19.1.1 变量与函数（第1课时 变量与常量）（分层作业）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂（人教版）

19.1.1 变量与函数（第1课时 变量与常量）（分层作业） 基础训练 1．假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（      ） A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，理解常量与变量的定义是解题的关键；汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着油量的变化而变化，因此金额和油量是变量． 【详解】解：单价是常量，金额和油量是变量， 故选：． 2．一个圆柱的半径为，高为，则这个圆柱的体积与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，熟练掌握圆柱的体积等于底面积高是解答本题的关键． 根据圆柱的体积等于底面积高列式即可． 【详解】解：∵圆柱的半径为，高为， ∴圆柱的体积． 故选：A． 3．两邻边长分别为2与的长方形的面积为S，下列对于三个量描述正确的是（    ） A．2是常量；S，是变量 B．S是常量；2，是变量 C．是常量；2，S是变量 D．2，是常量；S是变量 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量和变量的定义，熟练掌握函数的常量和变量的定义是解题的关键； 根据长方形的面积公式得，然后根据在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量；数值发生变化的量称为变量即可解答． 【详解】解∶ ∵两邻边长分别为2与的长方形的面积为S， ∴， ∵长方形的一条边长始终固定为2，其数值不会发生变化， ∴2是常量， ∵x表示长方形的另一条边的长度，它的取值可以是不同的数值，即x的数值是可以变化的，∴x是变量， ∵在中，x是变量，当x的取值发生变化时，S的值也会随之改变， ∴S是变量． 故选：A． 4．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 5.在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 【答案】蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温 【分析】此题考查了函数的变量，根据变量的定义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，在这个问题中，变量是蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 故答案为：蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 6．亮亮在帮妈妈收拾碗筷的时候，发现同款盘子摞在一起的高度与盘子的数量（只）之间的几组对应值如下表，则与之间的关系式为 盘子数量（只） 1 2 3 5 盘子高度 3 4.5 6 9 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，根据表格数据分析得出每增加1只盘子，增加盘子高度为，结合1只盘子数量时盘子的高度，写出与之间的关系式即可． 【详解】解：由表格数据得：每增加1只盘子，增加盘子高度， ， ∴与之间的关系式为， 故答案为：． 7．如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高h（）大到小变化时，圆柱的体积随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________； (3)当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由__________变化到__________． 【答案】(1)圆柱的高h；圆柱的体积V (2) (3)； 【分析】本题考查函数的概念，函数关系式，函数值，掌握相关概念是解题的关键． （1）利用函数的概念进行回答； （2）利用圆柱的体积公式求解； （3）分别计算出和应的函数值可得到V的变化情况． 【详解】（1）解：∵当圆柱的高h从大到小变化时，圆柱的体积V随之发生变化， ∴自变量是圆柱的高h，因变量是圆柱的体积V． 故答案为：圆柱的高h；圆柱的体积V （2）解：∵， ∴圆柱的体积V与高h之间的关系式是． 故答案为： （3）解：当时，， 当时，， ∴当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由变化到． 故答案为：； 8．实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 9 ．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 【分析】本题主要考查代数式： （1）根据常量和变量的定义即可求得答案； （2）根据表格数据可知，每分钟放水立方米； （3）根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：常量：每分钟的放水量． 变量：放水时间，水池中剩余水量． （2）∵表格数据可知，每分钟放水立方米，且原本有50立方米的水， ∴． （3）根据题意，得 ． 解得 ． 答：当放水分钟时，水池的水恰好全部放完． 能力提升 1．表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系： 用含的代数式表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，观察表格中的数据得出每增加，增加，从表格中的数据得出规律，得出关系式即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，当每增加，增加， ∵， ， ， ， ， ∴， 故选：D． 2．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，变量是温度和声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A. 在这个变化过程中，变量是温度和声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 3．大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温 … … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，由表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次，据此即可求解； 【详解】解：由表格数据可知，温度每升高，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加次， 在温度为，蟋蟀每分钟鸣叫次的基础上， 可得：若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次，则该地当时的气温约为， 故选：C 4．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 【答案】 【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以． 所以，当导热率为时，温度为， 故答案为：． 5．物理课上老师带领学生探究气体压强与气体体积的关系，他们在气缸内充入了一定量的气体，当保证温度不变时，记录气缸内的气体压强与气体体积（），数据如下： 气缸内的气体压强 240 200 160 120 96 80 气缸内气体体积（m3） 1 则用式子表示与之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据变量的变化规律写出变量之间的关系式是解题的关键 ，据表格中数据的变化规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴与之间的关系是． 故答案为∶． 6．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 【答案】(1)反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量 (2)水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定 (3)时间每增加，水的温度增加，到时恒定 (4)为了节约能源，应在后停止烧水 【分析】本题主要考查了常量与变量，根据表格中数据分别分析得出是解题关键． （1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断； （2）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （3）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （4）根据表格中数据得出答案即可． 【详解】（1）解：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量， 答：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量； （2）解：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定， 答：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定； （3）解：时间每增加，水的温度增加，到时恒定， 答：时间每增加，水的温度增加，到时恒定 （4）解：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水， 答：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水． 