8.1平方根（2）（教案，新教材）-2024-2025学年七年级数学下册同步备课教案（人教版2024）

8.1平方根（2）（教案　新教材） 第八章　实数 8.1平方根（2） 【教学目标】 1．经历探究正数正的平方根的过程，引入算术平方根的概念；知道平方根与算术平方根的区别与联系，会用一个非负数的算术平方根； 2． 从解决已知正方形面积求边长问题入手，体会很多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数； 3．通过类比、分类讨论、数形结合、转化、特殊到一般等数学思想方法，积累数学发展的基本经验． 【教学重点】算术平方根的概念． 【教学难点】探究正有理数的算术平方根都是无限不循环小数．　　　　　 【教学过程】 一、情境导入 复习引导 　前一节课我们学习了平方根、开平方和正数的正的平方根的表示等，我们一同回顾一下：平方根：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根． 求一个数的平方根的运算，叫作开平方．平方与开平方互为逆运算．正数的正的平方根记为“”， 读作 “根号”，叫作被开方数；正数的负的平方根可以用“”表示．正数的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号”．当a≥0时，有意义；当a<0时，没有意义；反之也成立． 本节课继续学习平方根，本节课的课题是：8.1平方根（2）（展示课题） 二、合作探究 探究一：什么是算术平方根 活动1：通过上面的复习我们知道，正数a有两个平方根，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫作什么？ 教师指导：正数a正的平方根叫做的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示． 追问：0的算术平方根是什么？怎样记？ 学生讨论：规定: 0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为，即． 追问2：平方根与算术平方根有什么区别和联系？ 学生讨论：正数a有两个平方根，一定含它的算术平方根，一个正数的算术平方根只有一个，是正数，0的平方根和算术平方根都是0． 活动2：例3　求下列各数的算术平方根： (1) 100；　　　(2) ；　　(3) 0. 0001． 追问：怎样求出各数的算术平方根？在书写上与平方根有什么区别？ 学生交流：利用开平方与平方运算的关系求出正的平方根；一个正数的平方根是在算术平方根前加上“” ． 教师示范写出解题过程： 解: (1)因为，所以100的算术平方根是10，即； (2)因为，所以的算术平方根是，即； (3) 因为， 所以0. 0001的算术平方根是0.01，即． 追问2：从例3可以看出，被开方数越大，对应的算术平方根有什么变化？ 师生讨论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立． 探究二：开方开不尽的算术平方根的值 活动3：探究　　怎样用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形?这个大正方形的边长是多少? 如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一-起，就得到一个面积为2 的大正方形. 　　追问1：大正方形的边长为，怎样列出关于的方程？ 学生讨论：设大正方形的边长为,　则 追问2：怎样求出边长的值？ 学生讨论：根据平方根的定义，由边长的实际意义可知, 大正方形的边长： 大正方形的边长是． 追问3：小正方形的对角线的长是多少呢? 　　学生观察得到：． 活动4：探究　　有多大呢? 　追问1：你能判断在哪两个整数之间吗？ 学生交流讨论：因为，，所以； 　　追问2：你能判断在哪两个一位小数之间吗？ 学生继续交流讨论：因为，，所以； 　　追问3：如此下去，你能估计在哪两个更精确的小数之间吗？ 学生继续交流讨论：因为，，所以 ． 因为，，所以 1.414<.2<1.415． 教师提示：如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围. 事实上，它是一个无限不循环小数. 　　实际上，很多正有理数的算术平方根（例如等)都是无限不循环小数. 追问4：你能归纳什么是无限不偱环小数吗？以前你见过这样的数吗？ 师生共同讨论：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数． 小学学习的圆周率（）就是一个无限不偱环小数． 探究三：算术平方根的应用 活动5：例1．一个数的算术平方根是它本身，则这个数是（　　） A．，0或1 B．1 C．或1 D．0或1 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，那么一个数的算术平方根是它本身，可以知道这个数是0和1． 【解析】根据算术平方根的定义，这个数是0或1．故选：D． 活动6：例2．设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（    ） A．x是有限小数 B．x取0和1之间的数 C．x不存在 D．x取1和2之间的数 【分析】由于正方形的面积为3，利用正方形的面积公式即可计算其边长，然后估算即可求解． 【解析】∵面积为3的正方形的边长为x，∴x=， ∵1＜＜2，∴x是1和2之间的实数．故选：D． 三、强化巩固 1．练习：1、2、3． 小组合作完成． 2．拓展训练：同学们知道是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为． (1)如果的整数部分为的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的绝对值． 【解析】（1），， ，， 的整数部分为的整数部分为， ，， ； （2）解：， ， ， ，其中是整数，且， ，， ． 四、总结拓展 1 ．算术平方根：正数a正的平方根叫做的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示．算术平方根与平方根的区别与联系． 2．无限不循环小数：是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．很多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数． 3．通过类比、分类讨论、转化、特殊到一般等数学思想方法，积累数学发展的基本经验． 五、作业布置 必做作业：课本习题8.1第2、3、6题． 选做作业：课本习题8.1第10题． 附：板书设计 ( 例1. 例2. 学生练习板演（拓展训练） ) ( 8.1开平方（ 2 ） 探究一： 什么是算术平方根 探究二： 开方开不尽的算术平方根的值 探究三 ： 算术平方根的应用 ) 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$