精品解析：湖南省宁远县第一中学崇德学校2024-2025学年高一下学期新年第一考数学试题

2025年高一数学新年第一考（2.9） 一、单选题（共40分） 1. 已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（ ） A. {0，1} B. {－1，1，3} C. {－1，0，1} D. {3，5} 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B，然后求出即可 【详解】因为 所以 所以 故选：D. 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数式，依次代入计算即可作答. 【详解】因函数，则， 所以 故选：C 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把所求式子中的角变为，然后利用诱导公式变形，再利用特殊角的三角函数值即可求出值． 【详解】解：． 故选：． 4. 在中，点在直线上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据画出及点D的位置，再由向量的线性运算即可由表示出. 【详解】因为， 所以 故选：A. 5. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接列不等式组，求出定义域. 【详解】要使函数有意义， 只需，解得：且. 故函数的定义域为. 故选：C 6. 是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得函数的周期为1，然后利用周期和奇函数的性质可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以函数的周期为1， 因为是定义域为的奇函数，， 所以， 故选：C 7. 下列函数中，满足对任意的，有是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的条件可判断函数在上是增函数，依次判断选项在该区间内的单调性即可得解. 【详解】对任意，有， 则函数在区间上是增函数， 由在定义域单调递增， 可知该函数在上增函数成立，故A正确； 由在定义域单调递减，故B错误； 在定义域R上单调递减，故C错误； 定义域为， 由对勾函数的性质可知，该函数在单调递减， 在单调递增，故D错误. 故选：A. 8. 已知向量、的夹角为，，，则（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积和向量模的定义解决本题. 【详解】由向量、的夹角为，，，得出. 则. 故选：C 二、多选题（共20分） 9. 已知集合，若，则的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】AB 【解析】 【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值； 【详解】解：因为，所以，所以或； 故选：AB 10. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图像是由的图像在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确， 对于B，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误， 对于C，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确， 对于D，定义域为，最小正周期为，所以D错误， 故选：AC 11. 下列四个结论正确是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C. 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：AB 三、填空题（共20分） 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】令可求出定点. 【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点. 故答案为：. 13. 已知，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，令则，代入原解析式，即可得. 【详解】令，则， ∴， ∴. 故答案为： 14. 已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是___________. 【答案】(0，1) 【解析】 【分析】画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示， 由图可知k∈(0，1). 故答案为： 四、解答题 15 求（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解. （2）利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 【答案】（1） （2）取得最大值25，此时 【解析】 【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解； （2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意得，解得(舍去)，． 所以扇形圆心角． 【小问2详解】 由已知得，． 所以， 所以当时，取得最大值25， ,解得. 当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25. 17. 已知，，求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数平方关系及求出； （2）在第一问的基础上，利用余弦的差角公式进行计算. 【小问1详解】 由，， 得． 【小问2详解】 由（1）得 18. 设两个非零向量与不共线． （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和反向共线． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算表示出，即可得到，从而得到、共线，即可得证； （2）存在实数，使，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 ， ， 、共线， 又它们有公共点，、、三点共线． 【小问2详解】 与反向共线，存在实数，使， 即， ． 、是不共线的两个非零向量， ，，， ，． 19. 已知函数，． （1）当时，写出函数的单调区间和值域（不用写过程）； （2）求的最小值的表达式． 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数的值域为：． （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，的对称轴为 ∵ ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 则， ∴函数的值域为：． 【小问2详解】 函数的对称轴为，开口向上， ∵，则有： ①当即时，函数在上单调递增， ∴， ②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴， ③当即时，函数在上单调递减， ∴， 综上所述： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一数学新年第一考（2.9） 一、单选题（共40分） 1. 已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（ ） A. {0，1} B. {－1，1，3} C. {－1，0，1} D. {3，5} 2. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点在直线上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 是定义域为的奇函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，满足对任意的，有是（ ） A B. C. D. 8. 已知向量、的夹角为，，，则（ ） A 4 B. C. 5 D. 二、多选题（共20分） 9. 已知集合，若，则的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列四个结论正确是（ ） A. 任意向量，，若，则或或 B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C 空间中任意向量都满足 D. 若，，则 三、填空题（共20分） 12. 当且时，函数的图象一定经过定点___________ 13. 已知，则 ______ 14. 已知函数f(x)＝，若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是___________. 四、解答题 15 求（1）； （2）. 16. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 17. 已知，，求： （1）的值； （2）的值. 18. 设两个非零向量与不共线． （1）若，求证：三点共线； （2）试确定实数，使和反向共线． 19. 已知函数，． （1）当时，写出函数的单调区间和值域（不用写过程）； （2）求的最小值的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$