山东省青岛市市南区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省青岛市市南区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在，，，，，中，无理数的个数是(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.下列各式中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.以下命题是真命题的是(    ) A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 在平面直角坐标系内，平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对与它对应 4.如图，中，，将边AC延长至D，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.如图，，在数轴上点A表示的数为m，则m的值是(    ) A. B. C. D. 1 6.剪纸是中国古老的民间艺术之一，将一张蝴蝶剪纸的轴对称图案，放在如图的直角坐标系中，点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇同学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8.《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为(    ) A. B. C. D. 9.直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是图中(    ) A. B. C. D. 10.如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，从点射出的光线经直线AB反射后射到直线OB上，又经直线OB反射后回到P，则光线所经过的路程是(    ) A. B. 6 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.点关于x轴的对称点为B，点B关于y轴的对称点为C，则点C的坐标为______. 12.测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，这款手机的各项成绩及占综合成绩的比重如图表所示，则该手机的综合成绩为______分. 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命 项目成绩/分 8 7 9 7 13.如图，在同一直角坐标系中，直线l：与直线m：相交于点，则方程组的解为______. 14.图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，，使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到，，此时，平分，若，则______ 15.如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖ABCD为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为4分米的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，需要走的最短路程是______分米. 16.同一条公路连接A，B，C三地，B在A，C之间.小明和小张两人分别乘车从A、B同时出发匀速前往小张乘坐的汽车中途出现故障，维修后继续行驶，最终两人同时到达如图，表示小明、小张两人之间的距离与时间的函数关系.下列结论正确的是______. ①小明的速度是；②A，C两地相距240km；③小张中途休息40分钟；④小明行驶与小张相遇. 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题4分 如图，在网格中建立直角坐标系后，点A、B的坐标分别为和 在图中准确画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标为______； 顺次连接A，B，C，得到，点D在y轴上且满足，则点D的坐标为______. 18.本小题12分 计算： ； ； 解方程组： 19.本小题6分 甲数的2倍与乙数的和是81，乙数比丙数的2倍大5，求甲数与丙数的和. 20.本小题8分 今年是中国共产主义青年团成立102周年，某校为了了解八年级600名同学对共青团知识的掌握情况，对他们进行了共青团知识测试.现随机抽取甲、乙两班各10名同学的测试成绩满分100分进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班10名学生测试成绩分别为： 78，83，89，98，100，94，90，93，95， 乙班10名学生测试成绩中的成绩如下：91，94，90， 【整理数据】 班级 甲 1 1 1 3 4 乙 1 2 1 4 2 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 乙 90 87 b 【应用数据】 根据以上信息，可以求出：______分，______分； 若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有多少人； 甲班的平均分是92分，小明的成绩是93分.小华说：“小明的成绩高于平均分，所以小明的成绩高于甲班一半学生的成绩.”你认为小华的说法正确吗？请说明理由. 根据以上数据，你认为甲、乙两个班哪个班本次测试的整体成绩较好？请说明理由理由不少于两条 21.本小题8分 甲、乙两个草莓采摘园，草莓售价均为20元/千克.为吸引顾客两园分别推出优惠方案.甲园：顾客入园需购买门票，采摘的草莓按八折销售；乙园：顾客免门票，采摘草莓超过3kg，超过的部分打折销售.活动期间，设草莓采摘量为x千克，在甲园采摘的总费用为元，在乙园采摘的总费用为元，，与x之间的函数图象如图所示.已知：在甲园采摘3千克草莓总费用为58元，采摘4千克草莓两园的总费用相同. 请在图中标记出已知划线部分的数据； 甲园的门票是多少元？ 求点A的坐标，并说明点A的实际意义. 22.本小题8分 如图，已知，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，组成一个真命题. ①BE是的角平分线；②；③ 你选的条件是______，结论是______.请加以证明. 23.本小题8分 “爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.”随着春节临近，某小区物业公司准备购买一些灯笼和春联，对该小区100户业主开展“春节送福”活动.物业公司经过调查得到以下信息： 信息一：若购买5个灯笼和4幅春联需要花费255元；若购买3个灯笼和8幅春联需要花费265元； 信息二：每户业主只能在灯笼和春联中选一种，且选灯笼的业主数量不超过30户. 求每个灯笼和每副春联的价格分别是多少元？ 物业公司要为本次活动进行预算支持，请你帮物业公司填写下面的预算表，并说明理由. 物业公司日常费用预算表 费用类别 费用明细 预算支持/元 实际支出/元 预算时间 赠送活动费用 购买灯笼和春联费用 ______ / 2024年1月 24.本小题8分 小林在学习了估算以后，做了进一步的思考：若一个正数的算术平方根在两个相邻整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根会与其中哪个整数更接近呢？ 要研究这个问题，我们可以先从特例入手，得出猜想，再用字母进行一般验证. 的算术平方根在整数1和2之间，且与1和4同样接近，则的算术平方根与整数1和2中的______更接近； 请判断的算术平方根在哪两个相邻整数之间，与其中哪个整数更接近？写出你的判断过程. 通过特例的研究，请写出你的猜想，并进行验证. 25.本小题10分 小颖根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究.下面是小颖的探究过程，请你补充完整. 列表： x … 0 1 2 … y … 2 1 m 0 n 2 … ①根据函数的关系式和表中的数据，可以计算______，______； ②若点和点是该函数图象上的两点，则______； 描点并画出该函数的图象； 请写出该函数图象的性质至少两条； 若直线过点，当这条直线与函数的图象有两个交点时，则b的取值范围是______. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：，，是无理数； 故选： 无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案； 本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 故选： 根据“的平方根为，算术平方根为”求解即可． 本题考查了平方根和二次根式的性质与化简，掌握平方根的定义和二次根式的性质与化简的方法是关键． 3.【答案】D  【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、在平面直角坐标系内，平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对与它对应，正确，是真命题，符合题意． 故选： 利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、平行线的性质及实数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 4.【答案】D  【解析】解：是的外角， ， ，， ， ， 故选： 根据三角形外角的性质得出，结合已知条件即可求出的度数． 本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：如图所示：点N表示的数为，点M表示的数为，， ， ， ， ， ， ， 或 不合题意，舍去， 故选： 先根据两点间的距离公式求出MN，然后根据勾股定理求出BM，从而求出AM，再次利用两点间的距离公式列出关于m的方程，解方程即可． 本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 6.【答案】A  【解析】解：，， 此图形的对称轴为直线， ， 点B的纵坐标为4，横坐标为， 点B的坐标为 故选： 由题意得此图形的对称轴为直线，结合轴对称的性质可得点B的纵坐标为4，横坐标为，进而可得答案． 本题考查坐标与图形变化-对称、坐标确定位置，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：小淇同学握住第7个结， 小惠和小淇之间有6个单位长度， ，8，10是一组勾股数，且， 小婷同学应该握住第15个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形， 故选： 根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 根号题意得， 故选： 根据“甲乙”、“乙甲”可以列出相应的方程组，本题得以解决． 此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题． 9.【答案】B  【解析】解：A、正比例函数图象经过第一、三象限，则则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； B、正比例函数图象经过第二、四象限，则则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项正确； C、正比例函数图象经过第二、四象限，则则一次函数的图象应该经过第一、三、四象限．故本选项错误； D、正比例函数图象经过第一、三象限，则则一次函数的图象应该经过第一、二、四象限．故本选项错误； 故选： 根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法． 10.【答案】A  【解析】解：由题意知的点，点， 点 设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点， 根据反射规律，则； 作出点P关于OB的对称点，作出点P关于AB的对称点，则： ，， ，N，M，共线， ， 即； 故选： 由题意由题意知的点，点，设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，反射角等于入射角，则；由而求得． 本题考查了一次函数的综合题，主要利用物理中反射角等于入射角，以及形成三角形之间的关系来解． 11.【答案】  【解析】解：点关于x轴的对称点是B，点B关于y轴的对称点是点C， 点A、C关于原点对称， 点C的坐标为 故答案为： 判断出点A、C关于原点对称，再根据关于原点对称的点的横坐标纵坐标都互为相反数解答． 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12.【答案】  【解析】解：该手机的综合成绩为分， 故答案为： 根据加权平均数的定义列式计算即可． 本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 13.【答案】  【解析】解：直线：与直线：相交于点， ， ， 方程组的解为， 故答案为： 方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．把代入求出n值可得出点A坐标，即可得答案． 此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握该知识点是关键． 14.【答案】56  【解析】解：，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为： 根据平行于同一条直线的两条直线平行可得：，然后利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质进行计算即可解答． 本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是管道底面周长， 长为分米；宽为8分米． 于是最短路径为分米 故答案为： 解答此题要将管道底面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，掌握两点之间线段最短是关键． 16.【答案】①②④  【解析】解：小明的速度是， ①正确，符合题意； A，C两地相距， ②正确，符合题意； 小张中途休息的时长为， ③不正确，不符合题意； ， 小明行驶与小张相遇， ④正确，符合题意． 故答案为：①②④． ①当时，小明落后于小张40km，当时，小明超过小张20km，这个期间小张处于静止状态，根据速度=路程时间列式计算出小明的速度即可； ②根据小明的速度行驶时间列式计算A，C两地的距离即可； ③当时，小张乘坐的汽车中途出现故障；当时，小张乘坐的汽车维修结束后开始继续行驶，据此计算小张中途休息的时间即可； ④从到两人相遇时，小张处于静止状态，小明行驶了40km，根据时间=路程速度求出从到两人相遇所用的时间，从而计算出两人何时相遇． 本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键． 17.【答案】  或  【解析】解：根据和建立如下平面直角坐标系： 点C的坐标为 故答案为： 设点D到BC的距离为h，则，， ， ， ， 点D的坐标纵坐标为或， 点D的坐标为或 故答案为：或 根据点A和B的坐标确定坐标原点、建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标即可； 设点D到BC的距离为h，分别将和的面积表示出来，再根据二者之间的数量关系得到h的值，从而求出点D的纵坐标，进而得到点D的坐标． 本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握三角形的面积计算公式及平面直角坐标系中点的坐标的特征是解题的关键． 18.【答案】解： ； ； ， 整理，得， ①+②，， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为  【解析】利用完全平方公式计算即可； 先进行二次根式的除法运算，立方根的运算，然后再化简即可得出答案； 根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可． 本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的混合运算法则，完全平方公式，二次根式的除法运算法则，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19.【答案】解：设丙数为x，则乙数为，那么甲数为， 则  【解析】设丙数为x，则乙数为，那么甲数为，然后将甲，丙两数相加即可． 本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20.【答案】100    【解析】解：在78，83，89，98，100，94，90，93，95，100这组数据中，100出现的次数最多，故； 乙班10名学生测试成绩中，中位数是， 故答案为：100，； 根据题意得： 人 答：估计参加本次测试的600名学生中成绩为优秀的有390人； 小华的说法不正确，理由如下： 小明的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数比较， 小明的成绩是93分低于中位数， 小明的成绩低于一半学生的成绩； 甲班本次测试的整体成绩较好．理由如下： 甲班学生测试成绩的平均数92高于乙班平均数90，且甲班方差乙班方差， 甲班本次测试的整体成绩较好答案不唯一 根据中位数和众数的求法解答，即可求解； 用600乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解； 根据中位数的意义求解即可； 从平均数和方差的角度分析，即可求解答案不唯一 本题考查了频数分布表、中位数、众数和方差，用样本估计总体，利用平均数和方差做决策，熟练掌握中位数、众数和平均数定义是解题的关键． 21.【答案】解：在图中标记出已知的数据如下： 在甲园顾客入园需购买门票，采摘的草莓按八折销售， 打折后草莓价格为元， 在甲园采摘3千克58元， 甲园的门票是元； 设， 根据题意可得：， 解得， ， 点A的实际意义是采摘千克草莓两园的总费用都是50元．  【解析】根据题意标记数据即可； 求出在甲园打折后草莓价格，根据在甲园采摘3千克58元，列式计算即可； 设，根据题意可得：，即可解得答案． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出甲园的门票． 22.【答案】①②  ③  【解析】解：选的条件是①②，结论是③，理由如下： 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：①②，③． 由角平分线定义得到，因此，判定，推出，由补角的性质推出，判定 本题考查命题与定理，平行线的判定，关键是判定，得到 23.【答案】2450  【解析】解：设每个灯笼的价格为x元，每副春联的价格是y元， 则：， 解得：， 答：每个灯笼的价格为35元，每副春联的价格是20元； 设购买灯笼a个，花费为w元， 则：， ， 随a的增大而增大， ， ， 故答案为： 根据“购买5个灯笼和4幅春联需要花费255元；若购买3个灯笼和8幅春联需要花费265元”列方程组求解； 先求出费用与买灯笼的函数解析式，再根据函数的性质求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系和掌握函数的性质是解题的关键． 24.【答案】2  【解析】解：，， ， 的算术平方根与整数2更接近， 故答案为：2； ，，且， 的算术平方根在整数7和8之间， ，，且， ， 的算术平方根与整数8更接近； 猜想：若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近； 证明：设、x均大于，且， ， 的算术平方根与更接近． 比较的平方和的大小即可得解； 观察在哪两个连续整数之间，再计算这两个连续整数的中间值的平方和的大小即可得解； 由前述两问可猜想若一个正数的算术平方根在相邻的两个整数之间，且这个正数与这两个相邻整数的平方同样接近，则这个正数的算术平方根与较大数更接近，再根据前面思路证明即可． 本题主要考查了无理数的估算、算术平方根等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25.【答案】0  1      【解析】解：①当时，， ， 当时，， ， 故答案为：0，1； ②由题意得， ， 或， ， ， 故答案为：； 当时，即， ， 当时，即， ， 图象如下： 答案不唯一，例如：性质Ⅰ当时，y随x的增大而增大；性质Ⅱ函数有最小值，最小值是； 如图1， 当时， 当直线平行于时， 此时， 将，代入得 ， ， 当直线平行于时，， 将，代入得， ， ， 故答案为： ①分别将和代入，从而求得结果； ②可得出不等式，去绝对值得或，两式相加得出结果； 分别得出和的函数关系式，进而画出图象； 可从变化趋势和最值上描述； 数形结合：画出临界情形，进而得出结果． 本题考查了画分段函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$