2.2.2 一元二次方程的解法——配方法（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

2.2.2 一元二次方程的解法 ——配方法 主讲： 浙教版八年级下册 第2章 一元二次方程 学习目标 目标 1 重点 2 难点 3 1.学生能理解配方法的概念，掌握用配方法解一元二次方程的步骤。 2.能够运用配方法熟练求解数字系数的一元二次方程，准确将一元二次方程的一般形式转化为完全平方式。 能够正确地在一元二次方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式. 对于含有字母系数的一元二次方程，如何运用配方法求解，以及在配方过程中对代数式变形的处理. 情境导入 问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= 即x= 或x= 问题2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。 的平方根是______ 情境导入 问题3 :什么叫做开平方运算？ 求一个数平方根的运算叫做开平方运算。 问题4：根据平方根的意义你能解下列方程吗？ 如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 解（1）∵x是4的平方根 （2）移向，得x2=2 ∴x＝±2 即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2 即此一元二次方程的根为： x1= ，x2= - ∵ x就是2的平方根 ∴x= 探究新知 你有什么发现？ 小牛试刀： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=16 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=4, x2=-4. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 知识归纳 1、当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 2、当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 3、当p<0时，方程x2=p无实数根. 友情提示 利用平方根的定义用直接开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 什么叫直接开平方法？ 典例精讲 素养考点 1 利用开平方法解方程 例1 解方程 （1） （2） 总结：直接开平方法的两种形式： 提分笔记 开平方法解一元二次方程的“三步法” 变形 将方程转化为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式 开方 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程 求解 解一元一次方程，得出方程的根 探究新知 (1)x2＋8x＋ =(x＋ )2 (2)x2－4x＋ =(x－ )2 (3)x2－6x＋ =(x－ )2 (4)y2－5y＋ =(y－ )2 (5)y2＋y＋ =(y＋ )2 4² 4 2² 2 3² 3 ² ² 你能将方程转化成 的形式吗？请尝试解这个方程。 提分笔记 配方 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 注意 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 配方是为了降次 ，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 典例分析 素养考点 2 利用配方法解方程 例2 解方程 为什么在方程两边同时加上数“9”而不是其他数？ 因为两边加9，式子左边可以恰好凑成完全平方式. 变式训练 用配方法解方程： 2x2-5x+2=0 解：两边都除以2，得 移项，得 配方，得 开方，得 即 ∴ 系数化为1 移项 配方 开方 定解 求解 典例分析 素养考点 3 配方法的应用 例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4-4＋5 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0， 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 所以（k－2）2＋1≥1. 变式训练 利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值. 解：－x2－x－1= －(x2+x+1) =－(x2+x+ － +1) 所以－x2－x－1的值必定小于零. 当 时，－x2－x－1有最大值 巩固练习 1. 用配方法解下列方程. （1）x2 + 10x + 9 = 0； （2）x2 + 4x – 9 = 2x – 11. 解：移项, x2 + 10x = – 9 配方, x2 + 10x + 25 = 16 （x + 5）2 = 16 x + 5 = ±4 方程的两个根为 x1 = –1，x2 = –9 解：移项, x2 + 2x = –2 配方, x2 + 2x + 1 = –1 （x+1）2 = –1 方程没有实数根. 巩固练习 应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.     拓展提升 解：对原式配方，得 由非负性可知 所以，△ABC为直角三角形. 若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 课堂小结 主讲： 浙教版八年级下册 感谢聆听 $$