第六章 计数原理（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第六章 计数原理（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有 种. 【答案】243/ 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理计算得解. 【解析】每封电子邮件可以选择3个电子邮箱中的任意一个发送，有3种方法， 所以发5封不同的电子邮件的不同发送方法有（种）. 故答案为：243 2．已知，，，，将、、、两两连线，可得到 条直线． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理计算即得. 【解析】点与中任意一点连线，可得3条直线， 点确定1条直线， 所以可得直线条数是4. 故答案为：4 3．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法. 【答案】240 【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可. 【解析】先排甲和乙，有种排法， 再排其他5人，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种排法. 故答案为：240 4．若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为 . 【答案】 【分析】分有门相同、门相同、门相同三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【解析】若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 综上可得甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为. 故答案为： 5．某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件，现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为 . 【答案】 【分析】首先求出样本中种型号的产品数量，再由组合数公式及古典概型的概率公式计算可得. 【解析】依题意样本中种型号的产品有件， 现从样本中抽出两件产品共有种取法，其中含有型号产品的有种取法， 所以含有型号产品的概率. 故答案为： 6．的展开式中的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理及通项公式即可求解. 【解析】由题意可知，展开式的通项公式为，其中 所以展开式中含的项为， 即含项的系数为. 故答案为：. 7．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为 【答案】 【分析】利用组合数求每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况、任意舀取4个饺子的情况，再根据古典概型的概率求法求结果. 【解析】由题意，每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况有种， 9个饺子任意舀取4个饺子的情况有种， 所以每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为. 故答案为： 8．在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】12 【分析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，共有4个元素排顺序，由特殊元素优先和分步计数原理计算可求解. 【解析】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有种顺序， 剩下两个元素放入最后2个位置，有种顺序， 则有种下锅顺序. 故答案为：12. 9．把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个 【答案】14 【分析】根据1是分界点，分类讨论即可. 【解析】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：14 10．已知 ，若则实数的最大值为 . 【答案】23 【分析】为的系数，由二项式定理求得的系数，由，可得的不等关系，从而求得实数的最大值. 【解析】因为展开式中的系数为， 展开式中的系数为， 所以展开式中的系数为 . 要使，则为奇数，且， 所以，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 11．空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 【答案】9 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【解析】因为空间中有三个点，且， 不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种： 第一种：为正四棱锥的侧面，如图1， 此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的; 不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；    第二种：为正四棱锥的对角面，如图2， 此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的; 不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种； 综上所述：总共有9种情况. 故答案为：9. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解. 12．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 【答案】232 【分析】从条件②入手分类讨论，应用排列组合知识即可得到有序数组的个数即可. 【解析】当时，有五个数是0， 另一个数为1或，这样有个； 当时，中有四个数是0， 另两个数为两个1或两个或一个1和一个， 这样有个； 当时，中有三个数是0， 另三个数为三个1或三个或一个1和两个或两个1和一个， 这样有个； 综上集合A中的元素共有232个. 故答案为：232 二、单选题 13．可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式判断即可. 【解析】，， ，. 故选：D 14．在200件产品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，至少有2件次品包含两类情况，再利用分类分步计数原理计算即可. 【解析】根据题意可知，至少2件次品包含两类： 2件次品，3件正品，共种抽法， 3件次品，2件正品，共种抽法， 由分类计数原理得，抽法共有种， 或利用间接法种． 故选：D． 15．某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．32 【答案】B 【分析】分物理和历史中选一门和物理和历史都选这两种情况分析，结合计数原理和组合知识即可求解. 【解析】分两种情况： ①物理和历史中选一门，其余两门从剩下的四门学科中选，则有种选法； ②物理和历史都选，剩下一门从剩下的四门学科中选，则有种选法. 由分类加法计数原理得选科组合方式共有种. 故选：B 16．现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （    ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A．①②都是真命题 B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】注意到为的倍数，故易得为偶数；另一方面由插空法可以得到与间的不等式. 【解析】现有编号分别为的小球各两个，我们现在分两步将这个球排成一列并使得任意编号相同的球均不相邻. 第一步，将这个数分成对数，且每对数均不相邻，设有种分法； 第二步，将个小球中相同编号的两个小球分别放到第一步分得的每一对数对应的位置上，这相当于给这对位置分配这个数，故有种分配方法. 由乘法原理得，， 当时，为偶数；当时，因为为偶数，所以也为偶数. 故任意，都是偶数，①为真命题； 另一方面，若有编号分别为的小球各两个，将它们排成一列且任意编号相同的小球不相邻之后，从这个球产生的个空隙中选出个空隙放入两个编号为的小球，完成这两步由乘法原理有种方法，但完成这两步后这个球的排列满足同号球不相邻，所以.