7.3二元一次方程组的应用（9大题型提分练，含讲解课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（鲁教版五四制）

7.3二元一次方程组的应用 简单数学工作室 1 题型一、年龄问题 1．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 简单数学工作室 2．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ （1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 简单数学工作室 题型二、几何问题 3．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形， 若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为， 根据题意，下列方程组正确的是（    ）  A． B． C． D． 4．如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多， 则列出关于x，y的方程组是 　               　  5．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 解：由题意可得：． 故答案为：．  解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 简单数学工作室 6．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．  (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． （1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高， 单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为 简单数学工作室 题型三、数字问题 7．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 8．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是 ． 解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 简单数学工作室 9．列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题：(1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． （1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的 正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数 ． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 简单数学工作室 题型四、方案问题 10．2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? （1）解：设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人， 根据题意得， 解这个方程得， 答：八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人； （2）解：（元） 答：两班联合起来购票能省447元钱． 简单数学工作室 11．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在（2）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ （1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为10万元，型汽车每辆的进价为25万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车15辆，型车2辆；方案二：购进型车10辆，型车4辆；方案三：购进型车5辆，型车6辆； （3）解：方案一获得利润： （元； 方案二获得利润： （元； 方案三获得利润： （元． ， 购进型车5辆，型车6辆获利最大，最大利润是125000元． 简单数学工作室 12．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． （1）解：设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元． 根据题意，得，解得 每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元． （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器． 根据题意，得， 化简，得． 该超市这天两种规格的倒装壶瓷器都有销售， 、均为正整数， 有和两种情况， 即该超市这天共有两种销售方案： ①种规格的倒装壶瓷器销售了4件， 种规格的倒装壶瓷器销售了6件； ②种规格的倒装壶瓷器销售了8件， 种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 简单数学工作室 题型五、行程问题 13．如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟． 解：设步行速度为，则车速为， 设，， 则的路程为，的路程为， 根据题意知 ，， 解得， 则从步行至，再从坐车所需总时间为（分钟）， 故答案为：25． 简单数学工作室 14．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ．   解：依题意，设甲的速度为，乙的速度为， 由函数图像可列方程：， 解得：，， ∴甲的速度为， 甲到达目的地行驶的时间为， 此时乙距目的地的距离为： ， ∴点C的坐标为：． 故答案为： 简单数学工作室 15．、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 解：设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时， 根据题意，得， 整理，得， 故， 解得， 答：甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时． 简单数学工作室 题型六、古代问题 16．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确D．小青、小云都错误 17．我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是 ． 解：设人数量为个，车的辆数为辆， 若3人坐一辆车，则两辆车是空的， ∴； 若2人坐一辆车，则9人需要步行， ∴， ∴， 根据意可列出方程组为， 即小青错误，小云正确， 故选：B． 解：设绳长尺，井深尺． 根据题意得，． 故答案为：． 简单数学工作室 题型七、方案问题 17．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． （1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人， 根据题意；， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 则（辆），（辆）． 答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆． （2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆， 根据题意：，即， 为非负整数，且，解得：或或， 则大巴车租用的数量依次为：， 则租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆． 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆． 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． （3）解：方案一：租金为（元）； 方案二：租金为（元）； 方案三：租金为（元）； ， 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元． 简单数学工作室 18．某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． (1)求每辆A、B型车的车载座位数； (2)若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． （1）解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人， 根据题意得， 解得， 每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； （2）解：设租型车辆，则租型车辆， ∵要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍， ∴ ， 解得， 设租金为，则， ∵， ∴随的增大而增大， 当，则有最小值，且为， 即租型车10辆，则租型车5辆，租金最少，最少租金是元． 简单数学工作室 19．综合与实践 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为__________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，若先接x秒的温水，再接开水，请问最后水杯中的温度y与x的关系；若要接一杯的水，要先接多少秒温水？ （1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， ， 解得：， 答：再接温水的时间为秒， 故答案为：29； （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， ， 解得：， 答：乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒； （3）解：根据题意得：温水，则开水为， ∵最后水杯中的温度y， 依题意，， ∴， 当时，， 解得：， ∴要先接20秒温水． 简单数学工作室 题型八、营销问题 20．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 解：设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支． 根据题意，得， 解，得， 答：购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支． 简单数学工作室 21．为振兴乡村农产品发展，石板镇水果批发市场某农资联盟公司特引进甲、乙两种特产，由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过20吨．已知甲种特产的进价是每吨10万元，售价是每吨10.5万元；乙种特产的进价是每吨1万元，售价是每吨1.2万元． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． （1）解：设该公司这个月销售甲、乙两种特产分别为吨、吨， 根据题意得， 解得， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为吨、吨； （2）解：设该公司一个月销售甲种特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 甲特产的销售量不超过20吨， ， 当时，取得最大值，最大值为， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为万元． 简单数学工作室 21．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里．  A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 题型十、提升训练 简单数学工作室 22．如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间分钟的变化图象．  (1)求放入的长方体的高度； (2)求该容器注满水所用的时间； (3)若长方体铁块的底面积为，求圆柱体的底面积． （1）解：由图象可知，当时，水面到达长方体的上表面， 长方体的高度为 （2）解：设所在直线与的函数关系式为、b为常数，且 将，和，代入， 得， 解得， 当该容器注满水时，， 即，解得， 该容器注满水所用的时间为21分钟． （3）解：设圆柱体的底面积为，每分钟向容器内注水 根据题意，得， 解得， 圆柱体的底面积为 简单数学工作室 $$ 7.3二元一次方程组的应用 题型一、年龄问题 1．