7．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】(1)反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系 (2)当提出概念所用时间为时，学生的接受能力最强 (3)当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中时，y的值最大是59.9，即可求解； （3）根据表格中的数据即可求解． 【详解】（1）解：反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系． （2）解：当时，y的值最大是59.9， 答：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （3）解：由表中数据可知：当时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 8．背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： (1)若表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为_____； (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加_____，当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从_____增加到_____； (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题主要考查代数式的运用，掌握代数式表示数或数量关系的方法是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意，代入计算即可； （3）根据题意，代入计算求和即． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：当时，，当时，，当时，， 故答案为：，，； （3）解：二氧化碳排放量的总和为， ∴小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 声明：试题解析著作权属所有 ，未 拔高拓展 1．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水， 由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：； 由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：； 得：， ∴， 故答案为：． 2．兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 【答案】(1) (2)她们各自买了10千克苹果？各自花了元 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用， （1）分和，两种情况根据所给苹果价格方案列式求解即可； （2）当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元，则在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，故，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； ∴； （2）解：当时，李阿姨需付款元，王阿姨需要付款元， ∴在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：她们各自买了10千克苹果？各自花了元． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1.1 变量与函数（第1课时 变量与常量）（分层作业） 基础训练 1．假期小敏一家自驾游山西，爸爸开车到加油站加油，小敏发现加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（      ） A．单价 B．金额 C．油量 D．金额和油量 2．一个圆柱的半径为，高为，则这个圆柱的体积与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．两邻边长分别为2与的长方形的面积为S，下列对于三个量描述正确的是（    ） A．2是常量；S，是变量 B．S是常量；2，是变量 C．是常量；2，S是变量 D．2，是常量；S是变量 4．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 5.在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 6．亮亮在帮妈妈收拾碗筷的时候，发现同款盘子摞在一起的高度与盘子的数量（只）之间的几组对应值如下表，则与之间的关系式为 盘子数量（只） 1 2 3 5 盘子高度 3 4.5 6 9 7．如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高h（）大到小变化时，圆柱的体积随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________； (3)当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由__________变化到__________． 8．实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 9 ．某小组同学测量一个蓄水50立方米的蓄水池放水时水池中剩余水量的变化，得到了以下几组数据． 放水时间t/分钟 1 2 3 4 5 … 水池中剩余水量y/立方米 48 46 44 42 40 … (1)在这个变化过程中，分别指出常量和变量； (2)写出水池中剩余水量y与放水时间t的关系式； (3)当放水多少分钟时，水池的水恰好全部放完？ 能力提升 1．表中给出的统计数据，表示皮球从高度落下时与反弹到高度的关系： 用含的代数式表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，变量是温度和声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 3．大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温 … … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … … 若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次，则该地当时的气温约为（   ） A． B． C． D． 4．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料--纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如表：根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ． 温度 100 150 200 250 300 350 导热率 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 5．物理课上老师带领学生探究气体压强与气体体积的关系，他们在气缸内充入了一定量的气体，当保证温度不变时，记录气缸内的气体压强与气体体积（），数据如下： 气缸内的气体压强 240 200 160 120 96 80 气缸内气体体积（m3） 1 则用式子表示与之间的关系是 6．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 7．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ ． 8．背景资料： “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低（特别是二氧化碳的）排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳量计算公式．根据图中信息，解决下列问题： (1)若表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为_____； (2)在上述关系中，耗油量每增加，二氧化碳排放量就增加_____，当耗油量从增加到时，二氧化碳排放量就从_____增加到_____； (3)小明家本月家居用电约，天然气，自来水，开私家车耗油，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和． 声明：试题解析著作权属所有 ，未 拔高拓展 1．有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ． 2．兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到万亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，售价为每千克9元，如果一次购买4千克以上的这种苹果，超过4千克的部分按售价的七五折售卖．设（元）表示付款金额，（千克）表示购买的质量． (1)求出与之间的关系式；（提示：分两种情况） (2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千克苹果？各自花了多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司 $$