精品解析：上海市普陀区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024学年度第一学期期末八年级自适应练习数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 4. 下列关于反比例函数的说法中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 比例系数为 C. 当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D. 如果点和点在该函数的图象上，那么 5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：______． 8. 方程的根是_____． 9. 函数的定义域是_____． 10. 已知函数，那么_____． 11. 实数范围内分解因式：__________． 12. 已知点的坐标为，点的坐标为，那么_____． 13. 某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为x，那么可列方程为_____． 14. 命题“底边及底边上高对应相等的两个等腰三角形全等”是_____命题．（填“真”或“假”） 15. 如图，在中，，平分，若，，则___________． 16. 如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为_____． 17. 定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 18. 如图，已知等腰中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点．如果直线与直线的夹角为，那么面积的值等于_____． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去A广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；表1记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据． 表1 时间（时） 0.1 0.3 距离（千米） 2 6 9 根据提供的信息，回答下列问题： （1）由表1可知，关于的函数解析式为_____；的值为_____； （2）由图可知，的值为_____；在的时段内，甲的速度为_____千米/时； （3）先到达A广场并拍照的人是____，且比另一位早到_____分钟． 22. 如图，已知为的一边上一点，． （1）如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点）； （2）在第（1）题的条件下，连接，如果，求点到直线的距离． 四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． （1）求证：； （2）取边的中点，求证：． 24. 如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． （1）求双曲线的表达式； （2）已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 25. 【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线 ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年度第一学期期末八年级自适应练习数学学科 （时间90分钟，满分100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式为同类二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选C． 2. 在下列关于的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，分别求出每个方程的解，进行判断即可． 【详解】解：A、， ∴；不符合题意； B、， ∴；符合题意； C、，此方程无解；不符合题意； D、， ∴， ∴；不符合题意； 故选B． 3. 已知正比例函数（其中为常数，且），如果的值随的值增大而增大，那么下列的值中，不可能的是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据如果的值随的值增大而增大，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数（其中为常数，且），的值随的值增大而增大， ∴， ∴， ∴的值不可能是； 故选A． 4. 下列关于反比例函数的说法中，正确的是（ ） A. 图象第一、三象限 B. 比例系数为 C. 当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大 D. 如果点和点在该函数图象上，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据的符号，结合反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，比例系数为，故选项B错误，不符合题意； ∴图象在第二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 在每一个象限内，随着的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 如果点和点在该函数的图象上，那么；故选项D正确，符合题意； 故选D． 5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点、均在格点上，那么和线段两个端点距离相等的点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，掌握勾股定理求出线段的长，垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 连接，，，，，，，，结合网格特点，根据勾股定理求出各线段的长，得到，，根据线段的垂直平分线的判定及性质即可解答． 【详解】解：连接，，，，，，，， ∵每个小正方形的边长都为1， ∴，，，， ，，，， ∴，， ∴直线是的垂直平分线， ∴和线段两个端点距离相等的点的轨迹是直线． 故选：C 6. 如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质进行化简即可，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 方程的根是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，方程左边利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴，； 故答案：，． 9. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数的定义域，分式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ 故答案为：． 10. 已知函数，那么_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查求函数值，将代入函数关系式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 11. 在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式进行配方，再运用平方差公式在实数范围内因式分解． 【详解】= 故答案为： 【点睛】考核知识点：在实数范围内分解因式，运用配方法和平方差公式进行因式分解是关键． 12. 已知点的坐标为，点的坐标为，那么_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和两点间的距离公式，正确列式计算是解题的关键，根据勾股定理和两点间的距离公式列式计算即可． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 故答案为：5． 13. 某新能源汽车品牌2022年在国内的销量为10万辆，2024年销量达到了19.6万辆，如果该品牌汽车销量的年增长率均为x，那么可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据平均增长率的等量关系：，结合实际问题，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故答案为：． 14. 命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，判定命题的真假，根据全等三角形的判定和性质，进行判断即可． 【详解】解：如图，为等腰三角形，，分别为两个三角形底边上的高，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等为真命题； 故答案为：真． 15. 