第05讲 一元一次不等式组 （5个知识清单+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪科版）

第05讲 一元一次不等式组 课程标准 学习目标 1 一元一次不等式组的定义 2 解一元一次不等式组 3 一元一次不等式组的整数解 4 由实际问题抽象出一元一次不等式组 5一元一次不等式组的应用 1、 会解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组。 2、能借助数轴正确表示一元一次不等式组的解集。 知识点01 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【即学即练1】 1．（春•濉溪县校级月考）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元一次不等式组的定义即用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式组解答即可． 【解答】解：A、含有三个未知数，不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不符合题意； C、含有两个未知数，不符合题意； D、符合一元一次不等式组的定义，符合题意； 故选：D． 【点评】本题比较简单，考查的是一元一次不等式组的定义，只要熟练掌握一元一次不等式组的定义即可轻松解答． 知识点02 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【即学即练1】 2．（2024春•濉溪县校级月考）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【分析】先解不等式组，结合不等式组的解集为﹣2＜x＜3，得出﹣m＝3，，求出m、n的值，代入计算即可得出答案． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜﹣m， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3， ∴﹣m＝3，， 解得：m＝﹣3，n＝﹣6， ∴m﹣n＝﹣3﹣（﹣6）＝3， 故选：B． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式是关键． 【即学即练2】 3．（2024春•花山区校级期末）数学著作《算数研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，[2.6]=2,[5]＝5，[﹣3.1]＝﹣4；给出如下结论：①[-x]=-[x];②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1，③当[1+x]+[1﹣x]的值为1或2．其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．② 【分析】①举出反例即可求解； ②根据[x]表示不超过x的最大整数的定义即可求解； ③分两种情况：﹣1＜x＜0；x＝0；0＜x＜1；进行讨论即可求解． 【解答】解：①当x＝﹣3.5时，[﹣3.5]＝﹣4，[3.5]＝﹣3，不相等，故①错误； ②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1是正确的； ③当﹣1＜x＜0时，[1+x]+[1﹣x]＝0+1＝1； 当x＝0时，[1+x]+[1﹣x]＝1+1＝2； 当0＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]＝1+0＝1； 故当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2是正确的； 本题正确的有：②③， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确理解[x]表示不超过x的最大整数是关键． 知识点03 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【即学即练1】 4．（2024春•义安区期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a≤3 C．2≤a＜3 D．3≤a＜4 【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组有5个整数解，确定含a的式子的取值范围． 【解答】解：解不等式，得：x＜3， 解不等式2x﹣5＜3x﹣a，得：x＞a﹣5， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的整数解为2、1、0、﹣1、-2， ∴﹣3≤a﹣5＜﹣2， 解得，2≤a＜3 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． 【即学即练2】 5．（2024春•谢家集区期末）已知关于x的不等式组． （1）不等式①的解集为 　x≥3　； （2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是 　6＜a≤8　． 【分析】（1）解不等式组中的第一个不等式即可；（2）根据不等式组有且只有5个整数解，即可确定不等式组的解集，进而即可得到一个关于a的不等式，从而求解． 【解答】解：（1）解不等式①，得x≥3， 解不等式②，得 ， 故答案为：x≥3； （2）原不等式组有解， ∴不等式组的解集为 ， 又∵不等式组有且只有5个整数解． ∴， 解得6＜a≤8， 故答案为：3＜a≤8． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． 知识点04 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 【即学即练1】 6．（2024春•贵池区期末）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本，如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每人送4本，则还余9本，即本数比学生数的4倍多9，如果每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足2本，即最后一人的本书大于等于0且小于2，据此即可得到结论． 【解答】解：根据题意，得， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，正确的理解题意是解题的关键． 知识点05一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【即学即练1】 7．（2024春•霍邱县月考）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100；则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为　　． 【分析】根据“若结果大于100，则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答． 【解答】解：∵结果大于100，则输出此结果，则将此结果作为m的值再进行第二次运算，已知运算进行了三次后停止， ∴ 由（2m﹣3）×2﹣3≤100，得； 由[（2m﹣3）×2﹣3]×2﹣3＞100，得， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键． 【即学即练2】 8．（2024春•怀宁县期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元； （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？ （3）该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70元，每个“天宫”模型的售价为55元，在（2）的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据“购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”即可列出方程，求解即可； （2）根据“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组，求出m的取值范围，再结合m为整数，即可解答； （3）根据（2）分别求出各进货方案的利润，即可解答． 【解答】解：（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得， ， 解得：， 答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元． （2）根据题意，得， ， 解得：， ∵m取整数， ,∴m＝27，28，29， ∴该销售店共有3种进货方案： ①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型80﹣27＝53个； ②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型80﹣28＝52个； ③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型80﹣29＝51个． （3）解：方案①的利润为：（70﹣50）×27+（55﹣40）×53＝1335（元）； 方案②的利润为：（70﹣50）×28+（55﹣40）×52＝1340（元）； 方案③的利润为：（70﹣50）×29+（55﹣40）×52＝1345（元）； ∴方案③的利润最大，为1345元． 答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 题型01 求不等式组的解集 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键；根据题意，得，然后进行求解即可 【详解】解：根据题意，得：， 解得； 故选D． 2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）解不等式组． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】此题考查了一元一次不等式组的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法，正确求出不等式组的解集． 按一元一次不等式的解法求解每一个不等式，然后找出不等式组的解集，注意口诀：大小小大中间找． 【详解】解：． 解不等式得，， 解不等式得，， 这个不等式组的解集是． 题型02 解特殊不等式组 3．对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 【答案】3 【知识点】解特殊不等式组 【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：1＜4-bd＜3， 则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3， ∵b、d是整数， ∴bd是整数． ∴bd=2， 则或（舍去）或或， 则b+d=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键． 4．（七年级下·安徽滁州·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们规定=ad-bc，若-8＜＜4，求整数x的值． 【答案】0，1，2． 【知识点】解特殊不等式组 【分析】首先化简 ，转化为不等式组，然后解不等式组求得x的范围，然后确定整数解即可． 【详解】解：=（x-1）（x+5）-x（x+1）=3x-5． 根据题意得： ， 解①得x＞-1， 解②得x＜3． 则不等式组的解集是-1＜x＜3． 则整数解是0，1，2． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法，正确读懂题意，化简是解题关键． 题型03 不等式组和方程组结合的问题 5．（23-24七年级下·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为正数，得到，据此求出，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可． 【详解】解： 得：， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， 解得， ∴满足条件的所有整数a有4、5、6， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知x，y满足关系式． (1)若x，y满足，求y的取值范围； (2)若x，y满足，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的性质； （1）由得，根据求解即可； （2）联立和，求解出的值，根据，求解关于a的不等式即可． 【详解】（1）由得， ∵， ∴． ∴， 即y的取值范围是； （2）联立和，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 题型04 由不等式组解集的情况求参数 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式组，下列说法不正确的是（    ） A．若，则不等式组的解集是 B．若不等式组的解集是，则 C．若不等式组的整数解只有，则 D．若不等式组无解，则 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，由不等式组解集的情况求参数．掌握解一元一次不等式组的步骤是解题关键．先求出各不等式的解集，再结合各选项分析判断即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：． A．若，则原不等式的解集是，故该选项正确，不符合题意； B．若不等式组的解集是，则，故该选项正确，不符合题意； C．若不等式组的整数解只有，则，故该选项错误，符合题意； D．若不等式组无解，则，故该选项正确，不符合题意． 故选C． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，解不等式组得，结合原不等式组的所有整数解的和是，即可得出a的取值范围． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴． 因为当时，能取到的负整数为，且不等组所有整数解的和是， 所以不等式组的整数解为或和0， 所以， 解得． 故答案为：． 9．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则k的取值范围是 ． 【答案】 1 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式这组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． （1）依据题意，根据所给关系代入计算即可得解； （2）依据题意，根据题目所给关系代入建立关于的不等式组，再由不等式组恰好由2个整数解，进而可以求出的取值范围． 【详解】解：（1）由题意，， ． 故答案为：1． （2）由题意，，， ． ． ，， ． ，． 原不等式组可以化为． 原不等式组的解集为． 原不等式组恰好有2个整数解， ． 题型05由一元一次不等式组的解集求参数 10．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解，正确掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先求出的不等式组的解集，然后根据的不等式组只有3个整数解进行列不等式作答即可． 【详解】解：， 解得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴． 故选：B 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了与不等式组有关的整数解问题．先表示出不等式组的解集，再由整数解的个数，可得b的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 因为不等式组的整数解共有4个，所以整数解为，6，7，8， ∴， 故答案为：． 12．（21-22七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)当时，求不等式组的解集； (2)若不等式组的解集是，求的值； (3)若不等式组有三个整数解，则的取值范围是______． 【答案】(1)不等式组的解集为：； (2) (3) 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】（1）将代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集； （2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围； （3）根据不等式组中确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴原不等式组解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：当不等式组的解集是时， ， 解得； （3）解：由，当不等式组有三个整数解时， 则不等式组的整数解为、、， 又∵且， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 题型06求一元一次不等式组的整数解 13．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）不等式组的最大整数解是（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了求不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求得最大整数解． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴最大整数解为， 故选：B． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的正整数即可． 【详解】解：， 解①得 解②得 ∴ ∴正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3． 15．（23-24七年级下·安徽·单元测试）若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 【答案】的值为 【知识点】方程的解、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了解不等式组，解一元一次方程，先求出不等式组的解集为，得出整数解为，代入，求出a的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 所以不等式组的解集为， 所以整数解为， 把代入已知方程得：， 解得； 所以的值为． 一、单选题 1．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 【详解】解：不等式整理得：，由不等式组的解集为x＞1，得到m+1≤1，解得：m≤0. 故选D. 【点睛】本题考查了不等式组的解集的确定. 2．把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得：x≥﹣3， 解不等式②得：x＜1， 故不等式组的解集为：﹣3≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选C． 【点睛】此题主要考查不等式组的求解，解题的关键是熟知不等式的性质. 3．不等式组的解集为(　　) A．x≤1 B．x＞﹣2 C．﹣2＜x≤1 D．无解 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集 【详解】解： 解不等式①得，x≤1， 解不等式②得，x>-2， 所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤1． 故选C． 4．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝4 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据口诀“同大取大”结合不等式组的解集即可求得m的取值范围． 【详解】解：解不等式-x十2＜x-6得：x>4， 因为不等式的解集为x＞4，所以m≤4， 故选：A． 【点睛】本题考查含参数的一元一次不等式组，熟知求不等式组解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小找不到”是解答的关键． 5．已知三个数a－1,3－a,2a在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么，a的取值范围是(　　)． A．1＜a＜2 B．1＜a＜3 C．－1＜a＜1 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、求不等式组的解集 【分析】根据数轴的特点得出关于a的不等式组,求出a的取值范围即可. 【详解】∵三个数a－1,3－a,2a在数轴上所对应的点从左到右依次排列, ∴ 解之得 1＜a＜2. 故选A. 【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 6．不等式组的最小整数解为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【详解】， 由①得：x＞−1， 由②得：x⩽2， 所以不等式组的解集为−1＜x⩽2， 则不等式组最小的整数解为x＝0， 故选A. 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解，解题关键是找出两解集的公共部分. 7．若关于 的二元一次方程组 的解满足 ,则 的取值范围是(     )． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】将方程组中的两个方程左右两边分别相加，求得x+y，利用x+y<505，即可得到答案. 【详解】两式相加得， ， ∵ x+y<505， ∴， 解得． 故选：. 【点睛】此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确计算是解题的关键. 8．一组数据2；3；6；8；x的唯一众数是x，其中x是不等式组的解，则这组数据的中位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．6 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】根据不等式组可以求得x的取值范围，然后根据一组数据2；3；6；8；x的唯一众数是x，可以求得x的值，从而可以得到这组数据的中位数． 【详解】由不等式组得，3＜x＜7， ∵一组数据2；3；6；8；x的唯一众数是x， ∴x=6， ∴这组数据为：2、3、6、6、8， ∴这组数据的中位数是6， 故选D． 【点睛】本题考查众数、中位数、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确众数、中位数的定义，会解答一元一次不等式组． 9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】 ∵解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≥-1， ∴不等式组的解集为-1≤x＜1， 在数轴上表示为： 故选A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 10．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（   ） A．0 B．1 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】一元一次方程解的综合应用、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先解关于x的一元一次不等式组，根据其解集，求出的取值范围，再解分式方程，根据其有非负整数解，求出的取值范围，进而可得符合要求的值，最后求和即可． 【详解】解：由不等式组，解得： ∵不等式组的解集为 ∴ 由分式方程 ，去分母得 解得， ∵分式方程有非负数解 ∴且 ∴的取值为，0，1，2，4 ∴符合条件的所有整数a的和为 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．解题的关键在于求出符合条件的所有整数a． 二、填空题 11．不等式组的解集为 ． 【答案】无解 【分析】根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集． 【详解】∵ 由于2>-2， ∴不等式组无解， 故答案为：无解． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键． 12．不等式组的解集是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】分别求解两个不等式，再根据写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”． 13．关于x的不等式(a1)xa5的解集与不等式2x4的解集相同，则a的值为 【答案】7 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】由题意分别解出不等式组中的两个不等式，由题意不等式的解集为x＜2，再根据求不等式组解集的口诀：大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出a的范围． 