3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 知识回顾 圆的定义是什么？ 在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 圆的标准方程是什么？ 圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2 生活中的椭圆 椭圆形的镜子 卫星绕地球运行的轨迹是椭圆 学习目标 1.知道并理解椭圆的定义 2.掌握椭圆的标准方程并能独立推导 3.能够根据已知条件求椭圆的标准方程 探究 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处,套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆，如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子,移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线? 椭圆 定义 把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于一个常数。 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 如图所示，两定点为点F1和点F2，点A为动点。 1.｜CA｜+｜CB｜＝｜AB｜ 2.｜CA｜+｜CB｜＜｜AB｜ 探究 若一动点与两个定点F1，F2的距离之和不大于|F1F2|，它的轨迹是什么？ 点 线段 x y 建立椭圆方程 类比圆的方程建立过程，椭圆方程的建立分为以下五个步骤: 1.建系 2.设点 3.列等式 4.代坐标 5.化简方程 以圆心0为原点，建立直角坐标系 设圆上任意一点A(x，y) |OA| = r 可得方程＝r 两边同时平方，得到圆的方程 x2＋y2＝r2 r 回顾圆的方程建立过程 建立椭圆方程——建系 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点P到F1，F2的距离的和2a(2a>2c)。 以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)。 建立椭圆方程——设坐标，列等式 设椭圆上任意一点M的坐标为(x，y) 根据椭圆定义知： |MF1|＋|MF2|＝2a 代入点的坐标，得到 +＝2a 建立椭圆方程——代坐标，化简方程 +＝2a 移项得＝2a－ 两边同时平方得 ＋y²＝4a2－4a＋＋y² 整理得a²－cx＝a 两边同时平方得－2cxa²＋c²x²＝a²【（x－c）²＋y²】 整理得＋c²x²－a²x²－a²c²－a²y²＝0 合并移项得（c²－a²）²－a²y²＝a²（c²－a²） 两边同时除以a²（c²－a²）得到＋＝1，(a>b>0) 建立椭圆方程 如图所示，此时 |MF1|＝|MF2|＝a |OF1|＝|OF2|＝c 则|MO|＝ 令b＝|MO|＝ 则有＝ 即得到＋＝1(a>b>0) 这个方程被称为椭圆的标准方程 y x 如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0,-c）， (0,c),a和b的意义同上，那么椭圆的方程是什么? 仿照前面求焦点在x轴的椭圆方程的建立过程，设点M坐标为（x，y),我们可以得到等式+＝2a化简得到＋＝1(a>b>0) 思考 总结 焦点在 轴和 轴的椭圆对比 x y | | 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2, 0），（2，0），并且经过点 （，），求它的标准方程。 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0) 由椭圆定义知 2a＝＋＝2 所以a= 又因为c＝-2，所以 b²＝a²－c²=10-4=6 因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1 例2 如图，在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？ 解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0,y0)， 则x＝x0，y＝ 因为P（x0,y0)在圆x²+y²=4上，所以有x02＋y02＝4 把x0＝x， y0＝2y代入得x²+4y²=4即＋＝1，轨迹为椭圆。 例3 如图，设点A，B的坐标分别为(-5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣，求点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标为（x，y）， 因为点A的坐标为(-5，0) ， 所以，直线AM的斜率kAM＝（x≠﹣5），同理有kBM＝（x≠5） 由已知有 · ＝﹣ （x≠±5）， 化简得到点M的轨迹方程为＋＝1（x≠±5） 练习 1.设动点M到定点A和B的距离和为10，线段AB的长度为12，则动点M的轨迹为 点 2.设动点M到定点A和B的距离和为8，线段AB的长度为12，则动点M的轨迹为 点 3.设动点M到定点A和B的距离和为10，线段AB的长度为10，则动点M的轨迹为 点 点 椭圆 线段 练习 4.设点P到点F1（0，-2），F2（0，2）的距离和为8，点P的轨迹是什么 ？试求它的轨迹方程。 解：设点P的坐标为（x，y）由题意得|PF1|＋|PF2|＝8 代入点的坐标有+＝8 整理化简得到轨迹方程为＋＝1，轨迹为焦点在y轴的椭圆。 谢谢观看 Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 $$