如图，在中，，平分，若，，则___________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线定义，垂直定义，先由角平分线定义，得出，进而求出的度数，再根据垂直定义得出，在中，由三角形的内角和定理可得出，最后根据三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵在中，于点D， ∴， 在中，∵， ∴ ． ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故答案为：35． 16. 如图，已知在和中，，，，如果，那么的大小为_____． 【答案】##55度 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，由，，，根据证明，则，，所以，，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 18. 如图，已知等腰中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点．如果直线与直线的夹角为，那么面积的值等于_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由等腰直角三角形求出，，进而根据旋转轨迹分类讨论，利用30度所对的直角边是斜边的一半求解即可． 【详解】解：设直线与直线交点为D， ∵等腰中，，． ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ①当时，如图， ∴， 过作于点M， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴过作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，面积的值等于或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、含有的直角三角形、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式是加减运算，二次根式的乘除运算，进行解答，即可． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，去分母将方程化为一般形式，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：去分母，得：． 即． ∴ ∴或． ∴，． 21. 居住同一小区的甲、乙两位好友，某日他们相约去A广场游玩．甲认为开小轿车快，乙认为城市路况复杂，开电动自行车灵活，可能更快．于是他们决定同时出发，采用各自的方式前往广场，假设两种通行方式的路程一样，乙全程匀速前行，并约定先到者拍照发给对方．已知甲相距广场的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系，如图所示；表1记录了乙相距小区的距离（千米）与所用时间（小时）之间的部分数据． 表1 时间（时） 0.1 0.3 距离（千米） 2 6 9 根据提供的信息，回答下列问题： （1）由表1可知，关于的函数解析式为_____；的值为_____； （2）由图可知，的值为_____；在的时段内，甲的速度为_____千米/时； （3）先到达A广场并拍照的人是____，且比另一位早到_____分钟． 【答案】（1）；0.45 （2）3；10 （3）乙；6 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、一次函数的实际应用： （1）与成正比例关系，设，将表格中数据代入即可求解； （2）当时，设，利用待定系数法求出解析式，进而求出q的值，的时段内路程差除以所用时间，即可得出速度； （3）根据（1）（2）结论求出甲、乙两人到达A广场所用时间，即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为， 将代入，得：， 解得， ， 当时，， ， 故答案为：；0.45． 【小问2详解】 解：当时，设， 将和代入，得：， 解得， ， 当时，， 的值为3； 在的时段内，甲的速度为， 故答案为：3；10． 【小问3详解】 解：令， 得， 即乙到达A广场所用时间为； 甲到达A广场所用时间为：， 先到达A广场并拍照的人是乙，比甲早：， 故答案为：乙；6． 22. 如图，已知为的一边上一点，． （1）如果点在射线上（不与点重合），点在射线上，且点、点到点的距离等于线段的长，试用直尺和圆规作出满足上述条件的点、点（不写作法和结论，仅保留作图痕迹，在图中清楚地标注点、点）； （2）在第（1）题的条件下，连接，如果，求点到直线的距离． 【答案】（1）图见解析 （2）4.8 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作线段，等边对等角，勾股定理： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交分别于点； （2）等边对等角求出，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点到直线的距离为． 四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，已知的三边满足，，，其中都是正整数，且．是过点的一条直线，过点作直线的垂线，垂足为点，是线段上一点，且． （1）求证：； （2）取边的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质： （1）勾股定理逆定理，结合完全平方公式进行判定即可； （2）延长交于点G，证明，，得到，根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得证． 【小问1详解】 证明：， ． （勾股定理的逆定理）； 【小问2详解】 证明：延长交于点G， ，， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又，， ． ． 又， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． （1）求双曲线的表达式； （2）已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【小问1详解】 解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； 【小问2详解】 解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 值为4． 25. 【例题回顾】本学期我们学习了角平分线定理及其逆定理，数学课本P106的例题1同时运用了角平分线定理及其逆定理完成了该几何问题的证明． 例题14已知：如图，分别是的平分线，，，垂足分别为点． 求证：点在的平分线上． 证明过点作，垂足为点． ，分别是、的平分线（已知）． ，（已知）， （所作）， ，（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． （等量代换）． 点在的平分线上（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【研究老图形】在例题1的图19-27中，分别连接． （1）点为△三条_____的交点，点为△三条_____的交点（填写序号）； ①边的垂直平分线 ②角平分线 ③高 ④中线 （2）小普发现和的内角之间存在一定的数量关系，如果，那么_____．（用含的代数式表示） 【解决新问题】为了方便研究，小普同学把满足例1条件的叫做的“内三角形”，点叫做“共心”． （3）已知是的“内三角形”，点是“共心”，点、、分别在边、上，且．先画出符合条件的示意图，再过点作于点，求证：点在直线上． 【答案】（1）②，①；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据题意，得到点是的三条角平分线的交点，再根据，得到点为的三边中垂线的交点即可； （2）根据四边形的内角和，得到，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质，推出，即可得出结果； （3）根据，，得到，根据（2）中结论得到，进而推出，得到点在的中垂线上，证明，推出垂直平分，即可得证． 【详解】解：（1）由题干可知，点是的三条角平分线的交点， ∵， ∴点到三个顶点的距离相等， ∴点为三边的垂直平分线的交点，（到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上）； 故答案为：②，①； （2）如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长交于点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为：； （3）画出示意图，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 由（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴点在的中垂线上， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$