故②也是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：先将个球的排列等同于分配到个位置上，任意编号相同的球均不相邻，所以可将个位置的任意两个位置作为一组放置相同编号的球，把两个位置不相邻的组数求出来，再依次选出组依次排列编号相同的两个球即可求解. 三、解答题 17．（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【分析】根据排列数和组合数的性质依次计算即可求解. 【解析】（1）原方程等价于， 整理得，解得或， 又，所以. （2）原不等式等价于， 即，解得， 又且， 所以原不等式的解集为. 18．设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数. (1)若，求的值； (2)若对一切均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式定理展开式的通项分别求出可得； （2）利用展开式的通项和组合数的性质求出随着的递增而减小，再分对所有，2，3，4成立和对所有，6，7，…，19成立求出即可； 【解析】（1）在的二项展开式中，，系数， ，系数，则，解得； （2）对于，1，2，…，20，系数，， 这样，随着的递增而减小， 据已知，是的最大项，那么对所有，2，3，4成立，这4项中最小的是，解得 同时对所有，6，7，…，19成立，这些项中最大的是，解得， 所以. 19．某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： ①每位学生每天最多选择1项； ②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技 (1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω； (2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案?并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2)14，. 【分析】（1）根据给定条件，写出样本空间. （2）利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解，进而求出事件发生的概率. 【解析】（1）(音乐,口语), (音乐,阅读)，(音乐,编程)，(音乐,美术), (阅读,口语), (阅读,编程)，(阅读,美术)， (体育,口语), (体育,阅读)，(体育,编程)，(体育,美术), (编程,口语), (编程,阅读)，(编程乐,美术). （2）依题意，周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四， ①若周一选编程，则体育在周三或周四，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案； ②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，有3种， 阅读在剩下的两天中选，有2种，共有6种方案； ③若周四选编程，则体育在周一或周三，有2种，阅读在剩下的两天中选，有2种，共有4种方案， 所以不同选择方案共有（种）， 事件含有的样本点：(周一阅读,周二编程,周三体育), (周一阅读,周二编程,周四体育),(周一阅读,周二体育,周四编程)， 事件有3个样本点，事件发生的概率. 20．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2048； (2)166650； (3)存在，这三个数为. 【分析】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解析】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 21．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义当，范数为奇数时，中的个数为0或2，利用乘法原理和加法原理求解即可； （2）要使范数为奇数，需满足0的个数一定是偶数，按0的个数为分情况讨论，根据和的展开式得到的通项公式即可求解； （3）同（2），按0的个数分情况讨论，利用新定义求出的通项公式，再根据组合数的性质化简求解即可. 【解析】（1）当，范数为奇数时，的个数为偶数，即中的个数为0或2， 所以根据乘法原理和加法原理可得，. （2）当为奇数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为偶数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， 因为①， ②， 得， 所以. （3）当为偶数时，在向量中，要使范数为奇数，则的个数一定为奇数，其余位置为或， 所以可按0的个数为分情况讨论， 所以， ， 因为①， ②， 得， 所以， 解法一：因为， 所以 . 解法二：得， 又因为， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一半，其次对组合数，二项式定理的灵活应用，化简变形要求较高，属于难题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有 种. 2．已知，，，，将、、、两两连线，可得到 条直线． 3．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法. 4．若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为 . 5．某工厂生产、两种型号的不同产品，产品数量之比为.现用分层抽样的方法抽出一个样本容量为的样本，则其中种型号的产品有件，现从样本中抽出两件产品，此时含有型号产品的概率为 . 6．的展开式中的系数为 ． 7．饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为 8．在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 9．把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个 10．已知 ，若则实数的最大值为 . 11．空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为 ． 12．设集合A是由所有满足下面两个条件的有序数组构成：①；②；则集合A中的元素共有 个. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．可以表示为（   ） A． B． C． D． 14．在200件产品中有3件次品，任取5件，其中至少有2件次品的取法种数是（    ） A． B． C． D． 15．某同学要从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，若要求物理和历史这两门学科至少要选一门，则这名同学选科组合方式共有的种数是（   ） A．12 B．16 C．20 D．32 16．现有编号分别为 的小球各两个，每个球的大小与质地均相同．将这个球排成一列，使得任意编号相同的球均不相邻，记满足条件的排列个数为 ，则 （    ） ① 对任意 都是偶数； ② ． A．①②都是真命题 B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题 D．①②都是假命题 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分） 17．（1）解方程：; （2）求关于的不等式的解集. 18．设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数. (1)若，求的值； (2)若对一切均成立，求的取值范围. 19．某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定： ①每位学生每天最多选择1项； ②每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、体育、编程 口语、阅读、编程、美术 手工、阅读、科技、体育 口语、阅读、体育、编程 音乐、口语、美术、科技 (1)若学生甲仅在周一和周二参加了课后服务课程，写出实验的样本空间Ω； (2)若学生乙一周内有三天参加了课后服务课程，共选择了阅读、体育、编程3项，则共有多少种不同的选择方案?并求这些方案中事件：“周一选择阅读”发生的概率． 20．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 21．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为． (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$