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 2．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 3．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 4．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 题型二、几何问题在二元一次方程组的应用 5．若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 8．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 9．把一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大48°，则∠1＝ 度，∠2＝ 度．    10．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 11．已知长方形的长为，宽为，其中（，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为；如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求的值． 12．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 题型三、数字问题 13．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 14．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是 ． 15．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 16．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 17．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 18．列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 题型四、方案问题 19．某班52名师生准备去亮子河旅游，为确定旅游费用，班主任刘老师派班长去了解船只租金情况，班长得到如下表格： 型号 A型 B型 每只船载客（人） 5 3 每只船租金（元） 160 105 (1)如果两种船都租，且既不超载也不空载，那么你能设计出几种租船方案？ (2)若你是班长，为了使总租金最少，应该选择怎样的租船方案？ 20．某校组织八年级师生开展以“寻根河南，生生不息”为主题，为期一天的“河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知3辆甲型客车和1辆乙型客车可乘坐195人；1辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐165人． (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用W元与租用甲型客车数量a辆的函数关系式______． 21．2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 22．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在（2）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 23．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 24．某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． (1)求七年级师生的总人数； (2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 25．“泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． (1)绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ (2)某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 26．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 27．根据以下素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每1元可乘坐6公里；超过24公里，每1元可乘坐8公里．例如：单程6.8公里，普通车厢单人票价（不优惠）为元 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受5折优惠 素材3 某学校八年级（1）班共32名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从海上世界站到世界之窗站． 问题解决 任务1 乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站单程11.6公里，地铁普通车厢单人票价（不优惠）为 元． 任务2 若全班同学乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费100元．求使用《深圳通学生卡》和原价乘坐地铁的学生人数分别为多少人？ 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从海上世界打车到世界之窗费用为每辆车36元，每辆车坐满4位同学．设有位同学打车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为W元，求与的函数关系式（不要求写自变量取值范围），并求在单程交通费预算200元时，最多有几位同学可以打车前往？ 题型五、行程问题 28．甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 29．一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 30．如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    31．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ． 32．从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 33．、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 34．如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 35．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 36．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 题型六、古代问题 37．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 38．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 39．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 40．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 41．我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是 ． 42．《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 43．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 44．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题． 45．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 46．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 题型七、方案问题 47．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 48．列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 49．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 50．某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的，乙仓库所存原料的，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨． (1)求甲，乙两仓库各存放原料多少吨； (2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元吨和100元吨．设从甲仓库运吨原料到工厂，请求出总运费关于的函数解析式，并求出从甲，乙仓库分别运多少吨时，总运费最少． 51．综合与实践 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为__________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，若先接x秒的温水，再接开水，请问最后水杯中的温度y与x的关系；若要接一杯的水，要先接多少秒温水？ 52．某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． (1)求每辆A、B型车的车载座位数； (2)若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 53．小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 54．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 题型八、营销问题 55．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 56．为振兴乡村农产品发展，石板镇水果批发市场某农资联盟公司特引进甲、乙两种特产，由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过20吨．已知甲种特产的进价是每吨10万元，售价是每吨10.5万元；乙种特产的进价是每吨1万元，售价是每吨1.2万元． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 57．为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）． (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元 (2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 58．七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】销售问题 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 学校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需要购买篮球、足球若干个． 班长小明了解到本市有一体育用品商店对篮球和足球统一进行打折出售（折扣数相同）．打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元． 素材2 班长小明买了5个篮球和4个足球，一共花费了688元． [相关问题] 任务1 打折前，篮球和足球的单价各为多少元？ 任务2 篮球和足球打几折出售？ 59．为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元． (1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？ (2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？ 60．春节饰品不仅具有装饰作用，还蕴含着丰富的文化内涵和美好的寓意．春节饰品种类繁多，其中福字、春联、中国结和红灯笼最受市民喜爱．某超市推出了两款春节饰品套装A、B礼盒．已知购买3盒礼盒与购买1盒礼盒一共需要250元，购买2盒礼盒与购买3盒礼盒一共需要400元． (1)购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要多少元？ (2)某公司准备在该商场购买A，B两款春节饰品套装礼盒共70盒，且购买礼盒的数量不超过40盒，作为春节团建会的抽奖奖品．经过商谈，商场给予该公司一定优惠，礼盒全部八折，而礼盒不打折，请问公司应该如何在该商场购买A，B两款礼盒才能使所付费用最少？最少费用是多少元？ 61．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 62．为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，岳阳某超市在“春节”黄金周前投入11220元资金购进甲、乙两种水果共400箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 50 (1)该超市购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该超市将甲种水果按成本价提高50%后标价销售；乙种水果以标价的8折销售．若这400箱水果在“春节”黄金周结束后全部售完，则该超市可获得利润多少元？ 63．年月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心成功发射．通过此次里程碑式的成功，神舟十八号不仅展现了中国航天技术的高水平，还凸显了中国在全球航天领域的竞争力．为纪念“神舟十八号”成功，某超市从厂家购进两种型号的“航天模型”，两次购进模型的情况如表： 进货批次 型模型（个） 型模型（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号航天模型的进价； (2)第三次进货用元购进这两种航天模型，如果每销售出一个型航天模型可获利元，售出一个型航天模型可获利元，超市决定每售出一个型航天模型就捐出元．若两种型号的航天模型在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 64．某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 65．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 66．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 67．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B表示的数分别为a、b，满足，是一条定长的线段（点N在点M的左侧），它在数轴上从右向左匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点B（即点B在线段上的这段过程）所需的时间为秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为秒． (1)线段______，的长为______，运动的速度为______个长度单位/秒； (2)当点M与点B重合时开始计时，设运动时间为t秒，点C是的中点，点D是的中点，同时点E从点A处出发以1个长度单位/秒速度向右运动，当时，求t的值． 68．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 69．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 70．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 71．如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间分钟的变化图象． (1)求放入的长方体的高度； (2)求该容器注满水所用的时间； (3)若长方体铁块的底面积为，求圆柱体的底面积． 72．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 73．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 74．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 纸盒类型 正方形（个数） 长方形（个数） m个横式无盖纸盒 ① 3m n个竖式无盖纸盒 n ② 任务2 再探关系 2．完善下表： 需裁成正方形 的纸板数（张） 需裁成长方形 的纸板数（张） 合计 ③ ④ 300 3．写出m，n之间满足的关系式： ⑤ 任务3 拟定方案 若计划制作86个横式无盖纸盒，则得要将 ⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 试卷第66页，共71页 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3二元一次方程组的应用 题型一、年龄问题 1．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．在我国传统文化中，“喜寿”、“米寿”、“白寿”分别是岁、岁、岁的雅称．小花在她年龄是她妈妈年龄的时，曾为奶奶贺喜寿，她在年龄为妈妈年龄的时，又为奶奶贺米寿，则小花在 岁时，将为奶奶贺白寿． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设小花为奶奶贺喜寿时年龄为岁，此时妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁， 根据题意得： 解得： ∴当奶奶岁时，小花的年龄为， ∴小花岁时将为奶奶贺白寿， 故答案为：． 3．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 4．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 题型二、几何问题在二元一次方程组的应用 5．若与互补，且，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是补角定义、二元一次方程组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 根据补角定义及已知条件列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：与互补， ， ， ∴，解得：． 故选：B． 6．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 7．如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 8．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，则每块墙砖的长是 ． 【答案】/35厘米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键． 设每块墙砖的长为，宽为，根据“三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低”列方程组求解可得． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为，根据题意得： 解得：， ． 9．把一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大48°，则∠1＝ 度，∠2＝ 度．    【答案】 69 21 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系进行列式． 根据题意结合图形列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得． 故答案为：69，21． 10．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小正方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 11．已知长方形的长为，宽为，其中（，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为；如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案； （2）由，结合（1）中，得到，再得到将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案； （3）由题意，根据新长方形的边长，分分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解，再由判定即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为， 将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为； 将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为； （2）解：由（1）知，， ， ，即， 将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积为； （3）解：面积记为的新长方形长为、宽为；面积记为的新长方形长为、宽为， 用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，正方形的边长应为， 分两种情况拼接，如图所示： ①或②， 解①得；解②得； ， 满足题意，即，． 【点睛】本题考查整式的实际应用，涉及列代数式、整式混合运算、代数式化简求值、列方程组解决问题等知识，读懂题意，准确列出代数式、等式及方程组求解是解决问题的关键． 12．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【答案】(1)60 (2)20 (3)63 【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可； （3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为． 题型三、数字问题 13．有一个三位数，现将它最左边的数字移至最右边所得到的数比原来的数小；而由它的十位数字与个位数字所组成的两位数除以百位数字，商是，余数是．如果设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，可得方程组是（ ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字问题与二元一次方程组，根据等量关系列方程是解题的关键； 设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设这个三位数的百位为，十位与个位数字组成的两位数为； 根据题意列方程为：， 故选：B 14．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 15．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程． 由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为，然后以此得出可知第三行左边的数字为，第一行中间的数字为，第三行中间数字为，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 【详解】解：如图， 根据题意，可得： 第二行的数字之和为：， 可知第三行左边的数字为：， 第一行中间的数字为：， 第三行中间数字为：， 第三行右边数字为：， 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于可得方程组为： ， 解得 ， ， 故答案为：． 16．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2)35 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 17．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 18．列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 题型四、方案问题 19．某班52名师生准备去亮子河旅游，为确定旅游费用，班主任刘老师派班长去了解船只租金情况，班长得到如下表格： 型号 A型 B型 每只船载客（人） 5 3 每只船租金（元） 160 105 (1)如果两种船都租，且既不超载也不空载，那么你能设计出几种租船方案？ (2)若你是班长，为了使总租金最少，应该选择怎样的租船方案？ 【答案】(1)三种 (2)A型船8只，B型船4只 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设租A型船只，B型船只，可得，根据取正整数求出方程的解即可； （2）分别求出三种方案的租金，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设租A型船只，B型船只，可得（取正整数）， 解得或或， 即如果两种船都租，且既不超载也不空载，一共有三种设计方案： 方案一，租用A型船2只，B型船14只； 方案二，租用A型船5只，B型船9只； 方案三，租用A型船8只，B型船4只． （2）解：方案一的租金为：（元）， 方案二的租金为：（元）， 方案三的租金为：（元）． 由上可得方案三租金最少， 故使总租金最少，应该选择的租船方案是A型船8只，B型船4只． 20．某校组织八年级师生开展以“寻根河南，生生不息”为主题，为期一天的“河南之旅”研学实践活动，学校计划租用甲、乙两种不同型号的客车，已知3辆甲型客车和1辆乙型客车可乘坐195人；1辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐165人． (1)甲、乙两种不同型号的客车每辆分别可乘坐多少人？ (2)已知甲型客车每天的租车费用为1200元，乙型客车每天的租车费用为1500元，学校计划共租用12辆客车，请写出总租车费用W元与租用甲型客车数量a辆的函数关系式______． 【答案】(1)甲型号的客车每辆乘坐45人，乙型号的客车每辆乘坐60人 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设每辆甲型客车可乘坐人，每辆乙型客车可乘坐人，根据＂3辆甲型客车和1辆乙型客车可乘坐195人；1辆甲型客车和2辆乙型客车可乘坐165人＂，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，根据总租车费用=每辆甲型客车的租车费用租用甲型客车的数量+每辆乙型客车的租车费用租用乙型客车的数量，即可得出关于的函数关系式； 【详解】（1）设每辆甲型客车可乘坐人，每辆乙型客车可乘坐人， 依题意，得：， 解得：． 答：每辆甲型客车可乘坐45人，每辆乙型客车可乘坐60人． （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， 依题意，得： 故答案为：． 21．2024年8月22日，山西省文化和旅游厅正式启动“跟着悟空游山西”活动，某校组织八年级学生探寻山西省历史文化的研学活动． ×××景区票价一览表 购票人数/人 单价/元 1〜50 18 51〜100 15 100以上 12 参加活动的八年级（1）（2）两个班共101人去游览山西运城某景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1659元； (1)两班各有学生多少人? (2)如果两班联合起来作为一个团体购票，则可以节省不少的钱，联合起来购票能省多少钱? 【答案】(1)八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人 (2)两班联合起来购票能省447元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键． （1）设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人，根据八年级（1）（2）两个班共101人；一共应付1659元，列二元一次方程组即可解答； （2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：设八年级（1）班有x人，八年级（2）班有y人， 根据题意得， 解这个方程得， 答：八年级（1）班有48人，八年级（2）班有53人； （2）解：（元） 答：两班联合起来购票能省447元钱． 22．随着“低碳生活、绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案． (3)若该汽车销售公司销售一辆A型汽车可获利4000元，销售一辆B型汽车可获利7000元，在（2）的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为10万元，型汽车每辆的进价为25万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车15辆，型车2辆；方案二：购进型车10辆，型车4辆；方案三：购进型车5辆，型车6辆； (3)购进型车5辆，型车6辆获利最大，最大利润是125000元． 【分析】（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计60万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为10万元，型汽车每辆的进价为25万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车15辆，型车2辆；方案二：购进型车10辆，型车4辆；方案三：购进型车5辆，型车6辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车5辆，型车6辆获利最大，最大利润是125000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． 23．耀州瓷是北方青瓷的代表，出产于陕西省铜川市耀州区，以瓷质细腻，色泽青翠晶莹、线条明快流畅、造型端庄浑朴著称于世．某瓷器超市有、两种规格的倒装壶瓷器按定价销售，已知3件种规格的倒装壶瓷器和2件种规格的倒装壶瓷器总售价为1700元，4件种规格的倒装壶瓷器和1件种规格的倒装壶瓷器总售价为1600元． (1)分别求出每件种规格的倒装壶瓷器和每件种规格的倒装壶瓷器的定价； (2)旅游旺季期间，某天该瓷器超市通过销售这两种规格的倒装壶瓷器共获得3600元，且两种规格的倒装壶瓷器都有销售，请你计算该超市这天所有可能的销售方案（即每种规格的倒装壶瓷器各销售了多少件）． 【答案】(1)每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元 (2)该超市这天共有两种销售方案：①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件；②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，正确理解题意是解题的关键： （1）设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，根据题意，得，求解即可得出答案； （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器，根据题意，得，根据、均为正整数，有和两种情况，进而得出答案． 【详解】（1）解：设每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为元． 根据题意，得，解得 每件种规格的倒装壶瓷器的定价为300元，每件种规格的倒装壶瓷器的定价为400元． （2）设该超市这天销售了件种规格的倒装壶瓷器、件种规格的倒装壶瓷器． 根据题意，得， 化简，得． 该超市这天两种规格的倒装壶瓷器都有销售， 、均为正整数， 有和两种情况， 即该超市这天共有两种销售方案： ①种规格的倒装壶瓷器销售了4件，种规格的倒装壶瓷器销售了6件； ②种规格的倒装壶瓷器销售了8件，种规格的倒装壶瓷器销售了3件． 24．某校准备组织七年级师生去红军长征湘江战役纪念馆参观学习，学校联系某客运公司有60座和45座两种客车可供租用．学校如果全部租用45座的客车，那么七年级师生全部有座，且还剩余15个空座位；如果全部租用60座的客车，则可少租3辆，且正好坐满． (1)求七年级师生的总人数； (2)已知客运公司60座的客车每辆每天的租金是900元，45座的客车每辆每天的租金是700元．若学校从该客运公司租用客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车都恰好坐满，求出满足条件的所有租车方案，并说明哪一种租车方案最省钱？ 【答案】(1)480人 (2)方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆；方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆；方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆；租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设七年级师生的总人数为x人，根据全部租用60座的客车，比租用45座的客车少租3辆，列出方程，解方程即可； （2）设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设七年级师生的总人数为x人，根据题意得： ， 解得：， 答：七年级师生的总人数为480人． （2）解：设租用60座的客车x辆，45座的客车y辆，根据题意得： ， ∵x、y为非负整数， ∴或或， 满足条件的所有租车方案有： 方案一：租用60座客车8辆，45座客车0辆； 方案二：租用60座客车5辆，45座客车4辆； 方案三：租用60座客车2辆，45座客车8辆； 方案一费用：（元）， 方案二费用：（元）， 方案三费用：（元）， ∵， ∴租用60座客车8辆，45座客车0辆最省钱． 25．“泉在济南·共赏春花”2024济南花朝节于3月23日在大明湖景区开幕，花朝节上不仅有丰富多彩的文化活动，在市集上还有各类以花为主题的文创商品．已知2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元． (1)绢布扇和手帐本的单价分别是多少元？ (2)某商店为吸引游客，推出了投壶小游戏，凡购买一件文创商品可获得一次投壶机会，投中3次即可免费赠送文创书签．一名游客恰好用110元购买了绢布扇和手帐本两种文创商品，问分别购买多少个绢布扇和手账本获得的投壶机会最多？ 【答案】(1)绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元 (2)分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元，根据2个绢布扇和3个手帐本需花费90元，3个绢布扇和4个手帐本需花费125元列出方程组求解即可； （2）设购买绢布扇m个，购买手账本n个，根据总费用为110元列出方程求出m、n的值，再求出的最大值即可得到结论． 【详解】（1）解：设绢布扇的单价为x元，手帐本的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：绢布扇的单价为15元，手帐本的单价为20元； （2）解：设购买绢布扇m个，购买手账本n个， 由题意得，， ∴， ∴， ∵m、n都为自然数， ∴当时，； 当时，； ∵， ∴分别购买6个绢布扇和1个手账本获得的投壶机会最多． 26．某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划6月份生产安装600辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人．使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成6月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)工厂可以招聘2名、4名、6名或8名新工人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）每名熟练工每日可以安装辆自行车，每名新工人每日可以安装辆自行车，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设抽调熟练工名，根据题意可得，则，再根据为正整数，且求解即可得． 【详解】（1）解：每名熟练工每日可以安装辆自行车，每名新工人每日可以安装辆自行车， 由题意得：，解得， 答：每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车． （2）解：设抽调熟练工名， 由题意得：， 所以， ∵为正整数，且， ∴或或或， 答：工厂可以招聘2名、4名、6名或8名新工人． 27．根据以下素材，探索完成任务： 素材1 （深圳地铁官方网站）基本票价：深圳市城市轨道交通票价实行里程分段计价票制，同网同价．普通车厢起步价：首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里；12公里至24公里部分，每1元可乘坐6公里；超过24公里，每1元可乘坐8公里．例如：单程6.8公里，普通车厢单人票价（不优惠）为元 素材2 （深圳地铁官方网站）优惠政策：在校中小学生和深圳市教育局注册、政府统一管理的全日制高中（含普通和职业高中）及以下的18周岁以下学生凭《深圳通学生卡》乘坐城市轨道交通普通车厢享受5折优惠 素材3 某学校八年级（1）班共32名同学参加班级活动，计划乘坐地铁普通车厢从海上世界站到世界之窗站． 问题解决 任务1 乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站单程11.6公里，地铁普通车厢单人票价（不优惠）为 元． 任务2 若全班同学乘坐地铁2号线从海上世界站到世界之窗站，其中有部分同学使用《深圳通学生卡》乘坐，其余同学按原价乘坐，共花费100元．求使用《深圳通学生卡》和原价乘坐地铁的学生人数分别为多少人？ 任务3 现计划有变，部分同学需打车先去布置班级活动场地，从海上世界打车到世界之窗费用为每辆车36元，每辆车坐满4位同学．设有位同学打车，其余同学乘坐地铁（不优惠）前往，班级单程交通费为W元，求与的函数关系式（不要求写自变量取值范围），并求在单程交通费预算200元时，最多有几位同学可以打车前往？ 【答案】任务1： 任务2：， 任务3： 【分析】本题主要考查了有理数加法在生活中的应用，二元一次方程组的应用，一次函数的应用等知识点，理解题意，弄清数量关系并正确列出方程组或函数解析式是解题的关键． （1）任务1：根据“首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里”，可得出11.6公里需要的单人票价； （2）任务2：设有位同学使用了深圳通学生卡，位同学原价乘坐地铁，根据题意列出方程组求解即可； （3）任务3：根据“班级单程交通费打车的费用乘坐地铁的费用”列出函数解析式，再根据单程交通费预算200元和的取值范围即可得出的值． 【详解】解：（1）任务1： ∵首4公里2元；4公里至12公里部分，每1元可乘坐4公里， ∴11.6公里需要：（元）， 故答案为：4； （2）任务2： 设有位同学使用了深圳通学生卡，位同学原价乘坐地铁， 根据题意得：， 解得：， 答：有14位同学使用了深圳通学生卡，18位同学原价乘坐地铁； （3）任务3： 根据题意得：， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，， ∵为4的正整数倍且， ∴， 答：在单程交通费预算200元时，最多有12位同学可以打车前往． 题型五、行程问题 28．甲、乙二人都以不变的速度在环形跑道上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔相遇一次；如果同向而行，每隔相遇一次．则（   ） A．甲每分跑圈，乙每分跑圈 B．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 C．甲每分跑圈，乙每分跑圈 D．甲每分跑圈，乙每分跑圈或甲每分跑圈，乙每分跑圈 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，由题意得出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为，环形路的长度为单位1，当甲比乙跑得快时， 由题意得， 解得， ∴甲每分跑圈，乙每分跑圈， 当乙跑得比甲快时，同理可得：甲每分跑圈，乙每分跑圈； 故选：B． 29．一道来自课本的习题： 从王老师家到学校全程，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路，王老师每天步行上下班．如果上坡路的平均速度为，平路的平均速度为，下坡路的平均速度为，那么王老师从家到学校需分钟，从学校到家需分钟．求从王老师家到学校的上坡路、平路和下坡路的路程． 小吴将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，列出了以下四个方程，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列分式方程，王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：王老师从家到学校的上坡路、平路的路程分别是 、 ， 根据题意得 故选：C． 30．如图，从A至，步行走粗线道需要35分钟，坐车走曲细线道需要22.5分钟，车行驶的距离是步行粗线的3倍，车行驶的距离是A至步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从A至步行，再从坐车所需要的总时间是( )分钟．    【答案】25 【分析】本题主要考查列代数式及方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组．设步行速度为，则车速为，设，，则的路程为，的路程为，再根据题意列出方程组，进一步求解即可． 【详解】解：设步行速度为，则车速为，设，， 则的路程为，的路程为， 根据题意知，， 解得， 则从步行至，再从坐车所需总时间为（分钟）， 故答案为：25． 31．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查函数图像的应用，解题的关键是根据函数图像得到实际的含义，再列式求解．由函数图像在B点处可知50秒时甲追上乙，C点为甲到达目的地，D点为乙达到目的地，可设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，求出甲、乙的速度，再求出甲到达目的地所用的时间，即可求出点C的横坐标，求出甲到达目的地时，乙行驶的路程，即可求出点C的纵坐标． 【详解】解：依题意，设甲的速度为，乙的速度为， 由函数图像可列方程：， 解得：，， ∴甲的速度为， 甲到达目的地行驶的时间为， 此时乙距目的地的距离为： ， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 32．从A地到B地全程，前一路段为国道，其余路段为高速公路．一辆汽车从A地开往B地一共行驶了．已知汽车在国道上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，则A，B两地间国道和高速公路各多少千米？ 【答案】，两地间国道和高速公路分别是千米，千米 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组； 首先设，两地间国道和高速公路分别是、千米，根据题意可得等量关系：国道路程高速路程，在国道上行驶的时间在高速公路上行驶的时间，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设，两地间国道和高速公路分别是千米，千米， 根据题意，得， 解得， 答：，两地间国道和高速公路分别是千米，千米． 33．、两地相距36千米，若甲、乙两人都从地去地，乙比甲先出发2小时，甲出发4小时后追上乙；若甲、乙分别从、两地出发，相向而行，乙比甲早出发小时，两人在甲出发后3小时相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时 【分析】设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时，根据题意，得，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为x千米／时，乙的速度为y千米／时， 根据题意，得， 整理，得， 故， 解得， 答：甲的速度为6千米／时，乙的速度为4千米／时． 34．如图，有一条三角形的环路，A至B 段是上坡路，B至C段是下坡路，A至C段是平路，A至B、B至C、C至A三段距离的比是，小琼和小芳同时从A出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C至D段是多少千米？ 【答案】2千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设，根据时间路程速度，结合2个半小时后在上的D 点相遇，列出方程组求解即可． 【详解】解：设， 由题意得， 解得， 答：的实际距离为2千米 35．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 36．青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 题型六、古代问题 37．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（‘两’为我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两，问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案． 【详解】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为： ． 故选：B． 38．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 39．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据“绳索比竿长5尺；绳索对半折比竿短5尺”列方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 40．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次和二元一次方程组是解题的关键，根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，和关于的一元一次方程． 【详解】解：设人数量为个，车的辆数为辆， 若3人坐一辆车，则两辆车是空的， ∴； 若2人坐一辆车，则9人需要步行， ∴， ∴， 根据意可列出方程组为， 即小青错误，小云正确， 故选：B． 41．我国古代数学著作《增删算法统宗》有关于“绳量井”的记载：“一口井一条绳，绳比井长一庹．折回绳却量井，却比井短一庹”其大意为：现有一口井和一条绳，用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺．设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组）． 根据“用绳去量井，绳比井长5尺；如果将绳对折后再去量井，就比井短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，井深尺． 根据题意得，． 故答案为：． 42．《算法统宗》中有这样一首诗： 巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争． 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． 请用一元一次方程或者二元一次方程组求解上述问题． 【答案】624个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用： 法1：设寺内有x个和尚，根据三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，共有三百六十四只碗，列出方程进行求解即可； 法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：法1：设寺内有x个和尚，根据题意，得， 解得：， 答：寺内有624个和尚；                                  法2：设盛饭用了x只碗，盛羹用了y只碗，根据题意，得： ，解得， 所以 答：寺内有624个和尚． 43．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 【分析】设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱， 依题意，得：， 解得：． 答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 44．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱，问人数和物品的价格分别是多少？”请你用二元一次方程组的知识解答这个问题． 【答案】人数为人，物品的价格为钱 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解．设人数为人，物品的价格为钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人数为人，物品的价格为钱， 由题知，， 解得：， 答：人数为人，物品的价格为钱． 45．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的重量． 【答案】黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设黄金每枚重x两，白银每枚重y两，根据甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后．甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），再建立方程组求解即可． 【详解】解：设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 ∴丙袋的重量为（两）． 答：黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的重量为260两． 46．程大位是珠算发明家，他随时留心数学，遍访名师，于60岁完成其杰作《算法统家》．该书中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”这首诗的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人总共饮下了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒分别饮了多少瓶？（列二元一次方程组解答） 【答案】醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据33位客人总共饮下了19瓶酒，醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶． 根据题意，得 解得； 答：他们醇酒饮了10瓶，薄酒饮了9瓶． 题型七、方案问题 47．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 【详解】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 48．列一元一次方程解应用题： 某家具加工车间准备组装一批双人桌椅，即张桌子配把椅子，为提前完成任务，在原有名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人． (1)求调入多少名工人； (2)在（1）的条件下，若每名工人每天可以组装张桌子或把椅子，为使每天组装的桌椅刚好配套，应该安排组装桌子和椅子的工人各多少名？ 【答案】(1)名工人 (2)应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设调入名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的倍少人”进行列式，得，可解得答案； （2）设名工人生产桌子，由“张桌子配把椅子”进行列式，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：设调入名工人， 根据题意得：， 解得：， 答：调入名工人； （2）解：由（1）知，调入名工人后，车间有工人（人）， 设名工人生产桌子，则名工人生产椅子， ∵每天组装的桌椅刚好配套， ∴， 解得：， ∴， 答：应该安排组装桌子和椅子的工人分别为人和人． 49．我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆 (2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． (3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可； （2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可； （3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人， 根据题意；， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 则（辆），（辆）． 答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆． （2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆， 根据题意：，即， 为非负整数，且，解得：或或， 则大巴车租用的数量依次为：， 则租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆． 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆． 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． （3）解：方案一：租金为（元）； 方案二：租金为（元）； 方案三：租金为（元）； ， 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元． 50．某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的，乙仓库所存原料的，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨． (1)求甲，乙两仓库各存放原料多少吨； (2)现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元吨和100元吨．设从甲仓库运吨原料到工厂，请求出总运费关于的函数解析式，并求出从甲，乙仓库分别运多少吨时，总运费最少． 【答案】(1)甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨 (2)，从甲仓库运90吨、从乙仓库运210吨，总运费最少 【分析】本题考查了二元一次方程组及一次函数的性质，解（1）的关键是利用等量关系列出二元一次方程组，解（2）的关键是利用运费间的关系得出函数解析式，并灵活利用一次函数的性质，要分类讨论． （1）设甲仓库存放原料吨，乙仓库存放原料吨，根据甲乙两仓库原料间的关系，列方程组求解即可得到答案； （2）设从甲仓库运吨原料到工厂，根据甲的运费与乙的运费，可得函数关系式，再由一次函数性质分析即可得到总运费最少的情况． 【详解】（1）解：设甲仓库存放原料吨，乙仓库存放原料吨，由题意得 ，解得， 答：甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨； （2）解：由题意知，从甲仓库运吨原料到工厂，则从乙仓库运原料吨到工厂， 总运费， ，由一次函数的性质可知，随的增大而增大， 越小，运费越少，即全部从乙仓库运运原料总运费最少， 由（1）知，甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨， 将乙仓库的210吨原料全部运往工厂，剩余吨从甲仓库运， 答：从甲仓库运90吨、从乙仓库运210吨，总运费最少． 51．综合与实践 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水8秒，则再接温水的时间为__________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是27秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯700的温水和开水混合的水，先接温水再接开水，若先接x秒的温水，再接开水，请问最后水杯中的温度y与x的关系；若要接一杯的水，要先接多少秒温水？ 【答案】(1)29 (2)乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒； (3)，要先接20秒温水 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一次函数的应用，理解题意，列出方程及函数关系式是解题关键． （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）根据题意得：温水，则开水为，然后列出等式，整理出函数关系式为，然后求解即可． 【详解】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， ， 解得：， 答：再接温水的时间为秒， 故答案为：29； （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， ， 解得：， 答：乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒； （3）解：根据题意得：温水，则开水为， ∵最后水杯中的温度y， 依题意，， ∴， 当时，， 解得：， ∴要先接20秒温水． 52．某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． (1)求每辆A、B型车的车载座位数； (2)若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 【答案】(1)每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； (2)租型车10辆，则租型车5辆，租金最少，最少租金是元． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． （1）设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，可得，即可解得每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； （2）设租型车辆，则租B型车辆，根据“要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍”， ，设租金为，则，结合一次函数的性质，即可作答． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人， 根据题意得， 解得， 每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； （2）解：设租型车辆，则租型车辆， ∵要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍， ∴ ， 解得， 设租金为，则， ∵， ∴随的增大而增大， 当，则有最小值，且为， 即租型车10辆，则租型车5辆，租金最少，最少租金是元． 53．小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 【答案】(1)；；； (2)方法2剪28根，方法3剪4根； (3)方法1剪14根，方法3剪18根． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题目中所给的信息合理列出方程是解题的关键． （1）由总数每份数份数解答即可； （2）设用方法2剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可； （3）设用方法1剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可． 【详解】（1）解：方法1：，最多可剪根； 方法2：，最多可剪根； 方法3：，最多可剪根； 故答案为：；；； （2）解：设用方法2剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法2剪28根，方法3剪4根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； （3）解：设用方法1剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法1剪14根，方法3剪18根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； 54．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， m，n为非负整数， 或或 故答案为：8，3；0，6； 任务二：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，， 解得： ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张． 题型八、营销问题 55．“一笔一世界，一划一时光”．如图是一款便携小楷软头笔——钢笔式毛笔，巧妙地将传统毛笔的韵味与现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的墨囊，已知一支钢笔式毛笔的进价为30元，一支墨囊的进价为2元，为吸引顾客，文具店将1支钢笔式毛笔和4支墨囊搭配成套装进行销售，所购进的钢笔式毛笔和墨囊恰好配套．求该文具店购进钢笔式毛笔和匹配的备用墨囊的数量． 【答案】购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支， 根据某文具店用3800元购进一批钢笔式毛笔和匹配的各用墨囊，1支钢笔式毛笔和4支墨囊可搭配成套装，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设购进钢笔式毛笔x支，配套墨囊y支． 根据题意，得， 解，得， 答：购进钢笔式毛笔100支，配套墨囊400支． 56．为振兴乡村农产品发展，石板镇水果批发市场某农资联盟公司特引进甲、乙两种特产，由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量不超过20吨．已知甲种特产的进价是每吨10万元，售价是每吨10.5万元；乙种特产的进价是每吨1万元，售价是每吨1.2万元． (1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ (2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1)这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为吨、吨 (2)该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为万元 【分析】问题主要考查了二元一次方程组及一次函数的应用，根据题意，找准等量关系，正确列二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设该公司一个月销售甲种特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元，可得，再根据一次函数的性质及甲种特产的销售量的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设该公司这个月销售甲、乙两种特产分别为吨、吨， 根据题意得， 解得， 答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为吨、吨； （2）解：设该公司一个月销售甲种特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而增大， 甲特产的销售量不超过20吨， ， 当时，取得最大值，最大值为， 答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润为万元． 57．为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）． (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元 (2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且，请你给出一种费用最省的方案，并求该方案所需费用． 【答案】(1)A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元； (2)购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，由题意列二元一次方程组求解即可； （2）设所需费用为W，则，利用函数增减性可知：当时，W取最小值，此时元． 【详解】（1）解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元， 则由题意可知： ， 解之得：， ∴A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元； （2）解：设所需费用为W，则由已知可得：， 由可知W随m的增大而增大， ∵， ∴当时，W取最小值，此时元， ， 故最省钱的方案是：购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费元． 58．七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】销售问题 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 学校开展“师生齐健身”活动，七年级（1）班需要购买篮球、足球若干个． 班长小明了解到本市有一体育用品商店对篮球和足球统一进行打折出售（折扣数相同）．打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元． 素材2 班长小明买了5个篮球和4个足球，一共花费了688元． [相关问题] 任务1 打折前，篮球和足球的单价各为多少元？ 任务2 篮球和足球打几折出售？ 【答案】任务1：篮球的单价为100元，足球的单价为90元；任务2：篮球和足球打8折 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据打折前买3个篮球和2个足球需480元，买2个篮球和3个足球需470元列方程组求解． （2）设篮球和足球打m折，根据题意列一元一次方程求解 【详解】解：（1）设打折前，篮球的单价为x元，足球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：打折前，篮球的单价为100元，足球的单价为90元． （2）设篮球和足球打m折 由题意得： 解得： 答：篮球和足球打8折 59．为贯彻落实党中央、国务院决策部署，陕西省推动“消费品以旧换新”行动，对购买一、二级能效绿色智能家电的消费者予以一定置换补贴．补贴标准为产品最终销售价格的，对购买级及以上能效或水校的产品，额外再给予产品最终销售价格的的补贴．某学校分两次更新部分电脑和空调（二级能效），第一次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元；第二次购买台电脑和台空调，补贴前需花费元． (1)补贴前．学校购买一台电脑和一台空调所需的资金分别是多少元？ (2)若该校两次购买的所有电脑和空调均参加以旧换新活动，则一共能获得多少元的国家补贴？ 【答案】(1)补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元 (2)一共能获得元的国家补贴 【分析】（）设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元，根据题意列出方程组即可求解； （）根据（）及题意算出每台电脑和空调以旧换新的补贴，再列式计算即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． 【详解】（1）解：设补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元， 由题意得，， 解得， 答：补贴前学校购买一台电脑所需资金为元，一台空调所需资金为元； （2）解：∵，， ∴电脑以旧换新每台补贴为元，空调以旧换新每台补贴为元， ∴元， 答：一共能获得元的国家补贴． 60．春节饰品不仅具有装饰作用，还蕴含着丰富的文化内涵和美好的寓意．春节饰品种类繁多，其中福字、春联、中国结和红灯笼最受市民喜爱．某超市推出了两款春节饰品套装A、B礼盒．已知购买3盒礼盒与购买1盒礼盒一共需要250元，购买2盒礼盒与购买3盒礼盒一共需要400元． (1)购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要多少元？ (2)某公司准备在该商场购买A，B两款春节饰品套装礼盒共70盒，且购买礼盒的数量不超过40盒，作为春节团建会的抽奖奖品．经过商谈，商场给予该公司一定优惠，礼盒全部八折，而礼盒不打折，请问公司应该如何在该商场购买A，B两款礼盒才能使所付费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元； (2)当时，最低费用为元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元，根据购买3盒礼盒与购买1盒礼盒一共需要250元，购买2盒礼盒与购买3盒礼盒一共需要400元，再建立方程组解题即可； （2）设该商场购买A款礼盒盒，则购买B款礼盒盒，费用为元，结合题意可得，再结合一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元，则 ∴， 解得：， 答：购买1盒礼盒与购买1盒礼盒分别需要元，元； （2）解：设该商场购买A款礼盒盒，则购买B款礼盒盒，费用为元， ∴， ∵，， ∴当时，最低费用为（元）． 61．某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润 台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；     ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或， 有3种购进方案： 购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台； 62．为更好地满足本地市民和外地游客的消费需求，岳阳某超市在“春节”黄金周前投入11220元资金购进甲、乙两种水果共400箱，这两种水果的成本价和标价如下表所示： 类别/单价 成本价 标价（元/箱） 甲 24 乙 33 50 (1)该超市购进甲、乙两种水果各多少箱？ (2)为了促销，该超市将甲种水果按成本价提高50%后标价销售；乙种水果以标价的8折销售．若这400箱水果在“春节”黄金周结束后全部售完，则该超市可获得利润多少元？ 【答案】(1)该商场购进甲种水果220箱，乙种水果180箱 (2)该商场可获得利润3900元 【分析】（1）设该商场购进甲种水果箱，乙种水果箱，根据岳阳某超市在“春节”黄金周前投入11220元资金购进甲、乙两种水果共400箱，列出方程组进行求解即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：设该商场购进甲种水果箱，乙种水果箱， 根据题意得： 解得： 答：该商场购进甲种水果220箱，乙种水果180箱； （2）解：根据题意得 （元）． 答：该商场可获得利润3900元． 63．年月日点分，神舟十八号载人飞船在酒泉发射中心成功发射．通过此次里程碑式的成功，神舟十八号不仅展现了中国航天技术的高水平，还凸显了中国在全球航天领域的竞争力．为纪念“神舟十八号”成功，某超市从厂家购进两种型号的“航天模型”，两次购进模型的情况如表： 进货批次 型模型（个） 型模型（个） 总费用（元） 一 二 (1)求两种型号航天模型的进价； (2)第三次进货用元购进这两种航天模型，如果每销售出一个型航天模型可获利元，售出一个型航天模型可获利元，超市决定每售出一个型航天模型就捐出元．若两种型号的航天模型在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】(1)种型号的航天模型进价为元，种型号的航天模型进价为元； (2)捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 【分析】（）设每个种型号的航天模型进价为元，每个种型号的航天模型进价为元，根据题意列出方程组，然后解方程即可； （）设总利润为元，购进种航天模型个，由题意得，捐款后所得的利润始终不变即可求出的值及利润； 本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个种型号的航天模型进价为元，每个种型号的航天模型进价为元， ， 解得：， 答：种型号的航天模型进价为元，种型号的航天模型进价为元； （2）解：设总利润为元，购进种航天模型个， 依题意，得： ， ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴值与值无关， ∴，解得：， ∴， 答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 64．某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【答案】(1) (2)①牛奶与面包每箱分别为30元、50元；②6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意得：，再由，即可求解； （2）①设牛奶一箱元，面包一箱元，由题意列出方程组，求解即可；②设牛奶与面包总箱数为箱，则打折的牛奶箱数为箱，设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱，由题意列出方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， （元）， （2）解：①设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与面包每箱分别为30、元； ②设牛奶与面包总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元），打折面包价格为：（元）， 即打折面包价格与牛奶原价相同， 设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 答：此次按原价采购的面包有6箱， 65．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 66．如图，规定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数、对于，，，的取值，三人的说法如下． 甲；若，则；乙：若，则；丙：的值一定是2． 下列判断正确的是（    ） A．只有甲、乙对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、丙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，整式的加法，先用，表示，的式子，结合，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得 ②①得，解得 把 代入①得，解得， 所以， 因为 ， 甲：时，，解得，正确； 乙：则，即，正确； 丙：，正确； 故选：D． 67．如图，在数轴上，点O表示原点，点A、B表示的数分别为a、b，满足，是一条定长的线段（点N在点M的左侧），它在数轴上从右向左匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点B（即点B在线段上的这段过程）所需的时间为秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为秒． (1)线段______，的长为______，运动的速度为______个长度单位/秒； (2)当点M与点B重合时开始计时，设运动时间为t秒，点C是的中点，点D是的中点，同时点E从点A处出发以1个长度单位/秒速度向右运动，当时，求t的值． 【答案】(1)20，，2 (2)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质、二元一次方程组的定义、动点问题、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据非负数的性质确定点A、B表示的数分别为，即可确定的长；设的长为l，运动的速度为d个长度单位/秒，根据过桥问题列二元一次方程组求解即可； （2）开始时点M表示的数为18，点N表示的数为，点E表示的数为，进而得到当运动时间t秒时，则点M表示的数为，点N表示的数为，点表示的数为；再根据中点的定义得到点C表示的数为，点D表示的数为；然后可得，再分点E在点D的左侧和右侧两种情况，分别表示出，并根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点A、B表示的数分别为， ∴， 设的长为l，运动的速度为d个长度单位/秒， 由题意可得：，解得：， ∴的长为，运动的速度为2个长度单位/秒． 故答案为：20，，2． （2）解：∵点M与点B重合时开始计时，点E从点A处出发以1个长度单位/秒速度向右运动， ∴开始时点M表示的数为18，点N表示的数为，点E表示的数为， 当运动时间t秒时，则点M表示的数为，点N表示的数为，点表示的数为， ∵点C是的中点，点D是的中点， ∴点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， 如图：当点E在点D的左侧时，则，即时， ， ∵， ∴，解得：； 当点E在点D的右侧时，则，即时，则， ∵， ∴，解得：； 综上，当或时，． 68．问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积； (2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①484；②立方厘米； (2)4厘米，或7厘米，或8厘米 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． （1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可； ②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案； （2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米）， ∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）； 故答案为：484； ②如图，设，， ∵能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米； （2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米， 展开方式1如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， 该方程无解； 展开方式2如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴； 展开方式3如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式4如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 展开方式5如下图： ∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米， ∴， ∴， 综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米． 69．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）． 杭州市居民生活用电分段及价格一览表 单位：元/千瓦时 用电分档 分时电价 高峰电价 低谷电价 第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288 第二档 年用电千瓦时部分 b c 第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588 注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加． 老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元． （1）求表格中a的值． 数学思考： （2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值． （3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议． 【答案】（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点． （1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值； （2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值； （3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电． 【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时． ． ． ． ． ； （2）由题意得：． 解得：． 答：，； （3）（千瓦时）． （元． 答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）． 70．图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 71．如图，深的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，如图为容器顶部离水面的距离随时间分钟的变化图象． (1)求放入的长方体的高度； (2)求该容器注满水所用的时间； (3)若长方体铁块的底面积为，求圆柱体的底面积． 【答案】(1) (2)分钟 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获得信息，二元一次方程组的应用； （1）根据函数图象可得当时，水面到达长方体的上表面； （2）运用待定系数法分别求出的解析式，再由一次函数的性质结合自变量与函数值之间的关系就可以求出结论; （3）设圆柱体的底面积为，每分钟向容器内注水根据函数图象，结合（1）（2）的结论，列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，水面到达长方体的上表面， 长方体的高度为 （2）解：设所在直线与的函数关系式为、b为常数，且 将，和，代入， 得， 解得， 当该容器注满水时，， 即，解得， 该容器注满水所用的时间为21分钟． （3）解：设圆柱体的底面积为，每分钟向容器内注水 根据题意，得， 解得， 圆柱体的底面积为 72．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 【答案】(1)360，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，求一次函数解析式． （1）根据图象可知：甲乙两地相距360千米，求出甲乙两车速度，即可求出的值； （2）根据线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）等于360减去甲走的路程求出； （3）设时间为时，两车相距70千米，分三种情况，分别找出等量关系式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，甲乙两地相距360千米， 设甲车的速度为，乙车速度为：， 由题可得：， 解得：， ， 故答案为：360，120； （2）解：由图可知：乙车到达A地的时间为：（小时），故， 甲车到达B地的时间为：（小时），故， ∵线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象， ∴线段的解析式为：； （3）解：设时间为时，两车相距70千米，则分以下三种情况： 当两车未相遇前：，解得：； 当两车相遇后：，解得：； 当甲车返回时：，解得：； 综上所述：或或． 故答案为：或或． 73．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是． (1)如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______； 当时，两个正方形纸片的面积之和：______． (2)如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值． (3)现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设两个正方形纸片的边长分别为，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可． （2）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求出，，即可求出的值． （3）设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：， 解得：， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 即， 当时，两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，． （2）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，． （3）解：设两个正方形纸片的边长分别为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 74．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计纸盒方案？ 素材1 如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形． 素材2 （1）所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪--种材料． （2）制作纸盒后没有剩余材料． 为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题解决 任务1 初探材料用量 1．完善下表： 纸盒类型 正方形（个数） 长方形（个数） m个横式无盖纸盒 ① 3m n个竖式无盖纸盒 n ② 任务2 再探关系 2．完善下表： 需裁成正方形 的纸板数（张） 需裁成长方形 的纸板数（张） 合计 ③ ④ 300 3．写出m，n之间满足的关系式： ⑤ 任务3 拟定方案 若计划制作86个横式无盖纸盒，则得要将 ⑥ 张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 【答案】任务1：①；②；任务2：③；④；⑤；任务3：⑥70 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程，求代数式的值，正确利用题干中的数量关系列出代数式是解题的关键．利用题意分别求得所需的正方形与长方形的个数，再列出方程，整理即可得出m，n的关系式，再将代入运算即可得出结论． 【详解】解：①∵横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形， ∴m个横式无盖纸盒需要个正方形和个长方形， 故答案为：； ②∵竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形， ∴n个竖式无盖纸盒需要n个正方形和个长方形， 故答案为：； ③∵1张纸板可以裁成4个正方形， ∴个正方形需要张纸板． 故答案为：； ④∵1张纸板可以裁成3个长方形， ∴个长方形需要张纸板． 故答案为：； ⑤∵现将300张纸板裁剪成材料， ∴． 整理得：． ∴m，n之间满足的关系式为：． 故答案为：； ⑥若计划制作86个横式无盖纸盒， ∴时，， ∴（张）． ∴需要将70张纸板裁成正方形，其余纸板裁成长方形，刚好满足要求． 故答案为：70． 试卷第66页，共71页 2 / 67 学科网（北京）股份有限公司 $$