专题06 坐标平面上的直线75道压轴题型专训（9大题型）-2024-2025学年高二数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020选择性必修第一册）

专题06 坐标平面上的直线75道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 根据直线与线段的相交关系求斜率范围 题型二 直线方程的几种特殊形式 题型三 根据两条直线平行、垂直求方程 题型四 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型五 直线围成图形的面积问题 题型六 点到直线的距离求最值问题 题型七 直线的位置与方程的综合应用 题型八 直线的存在性问题 题型九 点到直线的距离的综合应用 【经典例题一 根据直线与线段的相交关系求斜率范围】 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 2．（2025高二下·上海嘉定·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 3．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 4．（23-24高二下·上海闵行·课后作业）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    5．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【经典例题二 直线方程的几种特殊形式】 6．（23-24高二下·上海虹口·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 7．（23-24高二下·上海奉贤·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 8．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 9．（2024高二·全国·竞赛）如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､. (1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值. 10．（23-24高二下·上海·课后作业）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置； (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 【经典例题三 根据两条直线平行、垂直求方程】 11．（23-24高二·上海宝山·课后作业）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成． 12．（2024高二·上海虹口·专题练习）已知的顶点，，顶点C在第一象限，.求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC所在直线的方程； (3)边AB的中垂线的方程． 13．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知的顶点坐标为. (1)若点是边上的中点，求直线的方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 14．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知为任意实数，当变化时，方程． (1)此方程表示什么图形？图形有什么特点？ (2)求点与此方程所表示的图形的距离的最大值，并求出此时的值． 15．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知直线：与：的交点为. (1)求过点且平行于直线：的直线方程； (2)求过点且垂直于直线：直线方程； (3)求平行于且与其距离为3的直线方程. 16．（23-24高二下·上海金山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和． (1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程； (2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程． 17．（23-24高二·江苏·假期作业）（1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标； （2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程. 18．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.    (1)若直线与直线的法向量平行，求直线的方程； (2)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 19．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）在直角坐标平面中，已知直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为. (1)求直线经过的定点的坐标； (2)证明：； (3)是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 20．（23-24高二下·上海·期中）已知直线均过点P(1，2). (1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程； (2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值. 【经典例题四 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 21．（23-24高二下·上海长宁·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 22．（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）已知直线经过点，求： （1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程． 23．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 24．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 25．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【经典例题五 直线围成图形的面积问题】 26．（23-24高二下·上海徐汇·期中）已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 27．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 28．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线，，，且围成． (1)判断的形状； (2)已知，求的取值范围． 29．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 30．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 31．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．    (1)求直线CD的方程； (2)若，求点D的横坐标． 32．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求点坐标、直线的方程、点的坐标； (2)求的面积． 33．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． (2)若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 34．（23-24高二下·上海奉贤·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 35．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点的任一直线将三角形木板钻成，设直线的斜率为 (1)求直线的斜率的范围； (2)令的面积为，试求出的取值范围. 【经典例题六 点到直线的距离求最值问题】 36．（23-24高二下·上海长宁·期中）已知直线：，经过点． (1)若，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，求与之间的距离； (3)若与轴、轴的正半轴交于，两点，求的最小值． 37．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 38．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线 是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. (1)已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值； (2)已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围. 39．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 40．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 41．（23-24高二下·上海徐汇·期中）过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 42．（2024高二下·全国·专题练习）记函数的定义域为．若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象中的不动点． (1)若函数图象上有两个关于原点对称的不动点．求、应满足的条件； (2)在（1）的条件下，若，记函数图象上的两个不动点分别为、，为函数图象上的另一点，且其纵坐标，求点到直线距离的最小值及取得最小值时点的坐标； (3)下述命题“若定义在上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例． 43．（23-24高二下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 44．（23-24高二下·上海嘉定·开学考试）如图，是一张三角形纸片，，设直线与边分别交于点，将沿直线折叠后，点落在边上的点处．    (1)若，求点到的距离； (2)设，求点到距离的最大值． 45．（23-24高二下·上海长宁·期中）五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记. (1)设与相交于点R，当时， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求线段的长； (2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？ 【经典例题七 直线的位置与方程的综合应用】 46．（23-24高二下·上海奉贤·期中）（1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程． 47．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知直线和的交点为P． (1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： (2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 48．（23-24高二下·上海嘉定·期中）已知直线 过直线 和 的交点 . (1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程; (2)若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为原点. 若 的面积为 ，求直线 的方程. 49．（23-24高二下·上海徐汇·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 50．（23-24高二下·上海宝山·期中）（1）已知，点在与直线平行且过点的直线上，则直线必过定点，求定点的坐标. （2）已知直线过（1）中的定点，且与直线相交于第一象限内的点，与正半轴交于点，求使面积最小时的直线的方程. 51．（23-24高二下·上海松江·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 52．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程. 53．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）如图，已知四边形的四条边所在直线的方程分别为. (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积. 54．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是， (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与直线的夹角为，求直线的方程. 55．（23-24高二下·上海宝山·期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程； (2)求△AOB面积的最小值； (3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【经典例题八 直线的存在性问题】 56．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件: ①△AOB的周长为12; ②△AOB的面积为6. 57．（2024高二下·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 58．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，. (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； 59．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 60．（2024高二下·全国·专题练习）如图，已知椭圆C：与顶点，经过点且斜率存在的直线l交椭圆于Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN．求证：存在实数λ，使得恒成立． 61．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 62．（23-24高二下·上海嘉定·期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. (1)求点C坐标； (2)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 63．（23-24高二下·上海崇明·期中）（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界而射回原介质中的现象，被称为光的反射，一条光线从点出发，经反射后到达点，求反射光线所在直线的方程； （2）已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 64．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明：； (2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 65．（23-24高二下·上海长宁·期末）如图，四棱锥中，平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求的值； (3)若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【经典例题九 点到直线的距离的综合应用】 66．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知的三个顶点分别是.求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的面积. 67．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知点，直线（为任意实数）过定点． (1)求定点的坐标． (2)直线经过点，且点到直线的距离为3，求直线的方程． (3)点在直线上运动，求的最大值． 68．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离. (1)求点到直线与直线的“折线距离”； (2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 69．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 70．（23-24高二下·上海松江·期中）（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程； （2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程． 71．（23-24高二下·上海青浦·期中）如图所示，面积为8的平行四边形，为坐标原点，坐标为，、均在第一象限． (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标． 72．（23-24高二下·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 73．（23-24高二下·上海虹口·期末）某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 74．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）如图，已知，直线. (1)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 75．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 坐标平面上的直线75道压轴题型专训（9大题型） 【题型目录】 题型一 根据直线与线段的相交关系求斜率范围 题型二 直线方程的几种特殊形式 题型三 根据两条直线平行、垂直求方程 题型四 直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型五 直线围成图形的面积问题 题型六 点到直线的距离求最值问题 题型七 直线的位置与方程的综合应用 题型八 直线的存在性问题 题型九 点到直线的距离的综合应用 【经典例题一 根据直线与线段的相交关系求斜率范围】 1．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 2．（2025高二下·上海嘉定·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    3．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【详解】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，，所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 4．（23-24高二下·上海闵行·课后作业）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．    【答案】 【分析】根据题意结合图形求出直线的斜率，直线的斜率，即得直线斜率的取值范围． 【详解】根据图形，∵直线的斜率是， 直线的斜率是， ∴过点的直线与线段有公共点时， 直线的斜率的取值范围是 ． 故答案为：． 5．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 【经典例题二 直线方程的几种特殊形式】 6．（23-24高二下·上海虹口·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求得中点的坐标，再求得线段垂直平分线的斜率，进而得到线段垂直平分线的斜截式方程； （2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程. 【详解】（1）由题意可得，， 所以线段的中点为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 则线段垂直平分线的方程为， 故斜截式方程为. （2）设直线的截距式方程为， 则   ①，  ②. 由①②解得，，， 故直线的截距式方程为. 7．（23-24高二下·上海奉贤·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，， 【分析】设，根据坐标运算可转化为关于的二次函数，利用二次函数的最值求解即可. 【详解】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，    则， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 8．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出所在直线的斜率，然后求出所在的直线方程. （2）根据，由求出，进而求出所在直线的方程. 【详解】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即. 9．（2024高二·全国·竞赛）如图，四边形是平行四边形，，，，动直线由轴起向右平移，分别交两边于不同两点､. (1)求点和点的坐标，写出用表示的面积的函数解析式； (2)当为何值时，有最大值？并求出此时的最大值. 【答案】(1)，， (2)当时，取最大值为 【分析】（1）由题意求出点和点的坐标，进而求出直线的方程，讨论t的取值范围，结合三角形面积公式，即可求得答案. （2）分段求解函数的最值或取值范围，即可确定答案 【详解】（1），， 点的坐标为，即， 而，由此可求得点坐标为， 则的方程为，直线的方程为. 当时，点､分别在边和上，两点分别为､， ； 当时，点､分别在边和上， ， 综上所述，； （2）当时，，当时，取最大值为. 当时，， 此时在上单调递减，， 故当时，取最大值为. 10．（23-24高二下·上海·课后作业）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置； (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题意表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置； （2）建立平面直角坐标系，从而利用斜率公式表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置. 【详解】（1）若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. （2）若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则，直线的方程为， 设点，其中， ，， 所以 ， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 【经典例题三 根据两条直线平行、垂直求方程】 11．（23-24高二·上海宝山·课后作业）已知点不在直线上，直线过点，且它的斜率与直线的斜率相等，证明：直线的方程可以写成． 【答案】证明见解析 【分析】设点是直线上除点的任意一点，化简即得证. 【详解】证明：由题得直线的斜率为. 设点是直线上除点的任意一点，所以， 化简得. 显然点也满足此方程， 所以直线的方程可以写成. 故得证. 12．（2024高二·上海虹口·专题练习）已知的顶点，，顶点C在第一象限，.求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC所在直线的方程； (3)边AB的中垂线的方程． 【答案】(1) (2)或， (3)． 【分析】（1）根据轴，及点即可写出直线方程； （2）应用，轴，得出直线AC的倾斜角为或，进而求出斜率，利用点斜式写出直线方程即可； （3）因为轴，得出中垂线斜率不存在，又AB的中点为，即可写出直线方程. 【详解】（1）由题意知轴，且，所以边AB所在直线的方程为； （2）因为，轴， 所以直线AC的倾斜角为或，斜率为或， 所以边AC所在直线的方程为或, 所以边AC所在直线的方程为或； （3）因为轴， 所以边AB的中垂线垂直于x轴，它的斜率不存在，又AB的中点为， 所以AB的中垂线的方程为. 13．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知的顶点坐标为. (1)若点是边上的中点，求直线的方程； (2)求边上的高所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式得到，再由两点求出斜率，最后有点斜式方程求出即可； （2）由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】（1）因为点是边上的中点，则， 所以， 所以直线的方程为， 即； （2）因为， 所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 14．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知为任意实数，当变化时，方程． (1)此方程表示什么图形？图形有什么特点？ (2)求点与此方程所表示的图形的距离的最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)距离的最大值为，此时 【分析】（1）求出直线和直线的交点，再结合动直线的特点，即可求解． （2）根据到定点的距离即可求解. 【详解】（1），解得， 故当变化时，方程表示过直线和直线的交点， 除直线以外的所有直线，包括直线． （2）由于到的距离为， 故当过和点的直线与所给方程表示的图形垂直时，此时距离最大，且最大值为, 此时,故的斜率为， 故，解得 15．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知直线：与：的交点为. (1)求过点且平行于直线：的直线方程； (2)求过点且垂直于直线：直线方程； (3)求平行于且与其距离为3的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求解两直线的交点的坐标是，根据所求直线与直线： 平行，设所成直线为，代入点的坐标求解的值，确定直线方程； （2）根据所成直线与已知直线：垂直，设所成求直线为，代入点的坐标求解的值，确定直线方程； （3）根据平行关系设直线方程为，根据题意利用两平行线间距离公式运算求解. 【详解】（1）由 解得，所以点的坐标是， 因为所求直线与平行，所以设所求直线的方程为， 把点的坐标代入得 ，得， 故所求直线的方程为． （2）因为所求直线与垂直，所以设所求直线的方程为， 把点的坐标代入得，得， 故所求直线的方程为． （3）设平行于的直线方程为， 由题意可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 16．（23-24高二下·上海金山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和． (1)若是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程； (2)若是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程． 【答案】(1)和 (2) 【分析】（1）先求出直线的斜率，注意到正方形中的邻边所在直线与直线垂直，由直线垂直的斜率表示可以求出的邻边所在直线的斜率，由直线的点斜式方程即可求解. （2）注意到正方形的两条对角线互相垂直且平分，由中点坐标公式以及斜率的垂直表示可以分别求出方形另外一条对角线所经过的点（即正方形的中心）的坐标和斜率，由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题意， 所以， 注意到与直线垂直的直线的斜率为， 所以， 整理得所求两条直线为和. （2）由（1）可知直线方程为，且注意到正方形的两条对角线互相垂直平分， 所以另外一条对角线的斜率为， 又， 所以中点为，则另一条对角线过点， 所以正方形的另一条对角线方程为，整理得． 17．（23-24高二·江苏·假期作业）（1）求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标； （2）求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【分析】（1）解法一：利用特值法，可得定点，再验证满足题意；解法二：动直线转化为，利用，则关于的方程系数为，列出方程解得即可. （2）解法一：联立两直线求出交点，又与直线垂直的直线斜率，写出直线即可；解法二：利用垂直直线系，得直线方程为，再代入交点解得的值，即可得到答案；解法三：利用交点系得直线，又，得方程，解得的值，即可得到答案. 【详解】(1)证明：解法一：令，则直线方程为   ① 再令时，直线方程为   ② ①和②联立方程组，得， 将点代入动直线中，即故动直线恒过定点. 解法二：将动直线方程按降幂排列整理，得① 不论为何实数，①式恒为零， ∴ 有，解得， 故动直线恒过点． (2)解法一：联立方程，解得， 直线的斜率为，由，则直线的斜率为， 故直线的方程为. 解法二：设所求直线方程为， 将解法一中求得的交点代入上式可得， 故所求直线方程为. 解法三：设直线的方程为， 即，又， ∴   ， 解得， 故直线的方程为. 18．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.    (1)若直线与直线的法向量平行，求直线的方程； (2)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【分析】（1）由题设直线，代入点求出，即可得解； （2）设，，根据求出、，从而求出直角梯形的面积，设，，依题意可得，当时，求出直线的方程，即可求出直线过定点坐标，当时，也可得到直线过定点. 【详解】（1）由题设直线，将点代入得， 解得，故直线． （2）因为，设，，由，，， 即有， 可得，，，，， 梯形的面积为，由题意可得梯形的面积为6， 设，，可得，即， 当时，直线的方程为， 将代入上式可得． 由，解得，则直线经过定点． 当时，的方程为，过点，综上所述直线过定点． 19．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）在直角坐标平面中，已知直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为. (1)求直线经过的定点的坐标； (2)证明：； (3)是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）直线方程化为，令解方程组即可； （2）法一过点分别向轴和轴作垂线，垂足为、，利用矩形的面积小于三角形的面积即可证明；法二分别求出点坐标，再结合基本不等式求解即可； （3）求出，设存在直线，问题转化为，再利用两直线垂直得到斜率关系，最后求出直线方程即可； 【详解】（1）直线方程化为， 由解得， 所以直线经过的定点. （2） （法一）过点分别向轴和轴作垂线，垂足为、， 则矩形的面积， 而的面积大于矩形的面积，所以. （法二）由题意，得， 令，得，则， 令，得，则， 所以的面积 ， 当且仅当，即时取等号. 所以的面积. （3）由得， 假设存在直线，使得， 即存在直线，使得， 由同一三角形面积相等可得此时，由得直线斜率， 直线的方程为，即. 20．（23-24高二下·上海·期中）已知直线均过点P(1，2). (1)若直线过点A(-1，3)，且求直线的方程； (2)如图，O为坐标原点，若直线的斜率为k，其中，且与y轴交于点N，直线过点，且与x轴交于点M，求直线与两坐标轴围成的四边形PNOM面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）易得 ，由，得到，写出直线的方程； （2）由直线的方程，分别令，，得到直线与坐标轴的交点，同理得到直线与x的交点，再转化为三角形面积求解. 【详解】（1）解：因为直线均过点P(1，2)，且直线又过点A(-1，3)， 所以 ，因为， 所以，则直线的方程，即； （2） 如图所示： 由题意得：直线的方程为：， 令，得，即， 令，得，即直线与x轴的交点为， 直线又过点， 所以直线的方程为：， 即， 令，得，即， 所以， ，， 因为， 所以当时， PNOM面积的最小值为. 【经典例题四 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 21．（23-24高二下·上海长宁·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案； （2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求. 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 22．（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）已知直线经过点，求： （1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程． 【答案】（1）或（2） 【分析】（1）当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为：，把点代入直线的方程可得值，即得所求的直线方程； （2）设直线方程为：，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值，继而得到直线方程 【详解】解：（1）若直线的截距为，则直线方程为； 若直线的截距不为零，则可设直线方程为：， 由题设有， 所以直线方程为：， 综上，所求直线的方程为或． （2）设直线方程为：，则 ， 所以，面积， 又由得， 当且仅当成立， 即当时，面积最小为6 所以，所求直线方程为 23．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 24．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. 25．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【分析】 （1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 【经典例题五 直线围成图形的面积问题】 26．（23-24高二下·上海徐汇·期中）已知的顶点坐标为． (1)在中，求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)． (2)4. 【分析】（1）运用直线垂直得到高线直线的斜率，再用点斜式计算即可； （2）运用两点间距离计算底长，再用点到直线距离公式计算高线，再计算面积即可. 【详解】（1）直线AB的斜率，边上的高线所在直线的斜率为 故中，边上的高线所在直线的方程为，即为． （2），， 直线的方程为，即为， 点C到直线的距离为， ． 的面积为4. 27．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． （2）因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 28．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线，，，且围成． (1)判断的形状； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，分与讨论，分别得到，即可得到结果； （2）根据题意，由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，显然，所以为直角三角形； 当时，设直线的斜率分别为，则． 因为，所以，所以为直角三角形，故为直角三角形． （2）易知均恒过点，记为． 记为点到直线的距离，即． 联立解得故． 为点到直线的距离，即． 所以， 当且仅当时等号成立，所以． 29．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）直线l的方程可化为，由即可求出直线l过定点，从而证得直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，利用两点间距离公式求出此时|PQ|的值，再根据两垂直直线的斜率关系求出k的值，得到直线l的方程，再求出点A，B的坐标，从而求出△PAB的面积． 【详解】（1）直线l方程，可化为， 令，解得， 则直线l经过定点， 故直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且， 此时，所以直线l的斜率为， 即，则l：， 则，，， 故的面积为． 30．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【答案】(1)直线恒过定点； (2) (3)面积的最小值为4，直线方程为 【分析】（1）直线可化为，然后结合直线系方程可求； （2）当时，原点到直线的距离最大，结合两点间距离公式可求； （3）设直线的方程为，，由直线过定点，可得，然后结合基本不等式可求． 【详解】（1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； （2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； （3）设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 31．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为原点，点B的坐标为，点C，D在第一象限．    (1)求直线CD的方程； (2)若，求点D的横坐标． 【答案】(1) (2)横坐标为或2 【分析】 （1）由题意可得，设直线CD的方程为（），结合平行四边形ABCD的面积、求得AB与CD之间的距离，利用平行线的距离公式列方程求参数m，根据题设写出直线方程； （2）设点D的坐标为，根据点在直线上、两点距离公式列方程求坐标即可. 【详解】（1）因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，则． 设直线CD的方程为（），即． 因为平行四边形ABCD的面积为8，，故AB与CD之间的距离为． 由题图知：直线AB的方程为，于是，解得． 由C，D在第一象限知：，所以， 故直线CD的方程为． （2）设点D的坐标为，由，则． 所以，解得或， 故点D的横坐标为或2． 32．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求点坐标、直线的方程、点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）点，根据中点在直线上求参数，即得坐标，利用点关于直线对称及点斜式求直线，进而联立直线方程求的坐标； （2）应用两点距离、点线距离公式及三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由点在上，设点，则中点在直线上， 于是，解得，即点， 设A关于直线的对称点为，则，解得，即， 显然点在直线上，直线的斜率为， 因此直线的方程为，即， 由，解得，则点，    所以，直线的方程为，点的坐标为． （2）由（1）得， 点A到直线的距离， 所以的面积． 33．（23-24高二下·上海杨浦·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． (2)若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值. 【详解】（1）当经过时，设，代入，所以，即， 当不经过时，设，代入，解得，即， 所以直线的方程为或. （2）由题意设， 令，则，所以，令，则，所以， 所以，， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即(舍)时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为.    34．（23-24高二下·上海奉贤·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)4； 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值． （3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程． 【详解】（1）直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得， 所以直线恒过定点. （2）如图所示：    点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即,此时， 所以的斜率为：， 可得，解得． （3）如图所示：    若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为． 35．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分钻掉，可用经过点的任一直线将三角形木板钻成，设直线的斜率为 (1)求直线的斜率的范围； (2)令的面积为，试求出的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先直线由直线过点代入求出，再联立直线方程，直线的方程即可解得的坐标，从而即可求解的范围； (2)首先求出，代入面积公式，即可得解. 【详解】（1）解：设直线因为直线过点 所以， 又因为， 直线直线 故 ， 所以； （2）解： 设到直线的距离为， 则， 令，, 由双勾函数的性质可知在上单调递增, 所以， 即， 所以的取值范围为. 【经典例题六 点到直线的距离求最值问题】 36．（23-24高二下·上海长宁·期中）已知直线：，经过点． (1)若，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，求与之间的距离； (3)若与轴、轴的正半轴交于，两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解； （2）直接由平行线间距离公式即可求解； （3）求得直线在两坐标轴上交点，再由两点间距离公式及基本不等式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即． （2）因为，所以两直线间的距离为． （3）设直线方程为，． 当时，；当时，． 则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为6． 37．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）已知直线 (1)证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； (2)求点到直线l距离的最大值； (3)若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【详解】（1）对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2）由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. （3）设，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 38．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线 是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. (1)已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值； (2)已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线的距离之积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由“共轭线对”的定义结合直线的夹角公式以及基本不等式即可求解. （2）由“共轭线对”设出直线方程（含有参数），由点到直线的距离公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为， 则 ， ， ， 等号成立的条件是，所以直线的夹角最小值为. （2）设，，其中， 故 由于（等号成立的条件是）， 故， 所以， 即原点O到直线的距离之积的取值范围为. 39．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程； （2）点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可，设，整理之后为， 转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方． 【详解】（1）如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 （2）线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 40．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (2)求点到直线距离的最大值并求此时直线的方程； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点的面积为为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)的方程为 (3)4，此时直线l的方程为 【分析】（1）由直线过定点可得斜率k的范围； （2）由于直线恒过定点，所以与直线垂直时，点到直线距离最大，最大距离为； （3）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值． 【详解】（1）直线的方程为：，它过定点 ，在第二象限， 因此直线不过第四象限，则， ∴的取值范围是． （2）由直线点斜式方程可知直线恒过定点且斜率为， 结合图象： 可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，且， 此时的方程为． （3）由题意可知，再由l的方程，得． 依题意得解得． ， “＝”成立的条件是且，即， ，此时直线l的方程为． 41．（23-24高二下·上海徐汇·期中）过点作直线分别交的正半轴于两点. (1)求面积的最小值及相应的直线的方程； (2)当取最小值时，求直线的方程. 【答案】(1)，直线的方程为. (2) 【分析】（1）设，设直线的方程为，代入得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解； （2）设直线，求出，利用距离公式表示出，借助基本不等式计算即可. 【详解】（1）依题意设， 设直线的方程为，代入得， 所以，则，当且仅当，即时取等号， 从而，当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为，即， 所以，此时直线的方程为. （2）依题意直线的斜率存在且，设直线， 令，解得，令，解得，所以， 则， 当且仅当，即， 即时取最小值， 此时直线的方程为. 42．（2024高二下·全国·专题练习）记函数的定义域为．若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象中的不动点． (1)若函数图象上有两个关于原点对称的不动点．求、应满足的条件； (2)在（1）的条件下，若，记函数图象上的两个不动点分别为、，为函数图象上的另一点，且其纵坐标，求点到直线距离的最小值及取得最小值时点的坐标； (3)下述命题“若定义在上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例． 【答案】(1)且，； (2) (3)正确，证明见解析. 【分析】（1）根据不动点的定义可得有两个根，且这两个根绝对值相等符号相反，求解即可； （2）在（1）的条件下求得不动点的坐标，设点，由点到直线的距离公式可得，求得最小值及此时的点的坐标即可； （3）可得点是奇函数的一个不动点，再证明非零不动点成对出现即可. 【详解】（1）由题意，若点是不动点，则， 整理得，① 根据题意可判断方程①有两个根，且这两个根绝对值相等符号相反． 由韦达定理得，． 而，，故、应满足，且． （2）在（1）的条件下，当时，， 由，得两个不动点为，． 设点，则，即，解得． 直线的方程为，设点到直线的距离为， 则， 当且仅当，即时，上式取等号，此时，， 故． （3）命题正确． 为奇函数，，又，令，则， 点是奇函数的一个不动点． 设是奇函数的一个不动点，则，由， 也是奇函数的一个不动点． 又，这说明奇函数的非零不动点如果存在，则必成对出现． 又根据题设，只有有限个不动点，故奇函数的不动点数目是奇数个． 【点睛】方法点睛：本例是追溯条件型问题与探索性问题相综合，难点是第（2）小题．可假设在函数的图像上存在着纵坐标大于3的一点，使点到直线距离的最小值为．若能求出符合条件的点则存在，反之则不存在．（3）证明过程中由于．是一个不动点，只要证非零不动点是成对出现的，则真命题可证． 43．（23-24高二下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的长AB为2，宽BC为1，，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，将矩形折叠，使点落在线段上，设此时为M. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线的方程； (2)若折痕所在直线的斜率为，（为常数），试用表示点M的坐标，并求折痕上任一点满足的等式； (3)当时，求折痕长的最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）若折痕的斜率为时，由于A点落在线段上，可得折痕必过点，即可得出； （2）分和两种情况，结合垂直关系求直线方程即可得出结果； （3）当时，折痕为2，当时，折痕所在直线交于点，交轴于，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出. 【详解】（1）因为折痕的斜率为时，A点落在线段上 可知折痕必过点 所以直线方程为. （2）①当时，此时A点与点重合，折痕所在的直线方程. ②当时，将矩形折叠后A点落在线段上的点记为，， 则A与关于折痕所在的直线对称，有，即. ∴点坐标为 从而折痕所在的直线与的交点坐标即线段的中点为， 折痕所在的直线方程，即. 综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：. （3）当时，折痕长为2. 当时，折痕所在直线交于点，交轴于. 因为 ， 则折痕长的最大值为. 综上所述，折痕长度的最大值为 44．（23-24高二下·上海嘉定·开学考试）如图，是一张三角形纸片，，设直线与边分别交于点，将沿直线折叠后，点落在边上的点处．    (1)若，求点到的距离； (2)设，求点到距离的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点建立直角坐标系，求出线段的中垂线方程及直线的方程，再联立求出交点横坐标作答. （2）求出线段的中垂线方程，与直线的方程联立求出交点横坐标，再求出最大值作答. 【详解】（1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，    显然点，直线的方程为，即， 直线的斜率，而直线垂直平分线段，于是直线过点，斜率为， 因此直线的方程为，即， 由与联立消去y得：，即点的横坐标为， 所以点到的距离为. （2）由（1）知，点，直线的方程为，显然， 直线的斜率，而直线垂直平分线段，于是直线过点，斜率为， 因此直线的方程为：，即， 由与联立消去y得：，即点的横坐标为， 因此点到的距离， 当时，， 显然，，当且仅当，即时取等号， 于是当时，， 所以当时，点到距离取得最大值. 45．（23-24高二下·上海长宁·期中）五一假期，杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图像的角度为，即，其中P，Q分别在边，上，记. (1)设与相交于点R，当时， （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求线段的长； (2)为节省能源，小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形的面积记为S）最大，应取何值？S的最大值为多少？ 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)， 【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，在中，直接求解，从而可得点坐标，求出直线的方程，再与直线的方程联立可求出点的坐标，再用两点间的距离公式可求出的长； （2）由于，，从而可求出的值，进而可表示出四边形的面积，再用三角函数的性质求出其最大值. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由，， 所以， 由，得，所以， 又，则，， 在中，， 所以，所以， 所以直线的方程为，化简得， 又直线的方程为，联立，解得， 所以， 所以线段. （2） ， 又，所以， 所以当且仅当时，. 【经典例题七 直线的位置与方程的综合应用】 46．（23-24高二下·上海奉贤·期中）（1）若直线经过点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线的斜截式方程． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）由题意设直线方程为：，代入即可求； （2）分直线截距为0和不为0两种情况讨论即可求. 【详解】（1）设所求直线方程为：， 因为直线经过点， 所以，解得， 所以直线的一般式方程为； （2）当直线的截距为0时，直线方程为：， 当直线的截距不为0时，由题意可设直线方程为：， 因为直线经过点， 所以，所以， 所以直线方程为：，即， 综上所述：直线方程为或. 47．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知直线和的交点为P． (1)若直线l经过点P且与直线平行，求直线l的方程： (2)若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出已知直线的交点坐标，根据直线的平行关系，即可求得答案； （2）设直线方程的截距式，由题意列出相应方程组，即可求得答案. 【详解】（1）联立，解得，即， 直线l经过点P且与直线平行， 故设直线l方程为，将代入得， 故直线l方程为； （2）由题意知直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5， 则其在坐标轴的截距不为0，设其方程为， 与两坐标轴的交点分别为，则， 解得或， 故直线m的方程为或， 即或. 48．（23-24高二下·上海嘉定·期中）已知直线 过直线 和 的交点 . (1)若直线 与直线 垂直，求直线 的方程; (2)若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点， 为原点. 若 的面积为 ，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求两直线交点坐标，再利用垂直关系求直线斜率，最后点斜式写出直线方程； （2）先设截距式直线方程，再利用直线过定点和已知面积，联立方程组即可求解. 【详解】（1）由直线 和 相交得： ，解得：，即交点的坐标为， 由化为，可知直线的斜率为， 再由直线与直线 垂直， 根据这两直线斜率之积为，可知直线的斜率为， 又由直线过点，所以由点斜式方程可得：， 整理得：， 所以直线 的方程为 . （2）解:设直线 的方程为 ， 由直线过点，所以有， 再由，可得， 联立上两式方程组可解得： 所以直线 的方程为 ， 即直线 的方程为 . 49．（23-24高二下·上海徐汇·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点. (1)若，求直线的方程; (2)求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线上去交点坐标，由向量的关系，建立方程，解得一个交点坐标，写出直线方程； （2）讨论直线斜率是否存在，当斜率不存在时，显然没有三角形，舍去；当斜率存在时，设直线方程，联立方程组求解出点坐标得到的值，由点到直线的距离公式得到三角形的高，用三角形面积公式得到三角形面积的表达式，通过的取值范围得到函数的最小值. 【详解】（1）设，， 则， ∵，∴，∴， 则，∴，即 （2）当直线与的斜率不存在时，，与两个交点重合，舍去； 当直线与的斜率存在时，设，联立方程组解得，即； 同理，联立方程组，解得，即， 原点到直线的距离 ∵，∴，当时，最大，此时取最小值， ∴最小值为. 50．（23-24高二下·上海宝山·期中）（1）已知，点在与直线平行且过点的直线上，则直线必过定点，求定点的坐标. （2）已知直线过（1）中的定点，且与直线相交于第一象限内的点，与正半轴交于点，求使面积最小时的直线的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）待定系数法得到，故，变形为，求出定点； （2）设，，，所以三点共线， 分与轴垂直和不垂直两种情况，当斜率不存在时，求出；当斜率存在时，表达出，，由基本不等式求出，从而求出，得到直线的斜率，求出直线方程. 【详解】（1）设与直线平行且过点的直线方程为， 将代入得，，解得， 故，所以，即， 故直线必过定点； （2）设，，，所以三点共线， 当与轴垂直时，，，故； 当与轴不垂直时，，即，故， 因为在上，所以，所以， 因为，所以，解得， 故 ，当且仅当，即时，等号成立， 此时，所以， 因为，所以面积最小值为40，直线的斜率为， 故直线的方程为，即. 51．（23-24高二下·上海松江·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程 (1)求过点A且与平行的直线方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线方程； (4)边的垂直平分线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）根据平行求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （2）求出线段中点坐标，分析可得直线方程. （3）利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. （4）求出线段中点坐标，利用垂直求直线斜率，写出直线点斜式方程，化成一般式. 【详解】（1）的斜率：， 所求直线的方程为，整理得. （2）因为，，所以的中点坐标为， 因为，所以边上的中线所在直线的方程为. （3）的斜率：， 所以边上的高所在直线方程的斜率， 边上的高所在直线方程为，整理得. （4）由题意知：的中点坐标为，， 边的垂直平分线的斜率：， 边的垂直平分线的方程为，整理得. 52．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. (1)求直线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程； （2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程. 【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为， 与互相垂直，直线的斜率为， 结合，可得的点斜式方程：， 化简整理，得，即为所求的直线方程． （2）由和联解，得, 由此可得直线方程为：，即.. ,关于平分线x轴对称，则倾斜角互补，斜率和y轴截距都互为相反数. 直线的方程为：. 53．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）如图，已知四边形的四条边所在直线的方程分别为. (1)证明：四边形是平行四边形； (2)求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直线得到斜率，根据斜率得到直线的位置关系，即可得到结果； （2）先根据两直线得到交点，得到两点之间的距离，再根据两平行线之间的距离可得到面积. 【详解】（1）证明：将和的方程化为截距式方程，得， 和的斜率相等且截距不等，， 同理可得， 四边形是平行四边形； （2）解：由得 同理可得， ， 又直线与间的距离， 四边形的面积. 54．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点是直线上的一点，将直线绕点逆时针方向旋转角，所得直线方程是，若将它继续旋转角，所得直线方程是， (1)求直线的方程； (2)若直线过点，且直线与直线的夹角为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】 （1）先求得点的坐标，然后根据点斜式求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，通过夹角公式求得直线的方程. 【详解】（1）由解得，故. 直线斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为. （2）设直线与直线的夹角为，且，则为锐角，且， 所以， 直线的斜率为， 当直线的斜率不存在，即直线轴时，，符合题意，. 当直线的斜率存在时，设其斜率为， 则，解得， 所以直线的方程为. 所以直线的方程为或. 55．（23-24高二下·上海宝山·期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点． (1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程； (2)求△AOB面积的最小值； (3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1)3x﹣2y﹣5＝0； (2)12； (3)证明见解析，定点（3，1）． 【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点P即可求出直线方程； （2）设直线截距式方程为，代入点P得到，利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设A（a，0），B（0，b），利用得到a＝9，b＝6，再设E（m，2），F（n，0），根据四边形面积得到m+n＝6，代回直线EF方程，求出定点得解． 【详解】（1）由题设直线l：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直线l的方程为3x﹣2y﹣5＝0. （2）设直线l的方程为， 将点（3，2）代入得，则ab≥24， 则，当且仅当，结合，即a＝6，b＝4时等号成立， 故△AOB的面积最小值为12. （3）证明：点P分向量所成的比的值为2，即为， 设A（a，0），B（0，b），由P（3，2），， 即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2）， 可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3， 梯形AOMP的面积为，由题意可得梯形FOME的面积为6， 设E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6， 由直线EF的方程为， 将n＝6﹣m代入上式可得， 由，解得x＝3，y＝1， 则直线EF经过定点（3，1）． 【经典例题八 直线的存在性问题】 56．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件: ①△AOB的周长为12; ②△AOB的面积为6. 【答案】存在，. 【分析】假设存在满足条件的直线，由直线方程求得A，B进而得到△AOB的周长与△AOB的面积，由方程组是否有解即可判断. 【详解】解：设直线方程为， 若满足条件（1），则=12.① 又因为直线过点所以.② 由①②可得， 解得， ∴所求直线的方程为=1或=1， 即或. 若满足条件（2），则，③ 由题意得=1，④ 由③④整理得， 解得 ∴所求直线的方程为=1或=1， 即或. 综上所述，存在同时满足（1）（2）两个条件的直线，其方程为. 57．（2024高二下·全国·专题练习）已知两点． (1)是否存在整数，使直线与直线相交？ (2)是否存在整数，使直线与线段相交？ (3)是否存在正整数，使点分别位于直线的两侧？ 【答案】(1)存在 (2)存在 (3)不存在 【分析】（1）由两相交直线斜率不相等即可得解. （2）通过分析得知，将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0，由此即可得解. （3）由（2）中结论结合正整数的范围即可得解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率， 因为两条直线相交，则，即，故可以取外的所有整数． （2）位于直线上的点，其坐标代入后，其值必为0． 位于直线同侧的点，其坐标代入后，其值必同号． 而位于直线两侧的点，其坐标代入后，其值必异号． 直线与线段相交，则点和或位于该直线的两侧，或其中一点在该直线上． 于是将点、的坐标代入后，其值的乘积必小于或等于0， 即，解得．因此符合条件的整数可以是或1． （3）由问题（2）的分析知，当位于直线的两侧，将点的坐标分别代入后，其值必异号， 则乘积必小于0，即，解得，因此符合条件的正整数不存在． 58．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，. (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可； （2）分斜率存在和不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，再求出直线方程即可； 【详解】（1）由直线，直线， 根据点到直线的有向距离公式可得，， （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为，即， 假设， 化简可得，解得或， 所以直线的方程为或. 59．（23-24高二下·全国·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)存在，，面积取得最小值8. 【分析】（1）法一：直线化为，即可求定点；法二：直线化为点斜式确定定点； （2）根据直线与坐标轴交点特征求参数范围，应用三角形面积公式得到关于参数m的表达式，进而求最值. 【详解】（1）法一：由，得． 当，即时，直线恒过定点． 法二：由，得， 表示过点的点斜式，即直线恒过定点． （2）存在实数，由（1）知：直线恒过第一象限的点． 所以与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交． ． 因为，所以． 当，即时，的面积取得最小值8． 60．（2024高二下·全国·专题练习）如图，已知椭圆C：与顶点，经过点且斜率存在的直线l交椭圆于Q，N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，连接AB，AN．求证：存在实数λ，使得恒成立． 【答案】证明见解析 【分析】设直线再联立方程组，再根据共线得出参数关系再证明等式即可. 【详解】设，由，可得． 设，则 , ∴． 又N，E，Q三点共线，则，即，∴． ∵，则， ∴存在实数，使得恒成立． 61．（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知方程（）． (1)求该方程表示直线的条件； (2)当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； (3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不过定点，证明见解析 【分析】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点. 【详解】（1）当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； （2）当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； （3）不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 62．（23-24高二下·上海嘉定·期中）在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. (1)求点C坐标； (2)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据垂直关系得出直线斜率，再由点斜式得出直线方程； （2）根据题意设出点坐标，再由中点公式得出点坐标，代入直线方程即可得解. 【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 所以， 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即：. 联立，解得， 即点. （2）由题知，满足条件的点F为点C关于直线BE的对称点， 直线AC的方程为：，设点， 所以， 将点E带入直线BE的方程得：，解得， 所以， 即存在点，使得. 63．（23-24高二下·上海崇明·期中）（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界而射回原介质中的现象，被称为光的反射，一条光线从点出发，经反射后到达点，求反射光线所在直线的方程； （2）已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2）面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 【分析】（1）求出关于直线的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为，求出直线的方程，即可得解； （2）设直线，假设在轴上，则、，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出的面积的最小值，即可得解. 【详解】解：（1）设关于直线的对称点为， 所以，，解得，即点， 所以反射光线所在直线为，其方程为，即． （2）由题意可设直线， 令，可得，令，可得， 不妨假设在轴上，则、， 则的面积， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为． 64．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明：； (2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】 （1）利用给定新定义结合绝对值不等式证明即可. （2）进行合理分类讨论，求出符合情况的点即可. 【详解】（1）由绝对值不等式知，， 而， 当且仅当，时等号成立， 即三点共线时等号成立． 故成立. （2）点与点是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论： 若，则， 由条件①，得， ，，. 由条件②，得， ， . 因此，所求的点. 若，则， 由条件①，得， 代入条件得，解得， 结合条件②得，代入条件得， 解得，故.可得符合条件的点. 综上，当，时，存在符合条件的点， 当， 时，存在符合条件的点， 65．（23-24高二下·上海长宁·期末）如图，四棱锥中，平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求的值； (3)若，在线段上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）推导出平面． ．由此能证明平面; （2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值; （3）设，当，，，由知，,，这与矛盾,从而在线段上不存在点，使得． 【详解】（1）证明：因为 平面，, 所以 平面, 又因为 平面，所以 ． 在中，，是的中点， 所以 ． 又因为 , 平面, 所以 平面． （2）因为 平面，平面， 所以, 又因为  , 所以如图建立空间直角坐标系． 则, 则，， 设平面的法向量为． 则即 ， 令，则，， 故． 因为平面，平面， 所以, 又,平面, 所以平面． 又因为， 所以取平面的法向量为 所以， 则，解得． 又因为，所以； （3）结论：不存在．理由如下： 证明：设． 当时，，， 由知,，这与矛盾, 所以在线段上不存在点，使得． 【经典例题九 点到直线的距离的综合应用】 66．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知的三个顶点分别是.求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用两点式斜率公式得，再利用垂直关系求出高的斜率，代入点斜式方程求解即可. （2）根据点斜式直线方程求出边所在的直线，代入两点式距离公式求得，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】（1），所以边上的高的所在直线的斜率， 又，由点斜式的方程可得边上的高所在的直线方程为， 即. （2）在中，边所在的直线为即， 又，所以， 点到直线的距离， 所以. 67．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）已知点，直线（为任意实数）过定点． (1)求定点的坐标． (2)直线经过点，且点到直线的距离为3，求直线的方程． (3)点在直线上运动，求的最大值． 【答案】(1)， (2)和 (3) 【分析】（1）将方程化为，即可求解， （2）考虑直线有无斜率，即可设出直线方程，根据点到直线的距离个数求解， （3）根据三点共线即可求解. 【详解】（1）由得， 令且，解得，故， （2）若直线无斜率，则方程为，此时到的距离为3，符合题意， 若直线有斜率，设方程为，此时到的距离为，解得，故直线方程为 综上，直线方程为和, （3）由于在直线的同一侧， 故,当且仅当三点共线时取到等号， 故, 故最大值为    68．（23-24高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离. (1)求点到直线与直线的“折线距离”； (2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)7 (2),证明见解析 【分析】（1）先求得坐标，由点到线的距离公式即可求解； （2）求得在上的镜像点，再结合即可求解. 【详解】（1）设，由题意可得：解得： 所以 （2）设在直线的镜像点， 由题意可得：解得：， 所以 又， 所以 所以， 所以动点在定直线上. 69．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. (1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离； (2)若，求直线的方程； (3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【详解】（1）由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. （2）显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. （3）延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 70．（23-24高二下·上海松江·期中）（1）过点作直线使它被直线和截得的线段被点平分，求直线的方程； （2）光线沿直线射入，遇直线后反射，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） ；（2）． 【分析】（1）设与的交点为，则根据点关于点的对称点在上，求得的值，再根据点和的坐标求出直线的方程； （2）先求得反射点的坐标，在直线上取一点，设关于直线的对称点，求得，再利用直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程． 【详解】解：（1）设与的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在上，代入的方程得，∴， 即点在直线上，所以直线的方程为． （2）由，得，∴反射点的坐标为． 又取直线上一点，设关于直线的对称点， 由可知，.而的中点的坐标为. 又点在上，∴. 由得， 根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为. 71．（23-24高二下·上海青浦·期中）如图所示，面积为8的平行四边形，为坐标原点，坐标为，、均在第一象限． (1)求直线的方程； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由题设有，设，根据四边形面积易得点到的距离为，应用点线距离公式求参数，即可得直线方程； （2）根据两点距离公式、点在直线上列方程组求点的坐标. 【详解】（1）因为是平行四边形，所以，所以， 设直线的方程为，即． 因为四边形的面积为8，， 所以与的距离为，即点到的距离为， 于是，所以，由图知，， 所以，直线的方程为． （2）设坐标为，因为，所以． 所以，解得，或，． 所以点的坐标为或． 72．（23-24高二下·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离. 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 73．（23-24高二下·上海虹口·期末）某市的两条直线公路OM，ON所围成的角形区域内有一村庄，该市为响应党中央的乡村振兴战略，拟过村庄修建一条公路，使之围成一个等腰三角形区域．在区域内建设高效生态农业示范带，促进本地农村经济发展．现利用无人机在空中测得到公路OM，ON的距离均为10千米，，且．设计人员方便规划计算，在图纸上以为坐标原点，以直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求出公路的长度及该示范带的总面积． 【答案】(1) (2)公路长千米，示范带250平方千米 【分析】（1）设P，由点到直线的距离等于10得出点的坐标； （2）由得出，进而得出的方程，再由的坐标以及勾股定理得出的长度，最后由求面积. 【详解】（1）解：由可知：直线的斜率 直线的方程为： ∵点P到OB，OC的距离均为10 ∴设点P的坐标为 点到的距离，解得： 所以点的坐标为 （2）∵点P到OB，OC的距离相等． ∴点在的角平分线上． ∵ ∴点为的中点， ∴ 直线的方程为 令得 ∴， ， ∴公路的长度为千米，示范带总面积为250平方千米． 74．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）如图，已知，直线. (1)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）､（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；求出定点在直线上，且，由得到，设出,，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （2）作出辅助线，确定关于和的对称点，，得到，由对称性得，写成直线方程． 【详解】（1）因为，所以，由题意得直线方程为， 直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为， 易知直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得，所以直线的方程为； （2）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为，即. 75．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得重心的坐标；设，关于直线的对称点分别设为，表示出的坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标即可求得点的坐标； （2）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案. 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$