8.1平方根（1）（教案，新教材）-2024-2025学年七年级数学下册同步备课教案（人教版2024）

8.1平方根（1）（教案　新教材） 第八章　实数 8.1平方根（1） 【教学目标】 1．从具体数字入手，经历探究已知一个数的平方，求这个数的过程，了解平方根的概念； 2．知道平方根的概念，会用根号表示平方根，了解开平方与平方是互逆运算； 3．通过类比、分类讨论、对应等数学思想方法，积累数学发展的基本经验． 【教学重点】平方根的概念． 【教学难点】平方根的概念．　　　　　 【教学过程】 一、情境导入 本章引导 当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度V (单位: m/s)时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星 ．V的大小满足，其中g是地球表面的重力加速度，g≈9.8 (单位: )， R是地球半径，R≈(单位: m) ．怎样求v呢?这就要用到平方根的概念． 随着对于数的认识的不断深人，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数，这就需要引人一种新的数（无理数）．实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数．在本章中，我们将首先学习平方根与立方根；在此基础上引人无理数，把数的范围从有理数扩充到实数;然后类比有理数，引人实数在数轴上的表示和实数的运算，从中进一步感悟数系扩充的过程，并用这些知识解决一些实际问题． 我们从平方根开始学习．本节课的课题是：8.1平方根（1）（展示课题） 二、合作探究 探究一：已知一个数的平方，求这个数 活动1：我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方．反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢? 思考：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 追问1：有哪些数的平方等于9？ 学生思考：因为.因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或一3． 活动2：填写下表: 学生思考：因为.因此，如果一个数的平方等于1，那么这个数是1或一1.． 类似地，平方等于16的数是4或；.平方等于36的数是6或；平方等于49的数是7或；平方等于的数是或． 探究二：什么是平方根与开平方 活动3：上面平方等于9、1、16、36、49、的数的几个？ 学生思考：都有2个． 追问1：平方等于9、1、16、36、49、的数叫做9、1、16、36、49、的什么？ 教师提示：3或一3叫9的平方根，另外几个数应该怎样叙述？ 学生思考得出结论． 活动4：怎样定义平方根呢？如果一个数的平方等于，怎样描述？ 师生共同归纳： 如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根． 追问1：上面平方等于9、1、16、36、49、的数如何用平方根来描述？ 学生交流：3和是9的平方根；4和是16的平方根等． 追问2：象上面3和，4和一4，能否简记？ 学生交流：3和合在一起简记为“”；4和合在一起简记为“”． 活动5：什么叫开平方？ 问题：求9、1、16、36等数的平方根的运算叫开平方，你能给开平方下定义吗？ 学生讨论：求一个数的平方根的运算，叫作开平方． 活动6：平方与开平方之间的关系． 问题：的平方等于9，9的平方根是，你发现了平方与开平方两种运算之间的关系吗？ 学生讨论：可以发现，平方与开平方互为逆运． 追问：观察下图，根据这种互逆关系，怎样求出一个数的平方根？ 学生讨论：利用开平方与平方运算的关系求出． 探究三：怎样求一个数的平方根 活动6：例1　求下列各数的平方根： (1) 64; 　　　(2) 　　　(3) 0.01. 追问：怎样求出各数的平方根？ 学生交流：利用开平方与平方运算的关系求出． 教师示范写出解题过程： 解： (1)因为 ，所以64的平方根是； (2)因为，所以的平方根是； (3)因为 ， 所以0.01的平方根是． 探究四：平方根的特点 活动7：思考　正数的平方根有什么特点? 0的平方根是多少?负数有平方根吗? 学生讨论：正数有两个平方根，它们互为相反数． 因为，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0. 正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根． 探究五：平方根的表示 活动8：正数的正的平方根怎样用符号表示？ 教师指导：正数的正的平方根记为“”， 读作 “根号”，叫作被开方数；正数的负的平方根可以用“”表示．故正数的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号”． 追问1：表示什么？的值是多少？0的平方根怎样表示？ 学生讨论：表示9的平方根；；0的平方根表示为． 追问2：“”中的取什么数时才有意义？取什么数时没有意义？为什么？ 学生交流：只有当a≥0时，有意义；当a<0时，没有意义；因为任何数的平方都大于等于0． 活动9：　例2　下列各数有 平方根吗?如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1) 0.36；　　　　(2) ；　　　(3) 解：(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，； (2)因为-5是负数，所以一5没有平方根； (3)因为 是正数，所以 有两个平方根，． 活动10：例3．电流通过导线时会产生热量，且满足公式，其中为产生的热量（单位：），为电流（单位：），为导线电阻（单位：），为通电时间（单位：）． (1)若导线电阻为，通电时导线产生的热量，求经过导线的电流． (2)用电安全无小事，当导线经过的电流过大时，短时间内将产生大量的热量，导线很可能会被烧坏，严重情况下可能引发火灾．现有一段电阻为的导线，若该导线通电时产生超过的热量，则它将会被烧坏．试问当电流为时，该导线是否会被烧坏？ 【分析】（1）将，，代入公式并整理可得，由并结合实际情况可得答案；（2）经，，代入公式，计算并与比较即可． 【详解】（1）由题意得，，，代入公式得，可得， 因为，所以（不符合实际情况，舍去），所以电流是； （2）已知，，，代入公式，可得， 因为，所以该导线会烧坏． 三、强化巩固 1．练习：1、2、3． 小组合作完成． 2．拓展训练： 已知：和是某正数的两个不相等的平方根，求a的值． 【分析】根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为． 【详解】由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得， ，，， 四、总结拓展 1． 平方根：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根． 2．开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方．平方与开平方互为逆运算． 3 ．正数的正的平方根记为“”， 读作 “根号”，叫作被开方数；正数的负的平方根可以用“”表示．正数的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号”． 4． 当a≥0时，有意义；当a<0时，没有意义；反之也成立． 5．通过类比、分类讨论、对应、特殊到一般等数学思想方法，积累数学发展的基本经验． 五、作业布置 必做作业：1.课本习题8.1第1题 2．若一个正数m的两个平方根分别是和，求a和m的值． 【解析】根据题意可得：， 解得：， 所以． 3．张华想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【解析】正方形的边长为， 设长方形的长为，宽为，由题意得， ， 解得或（舍去）， ∴长方形的长为，宽为， ∵， 选做作业： 解方程： 【分析】根据平方根的定义两边开平方得或即可解答． 【解析】， 两边开平方，得，， 移项，得，或， 系数化为，得，或． 附：板书设计 ( 例1. 例2. 例3 学生练习板演（拓展训练） ) ( 8.1开平方（1） 探究一：已知一个数的平方，求这个数 探究二：什么是平方根与开平方 探究三：怎样求一个数的平方根 探究四：平方根的特点 探究五：平方根的表示 ) 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$