【详解】由不等式2x＜4系数化为1得， x＜2， ∵不等式（a-1）x＜a+5的解集与不等式2x＜4的解集相同， ∴a-1＞0，即a＞1， 由不等式（a-1）x＜a+5知移项整理得， x＜，与x＜2解集相同， ∴＝2， 解得a=7． 故答案是：7. 【点睛】考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a的值． 14．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】直接用第二个式子减去第一个式子，得到，根据得到关于p的不等式，求解即可． 【详解】， 由②－①，得． ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，直接将二元一次方程组的两个式子作差得到是解题的关键． 三、解答题 15．取哪些整数值时，不等式与都成立？ 【答案】x=－3，－2，-1，0，1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到整数解． 【详解】解： 解不等式得，x<2， 解不等式得，x＞-4， 所以，不等式组的解集为：－4<x<2， ∵x为整数， ∴x=－3，－2，-1，0，1 【点睛】考查了一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 16．利用数轴，求出满足下列各组不等式的x值的公共部分． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)数轴见解析， (2)数轴见解析， (3)数轴见解析， (4)数轴见解析，没有公共部分，原不等式组无解 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】（1）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可； （2）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可； （3）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可； （4）把各不等式表示在数轴上，找出公共部分即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示如下， ∴的公共部分是； （2）在数轴上表示如下， 的公共部分是； （3）在数轴上表示如下， 的公共部分是； （4）在数轴上表示如下， 没有公共部分，原不等式组无解； 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，确定不等式组的解集，数形结合是解题的关键． 17．（1）；（2） 【答案】（1）；（2）． 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 把①+②得：， 解得， 将代入②，得：， 解得：， 则方程组的解为； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则及加减消元法解方程组是解答此题的关键． 18．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)x＜5 (2)-1＜x≤2 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】（1） 12x-4（2x-1）＜12-3（1-x） 12x-8x+4＜12-3+3x 12x-8x-3x＜12-3-4 x＜5； 将不等式解集表示在数轴上如下： （2） 解不等式①得：x＞-1， 解不等式②得：x≤2， ∴原不等式组的解集为：-1＜x≤2． 将不等式解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的方法，以及找一元一次不等式组的解集的规律是解题的关键． 19．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）． 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】（1）移项、化系数为1可得答案； （2）移项、化系数为1可得答案； （3）根据在数轴上表示解集的方法作图即可； （4）根据数轴可得原不等式组的解集． 【详解】解：（1）不等式①移项得：， 解得：， 故答案为：； （2）不等式②移项得：， 解得：， 故答案为：； （3）如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集以及确定不等式组的解集，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 20．解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】，正整数解为1、2、3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】分别解两个不等式得到和，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集，之后写出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 则它的正整数解为1、2、3． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集的方法是解题关键． 21．解下列不等式和不等式组，并把解集表示在数轴上． (1)2（x＋1）≥3x－4 (2) 【答案】(1)x≤6，数轴表示见解析 (2)－3＜x≤2，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】（1）挖出去括号，移项合并同类项，系数化为1的步骤不熟解集，再用数轴表示解集即可； （2）先分别求出不等式组中每一个不等式解集，财确定其公共解集即可，然后用数轴表示出解集即可． 【详解】（1）解：2（x＋1）≥3x－4 2x+2≥3x－4 2x-3x≥－4-2 -x≥－6 x≤6， 在数轴上表示解集为： （2）解：， 解①得：x>-3， 解②得：x≤2， ∴-3<x≤2， 在数轴上表示解集为： 【点睛】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握确定不等式组解集的原则“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”是解题的关键． 22．解下列不等式或不等式组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】（1）不等式移项合并，将x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， （2） 由①得：； 由②得：， ∴不等式组的解集为， 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．已知方程组的解都小于1． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，当为何整数时，关于的不等式的解集为． 【答案】(1) (2)在（1）的条件下，当为时，关于的不等式的解集为． 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数、不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】（1）先解方程组，根据解都小于1，得出a的取值范围； （2）根据解集为，得出，再在（1）的条件下，求出a的范围，即可得到a的值． 【详解】（1）解：由解得： 由题意得解得： （2）解：不等式的解集为， 且， 为整数 在（1）的条件下，当为时，关于的不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元一次不等式组 课程标准 学习目标 1 一元一次不等式组的定义 2 解一元一次不等式组 3 一元一次不等式组的整数解 4 由实际问题抽象出一元一次不等式组 5一元一次不等式组的应用 1、 会解由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组。 2、能借助数轴正确表示一元一次不等式组的解集。 知识点01 一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【即学即练1】 1．（春•濉溪县校级月考）下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【即学即练1】 2．（2024春•濉溪县校级月考）若关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜3，则m﹣n的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 【即学即练2】 3．（2024春•花山区校级期末）数学著作《算数研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，[2.6]=2,[5]＝5，[﹣3.1]＝﹣4；给出如下结论：①[-x]=-[x];②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1，③当[1+x]+[1﹣x]的值为1或2．其中正确的结论有（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．② 知识点03 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【即学即练1】 4．（2024春•义安区期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜3 B．2≤a≤3 C．2≤a＜3 D．3≤a＜4 【即学即练2】 5．（2024春•谢家集区期末）已知关于x的不等式组． （1）不等式①的解集为 　　； （2）若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是 　　． 知识点04 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题） 【即学即练1】 6．（2024春•贵池区期末）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本，如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点05一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【即学即练1】 7．（2024春•霍邱县月考）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于100”为一次运算，若结果大于100；则输出此结果；若结果不大于100，则将此结果作为m的值再进行第二次运算．已知运算进行了三次后停止，则m的取值范围为　　． 【即学即练1】 8．（2024春•怀宁县期末）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280元； （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？ （3）该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70元，每个“天宫”模型的售价为55元，在（2）的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型01 求不等式组的解集 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的解集为，则关于的不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）解不等式组． 题型02 解特殊不等式组 3．对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 4．（七年级下·安徽滁州·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们规定=ad-bc，若-8＜＜4，求整数x的值． 题型03 不等式组和方程组结合的问题 5．（23-24七年级下·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知x，y满足关系式． (1)若x，y满足，求y的取值范围； (2)若x，y满足，且，求a的取值范围． 题型04 由不等式组解集的情况求参数 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式组，下列说法不正确的是（    ） A．若，则不等式组的解集是 B．若不等式组的解集是，则 C．若不等式组的整数解只有，则 D．若不等式组无解，则 8．（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是 ． 9．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）对x，y定义一种新的运算，规定，例如． （1） ； （2）若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，则k的取值范围是 ． 题型05由一元一次不等式组的解集求参数 10．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的不等式组整数解有4个，则b的取值范围是 ． 12．（21-22七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)当时，求不等式组的解集； (2)若不等式组的解集是，求的值； (3)若不等式组有三个整数解，则的取值范围是______． 题型06求一元一次不等式组的整数解 13．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）不等式组的最大整数解是（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 15．（23-24七年级下·安徽·单元测试）若不等式组的整数解是关于的方程的解，求的值． 一、单选题 1．不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≤0 2．把不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（  ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集为(　　) A．x≤1 B．x＞﹣2 C．﹣2＜x≤1 D．无解 4．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝4 5．已知三个数a－1,3－a,2a在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么，a的取值范围是(　　)． A．1＜a＜2 B．1＜a＜3 C．－1＜a＜1 D．以上都不对 6．不等式组的最小整数解为(   ) A． B． C． D． 7．若关于 的二元一次方程组 的解满足 ,则 的取值范围是(     )． A． B． C． D． 8．一组数据2；3；6；8；x的唯一众数是x，其中x是不等式组的解，则这组数据的中位数是（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．6 9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（      ） A． B． C． D． 10．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（   ） A．0 B．1 C．4 D．6 二、填空题 11．不等式组的解集为 ． 12．不等式组的解集是 ． 13．关于x的不等式(a1)xa5的解集与不等式2x4的解集相同，则a的值为 14．若关于、的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 三、解答题 15．取哪些整数值时，不等式与都成立？ 16．利用数轴，求出满足下列各组不等式的x值的公共部分． (1) (2) (3) (4) 17．（1）；（2） 18．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 19．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得 ； （2）解不等式②，得 ； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为 ． 20．解不等式组，并写出它的正整数解． 21．解下列不等式和不等式组，并把解集表示在数轴上． (1)2（x＋1）≥3x－4 (2) 22．解下列不等式或不等式组 (1) (2) 23．已知方程组的解都小于1． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，当为何整数时，关于的不等式的解集为． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$