2.1 一元二次方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

2.1 一元二次方程 主讲： 浙教版八年级下册 第2章 一元二次方程 学习目标 目标 1 1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式； 2.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识. 重点 2 一元二次方程的概念和一般形式，能够正确将方程化为一般形式并确定各项系数. 难点 3 应用一元二次方程的解的定义解决有关问题． 1) 22是多少？（-2）2是多少？ 2) 4的平方根是多少？算数平方根是多少？ 3) 0的平方根是多少？算数平方根是多少？ 4) -4的平方根呢？ 新课导入 你能快速说出下列问题的结果吗？ 4 2和-2 0 4 2 0 没有 平方根的性质 1.正数有两个平方根且 互为相反数 2. 0的平方根是0 3.负数没有平方根 4.非负数a的平方根表示为 新课导入 含有未知数的等式叫做方程。 元：指的是未知数的个数； 次：指的是未知数最高次的指数。 1. 我们学过的方程有哪些？ 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？ （1）5x+3 = 8 （2）x + y = 8 （3） 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 探索新知 思考: (1)把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长。 设正方形的边长为x，可列出方程 . x2+3x=4 x x x 3 探索新知 思考: （2）某放射性元素经2天后，质量衰变为原来的 ，这种放射性元素平均每天减少率为多少？ 设年平均每天减少率为 x，可列出方程 。 (1-x)2 = 探索新知 思考: 设五个连续整数中第一个为x ，那么后四个数为 、 、 、 ，根据题意， 得方程： . 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ （3）观察下面等式： 新课讲授 观察下列三个方程： x2+3x=4 x2-8x-20=0 (1-x)2 = 它们有什么共同特点？ 1、只含有一个未知数； 2、都是整式方程； 4、都可以化成 的形式； a 为二次项系数、b为一次项系数、c为常数，a≠0 3、未知数的最高次数为2； 提分笔记 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的定义： 一元二次方程 ①方程两边都是整式 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次 当a≠0，c=0时 ax²+bx=0 当a≠0，b=0，c=0时 ax²=0 当a=0时 bx+c=0 当a≠0，b=0时 ax²+c=0 分析： 思考：为什么一般形式中限制a≠0？那么b、c可以为零吗？ 发现：只有当a≠0时，未知数的最高次才是2次，满足一元二次方程的定义。b，c可以为任意实数。 一元二次方程 我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式. ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 典例分析 例1 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x2=0 3x2－5x＋1＝0 3 －5 1 x2 ＋x－8＝0 1 1 －8 －7x2 ＋4＝0 －7 0 4 典例分析 例2 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根为 和 ，求这个方程。 2·(-3)2 +(-3)b+c=0 2·()2 +b+c=0 解：由题意得，把 x= -3和 x= 代入方程2x2+bx+c=0 得， b= 1 c= -15 ∴这个方程是 2x2 + x -15 =0 学以致用 习题1 在下列方程中，哪些是一元二次方程？ 3x2－7＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③ (x＋2)( x＋3)＝x2－1； ④t2－15t＋14＝0；⑤x2－(＋1)x＋＝0；⑥ x²+=0 牢记三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次是2. 解析： ①符合定义，正确；②a可能等于0 ，不正确；③化简后是5x+7=0,最高次不是2次，不正确；④符合定义，正确；⑤符合定义，正确；⑥含有分式，不正确。 典例分析 利用一元二次方程定义求解未知数的值或取值范围 例3 已知：方程（m-3）-mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为(　　 ) A.m=±3 B.m=3 C.m=3或m=﹣1 D.m=﹣1 D 【解析】根据一元二次方程的定义可知，要求最高次是二次的，并且二次项的系数不为0，则可以列出相关字母的方程. 解：依题意得：|m-1|=2且m-3≠0．解得m=-1．故选：D． 方法总结： 根据最高次是2的限定条件，列出关于未知数的方程。最终排除二次项系数为0的未知数的值 学以致用 习题2 已知关于x的方程（m+2）+2x-1=0．求： （1）当m为何值时是一元一次方程； （2）当m 为何值时是一元二次方程。 解析：（1）由题意得：① 当m+2=0时，原方程是一元一次方程； ②当| m | =1时，原方程是一元一次方程. 综合解得：当m=-2或±1时，原方程是一元一次方程。 （2）由题意得：当m+2≠0，丨m丨=2时，原方程是一元二次 方程。解得m=2 巩固练习 行业PPT模板http:///hangye/ 方程 一般式 二次项系数 一次项系数 常数项 x2-4x-3=0 2x2=0 y-4y2=0 (2x)2=(x+1)2 x2-4x-3=0 1 -4 -3 2 0 2x2 =0 -4y2 +y =0 -4 0 3x2-2x-1=0 3 -2 -1 0 1. 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 巩固练习 2. 若关于x的一元二次方程(m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0. 求m的值. 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 巩固练习 3. 判断关于x方程x²-mx(2x-m+1)=x是不是一元二次方程，如果是，指出二次项系数及常数项． 解析：将原方程整理成一般形式得：（1-2m）x²+（m²-m-1）x=0， 当1-2m≠0，即m≠时，原方程是一元二次方程， 二次项系数为：1-2m；常数项为0． 巩固练习 4. 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，设切去正方形的边长为x，请写出关于x的方程。 分析：设切去的正方形的边长为x cm， 则盒底的长为100-2x，宽为50-2x. 列方程(100-2x)·(50-2x)=3600， 整理得4x2-300x+1400=0. 化简，得x2-75x+350=0. ① x 100-2x 50-2x 课堂小结 一元二次方程 概念 ①方程两边都是整式 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 主讲： 浙教版八年级下册 感谢聆听 $$