义在R 上的函数满足：，则=________；若，对任意的都有 则不等式的解集为_______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解；由构造函数，且在上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，令，得，解得； 设，则， 由，得，即， 设，则在上单调递减. 由，可得函数图象关于对称， 则的图像关于原点对称， 函数是奇函数，则满足是偶函数，则在上单调递增. 当时，可得，即. 所以，解得； 当时，可得，即，即. 所以，解得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：1； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，且在上单调递减. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用交集和并集的定义可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时， 又因为， 所以，，. 【小问2详解】 解：因为，分以下两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 16. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 17. 已知定义域是R的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并予以证明； （3）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）1 （2）由单调递增可知在上为增函数，证明如下： 对于任意实数，不妨设， ， 递增，且，，，， 故在上为增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，利用进行求解； （2）根据函数单调性的定义进行证明即可； （3）结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化，利用参变分离的思想结合函数有解的条件进行转化． 【小问1详解】 由为定义在上奇函数，可知， 即，解得． 经检验，符合题意， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由为奇函数得：，等价于． 又由在上为增函数得：，即； 因为，所以．原问题转化为在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 的取值范围是． 18. 已知函数. （1）当时，求的解集； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）； （3） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）把代入，再解一元二次不等式. （2）利用一元二次型不等式恒成立，求出的范围. （3）分类求解含参的不等式即得. 【小问1详解】 当时，函数，由，得，解得， 所以的解集为. 【小问2详解】 对于任意，不等式恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 当时，不等式， 当时，解得；当时，解得或；当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. （1）判断集合是否为“完美集”，并说明理由； （2）已知集合为“完美集”，求证： ； （3）是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为， ，， 所以不是“完美集”； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 令，则，解得（舍）或， 即，因为，所以； （3）存在，是“完美集” 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合基本不等式和二次不等式的性质证明即可； （3）设，得到，分，，进行讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在，且为“完美集”，则，， 不妨设， 因为， 即， 所以， 当时，有，故或， 若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”； 若，则，解得，即是“完美集”； 当时，有， 故只能，，则，解得， 即是“完美集”； 当时，因为， 所以， 又， 与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”， 综上，存在，，是“完美集”. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $