6.2.4 向量的数量积（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积（第1课时） 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 考点 学习目标 重、难点 核心素养 数量积的相关概念和投影向量 数量积的定义 重点 数学抽象 数量积的性质 逻辑推理 投影向量的概念 直观想象 数量积的应用 数量积的理解和应用 难点 数学运算 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 1 问题引入 问题1：我们是如何研究这些运算的呢？ 问题2：向量及其线性运算有明确的物理背景，在所学的物理知识中，哪个概念可以作为“向量乘法（两向量相乘）”的物理背景呢？ 向量的加法、减法和数乘运算，我们把这些运算统称为向量的线性运算. 功的概念：如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功 ,其中 是 与 的夹角. 力、位移、夹角 问题3：怎么确定两非零向量的夹角？ 背景 定义 性质 应用 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 2 一、向量夹角的概念 两个非零向量 , .O是平面上的任意一点，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角 1.定义： B 0 A 2.性质： 4 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 3 二、向量数量积的概念 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积(也叫内积)，记作 ，即 1.定义： 2.规定：零向量与任一向量的数量积为0 3.注意：“ · ”不能省略，也不能写成“×” 4.思考：对比向量的线性运算，数量积的运算结果有什么不同？ 向量线性运算的结果是一个向量，数量积的运算结果是一个数量。 问题4：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 5 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 4 例2 解答:由 ，得 ∵ ∴ . 例1 已知|a| = 5，|b| = 4，a与b的夹角θ = 120°，求a·b。 分析：明确已知条件为向量模长和夹角，直接应用数量积定义。 解答：a·b = |a||b|cosθ = 5×4×cos120° = 5×4×(-) = -10。 6 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 5 问题5 对于任意两个向量，如图，如何得到一个向量向另一个向量的投影向量？ A 0 B 图1 图2 设 是两个非零向量， ，过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称这种变换为向量 向向量 投影， 叫做向量 在向量 上的投影向量． 7 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 6 我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M作直线ON 的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量 8 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 7 探究1 如图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，那么 与 ， ，θ之间有怎样的关系？ 显然 与 共线，于是 当θ=0时，λ= ， 当θ为锐角时，与 方向相同， 所以 当θ为直角时，λ= ， 当θ为钝角时，与 方向相反， 所以 当θ= 时，λ= ，所以 综上可知，对任意的 都有: ① ② ④ ③ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ 9 课前思考 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 8 探究2 两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？ 数量积的性质 10 题型一 向量数量积的相关概念 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 9 ③④ 题型一 向量数量积的相关概念 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 10 正确理解平面向量的数量积 (1)学习向量数量积的定义要借助物理学中力所做的功来加深理解. (2)两个向量的数量积的结果是数量而非向量,它的符号由两向量夹角的余弦值来确定. (3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,不可混淆.向量的数量积为a·b,不能表示为a×b或ab. 解析:选项A中,若·=,则=或=或⊥,故选项A错;选项C中,若2=2,则||=||,选项C错;选项D中,若·=·,则可能有⊥且⊥,故选项D错.所以只有选项B正确,故选B. A 题型二 数量积的基本运算 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 11   求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos θ. 题型三 向量投影问题 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 12   . -2 -2e 对投影和投影向量的理解 (1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积,也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积.其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的. (2)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零. (3)投影向量是向量,a在b方向上的投影向量为|a|cos θ 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 课堂小结 13 研究路径 思想方法 数形结合—— 类比归纳 封闭性运算 非封闭性运算 背景 定义 性质 应用 平面向量的运算 线性运算 加、减法运算 数乘运算 数量积运算 课后作业 学习目标 课堂导入 探究新知 课堂练习 知识总结 课后作业 14 1.完成本节练习1、2、3 2.完成习题6.2第11题 感谢观看 1. 以下四种说法中正确的是 (填序号). ①|a·b|=|a||b|; ②如果向量a与b满足a·b<0,那么a与b所成的角为钝角; ③在△ABC中,如果·=0,那么△ABC为直角三角形; ④若向量a与b是两个单位向量,则a2=b2. 解析:由数量积的定义知,a·b=|a||b|·cos θ(θ为向量a,b的夹角).由|a·b|=|a||b||cos θ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,故①错; 若a·b<0,则θ为钝角或θ=180°,故②错; 由·=0,知∠B=90°,所以△ABC为直角三角形,故③正确; 由a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,知a2=b2,故④正确. 2.对于向量和实数λ,下列命题中,真命题的是 (　　) A.若=0,则或 B.若λ=0,则λ=0或 C.若,则或 D.若,则 1.已知|a|=4,|b|=5,根据下列条件,分别求a与b的数量积. (1)a∥b;　(2)a⊥b;　(3)a与b的夹角为60°. 解:(1)因为a∥b,若a与b同向,则θ=0°,所以a·b=|a||b|cos 0°=4×5=20;若a与b反向,则θ=180°,所以a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20.故当a∥b时,a·b=20或-20. (2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=|a||b|cos 90°=0. (3)当a与b的夹角为60°时, a·b=|a||b|cos 60°=4×5×=10. 1.已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则a在e方向上的投影是　　　,投影向量是　　　　　.  2.已知e为单位向量,|a|=2,当a与向量e的夹角分别为,,时,求a在向量e上的投影向量. 解析:由题意可知,a在e方向上的投影为|a|cos=-2,投影向量为|a|cose=-2e. 解:当a与向量e的夹角分别为,,时,a在向量e上的投影向量分别为:|a|cose=e;|a|cose=0;|a|cose=-e. $$