2.4 一元二次方程根与系数的关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

2.4 一元二次方程根与系数的关系 主讲： 浙教版八年级下册 第2章 一元二次方程 学习目标 目标 1 重点 2 难点 3 1.经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力. 2.掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用根与系数的关系解决具体问题. 掌握一元二次方程根与系数的关系及其应用. 探索一元二次方程根与系数的关系 . 复习导入 1、一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其它关系吗？ 2、如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2-4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 -4ac < 0 时，方程无实数根. 课时导入 法国数学家弗郎索瓦·韦达，他在数学界有一个重大的发现。韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了韦达定理。由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。 探究新知 探索一元二次方程的根与系数的关系 一 解下列方程并完成填空： （1）x2−12x+11=0; (2)x2−9=0; (3)4x2+20x+25=0. 思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？ 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2−12x+11=0 x1+x2=___；x1 · x2=___. x2−9=0 x1+x2=___；x1 · x2=___. 4x2+20x+25=0 x1+x2=___；x1 · x2=___. 11 1 -3 3 12 11 0 -9 a b c 1 -12 11 1 0 -9 4 20 25 -5 - - 合作探究 你能证明上面的结论吗？ 一般地，一元二次方程根与系数有如下关系： 如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，那么x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 根据你的观察，猜想： 方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根如果是x1，x2，那么x1＋x2＝_______, x1x2＝_______. - 深入探究 证一证 深入探究 证一证 提分笔记 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 4ac≥0. 典例精讲 素养考点 1 由一元二次方程的根与系数的关系，得 例1 设 x1, x2 是一元二次方程5x2 -7x -3 = 0的两个根，求x12+x22和 的值. 解： 总结：求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一般形式，再利用根与系数的关系求出两根的和与积． 总结常见的求值： 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 归纳 1、 ； x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 2、 ； = 3、 ； (x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + (x1 + x2) + 1 4、 ； | x1 - x2 |= 5、 . 典例分析 设这个方程为3x2+bx+c=0,由一元二次方程根与系数的关系，得 解得b=-4 ; 解得c=1. ∴这个一元二次方程是3x2 -4x+1=0. 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3,它的两个根分别是 , 1. 写出这个方程. 解： 变式训练 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 巩固练习 1. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1 由根与系数的关系，得 巩固练习 2. 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 -4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 -8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 拓展提升 已知x1，x2是关于x的一元二次方程kx2＋4x－3＝0的两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围． (2)是否存在这样的实数k，使2x1＋2x2－ ＝2 成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 解： (1)由题意得Δ＝42－4k·(－3)＞0， ∴k＞ 又k≠0，∴k＞ 且k≠0. 根的判别式与根与系数的关系经常结合在一起考查，因为运用根与系数的关系的前提条件是根的判别式大于或等于零． (2)存在． ∵x1＋x2＝ x1x2＝ 2x1＋2x2－ ∴ ＋k＝2， 解得k1＝4，k2＝－2(不符合题意，舍去)． ∴k＝4. 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 应 用 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是 x1、 x2，那么 x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 (x1 x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 主讲： 浙教版八年级下册 感谢聆听 Lavf57.62.100 $$