专题05 坐标平面上的直线易错必刷题型专训（96题32个考点）-2024-2025学年高二数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2020选择性必修第一册）

专题05 坐标平面上的直线易错必刷题型专训（96题32个考点） 【易错必刷一 直线的倾斜角】 1．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·课前预习）直线的倾斜角 （1）定义 如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 3．（23-24高二下·上海·课前预习）在平面直角坐标系中．给定两条相交的直线 ：（，不同时为零）， ：（，不同时为零）． (1)我们学过哪些量可以确定直线的方向呢？ (2)请写出与的法向量和，当时，和有怎样的位置关系？你能写出两条直线垂直的充要条件吗？ (3)当、斜率存在时，设为、，以上条件能用斜率改写吗？ 【易错必刷二 直线斜率的定义】 4．（23-24高二下·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 5．（23-24高二下·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 6．（23-24高二下·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 【易错必刷三 斜率与倾斜角的变化关系】 7．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·上海·课前预习）直线的斜率 （1）当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即 ；当，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在．倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． （2）直线上任意两点、，当时， ；当时，斜率k ． （3）事实上，即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． （4）斜率k和倾斜角θ之间的关系 θ 0 k 9．（23-24高二·全国·课后作业）（1）如果直线的倾斜角，则当增大时，直线的斜率将怎样变化？如果呢？ （2）能否说直线的倾斜角增大时斜率也增大？为什么？ 【易错必刷四 已知两点求斜率】 10．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x轴的直线的倾斜角为或； ③若直线过点与，则该直线的斜率为． 其中正确说法的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 11．（2024高二·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 12．（23-24高二下·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 【易错必刷五 已知斜率求参数】 13．（23-24高二下·上海·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 14．（23-24高二下·上海奉贤·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 15．（23-24高二下·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【易错必刷六 斜率公式的应用】 16．（2024高二·上海闵行·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·上海青浦·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 18．（23-24高二下·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【易错必刷七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 19．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D．  20．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 21．（23-24高二·上海金山·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【易错必刷八 直线的点斜式方程】 22．（2024·上海静安·一模）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高二下·上海·阶段练习）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 24．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线过点且与坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程. 【易错必刷九 直线图象的辨析】 25．（23-24高二下·上海嘉定·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 26． （23-24高二下·上海松江·课后作业）在平面直角坐标系中，画出经过点，且斜率分别为3与的直线． 27．（2024高二·上海崇明·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【易错必刷十 直线两点式方程】 28．（23-24高二下·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 29．（23-24高二·上海金山·课后作业）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 30．（23-24高二下·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【易错必刷十一 直线的斜截式方程】 31．（23-24高二下·上海徐汇·期中）过点且倾斜角为的直线在y轴上的截距是（    ） A． B．4 C． D．2 32．（23-24高二下·上海·期末）直线的倾斜角为 ． 33．（23-24高二下·上海·课后作业）设点，，若斜截式方程为的直线与线段AB相交，求b的取值范围． 【易错必刷十二 直线的一般式方程】 34．（23-24高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 35．（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 36．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线，根据下列条件，求实数的值： (1)经过点； (2)在两个坐标轴的截距相等. 【易错必刷十三 点方向式(点法向式)方程】 37．（23-24高二·上海杨浦·课后作业）若直线l斜率为k，向量在直线l上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k的值为（    ） A．2 B． C． D． 38．（23-24高二下·上海松江·期末）过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 39．（23-24高二下·上海静安·课后作业）计算： (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【易错必刷十四 直线与坐标轴围成图形的面积问题】40．（2024高二下·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 41．（23-24高二下·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为 ，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为 . 42．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【易错必刷十五 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 43．（23-24高二下·上海宝山·期末）若，，则直线不经过第象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 44．（23-24高二下·上海·期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 . 45．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）已知中，，． (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 【易错必刷十六 由一般式方程判断直线的平行】 46．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 47．（23-24高二下·上海·课后作业）在下列各种情况下，直线（A，B不同时为零）的系数A、B、C需满足什么条件： （1）直线与x轴平行时： ； （2）直线与y轴平行时： ； （3）直线过原点时： ； （4）直线过点时： ． 48．（23-24高二下·上海虹口·期中）已知点，直线． (1)若直线，求直线之间的距离； (2)求过点P且与直线垂直的直线的方程； 【易错必刷十七 由一般式方程判断直线的垂直】 49．（23-24高二下·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 50．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是 ． 51．（23-24高二·上海青浦·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【易错必刷十八 由两条直线平行求方程】 52．（23-24高二下·上海松江·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 53．（2024高二·上海宝山·专题练习）过点且以向量为方向向量的直线方程为 ；过点且与向量垂直的直线方程为 ． 54．（23-24高二下·上海嘉定·课后作业）已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 【易错必刷十九 由两条直线垂直求方程】 55．（23-24高二下·上海·单元测试）已知点，和，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高二下·上海·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 57．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）（1）一条直线过点且与直线垂直，求直线的方程； （2）已知直线通过一定点，求出这一定点. 【易错必刷二十 直线过定点问题】 58．（23-24高二下·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 59．（23-24高二下·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 60．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线的方程为.求证： (1)无论取何值时，都经过一个确定的点； (2)无论取何值时，对于上任意一点，向量均与向量垂直. 【易错必刷二十一 由斜率判断两条直线平行】 61．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 62．（23-24高二·上海闵行·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 63．（23-24高二下·上海·课后作业）判断下列两条直线的位置关系.若相交，求出交点坐标. (1)，； (2)，. 【易错必刷二十二 已知直线平行求参数】 64．（23-24高二下·上海·期末）若直线与直线平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．1或 65．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 66．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【易错必刷二十三 由斜率判断两条直线垂直】 67．（2024高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　） A．m和n可能重合     B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 68．（23-24高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 69．（23-24高二·全国·期末）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值． (1)； (2)； (3)． 【易错必刷二十四 已知直线垂直求参数】 70．（23-24高二下·上海长宁·期中）已知直线和，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 71．（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 72．（23-24高二下·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【易错必刷二十五 求点到直线的距离】 73．（23-24高二下·上海·开学考试）已知直线l：，点、，设，，下列条件中可以推出直线l与线段AB的延长线相交的是（    ） A． B． C． D． 74．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 75．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【易错必刷二十六 直线围成图形的面积问题】 76．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 77．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为 . 78．（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【易错必刷二十七 已知点到直线距离求参数】 79．（23-24高二·上海嘉定·假期作业）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A．(0,-2) B．(2,4) C．(0,-2)或(2,4) D．(1,1) 80．（23-24高二下·上海杨浦·期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ． 81．（23-24高二下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【易错必刷二十八 求到两点距离相等的直线方程】 82．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 83．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 84．（23-24高二下·上海奉贤·期中）已知的顶点为，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【易错必刷二十九 求点关于直线的对称点】 85．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 86．（23-24高二下·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 87．（23-24高二·上海长宁·课后作业）（1）已知实数对满足，求的最小值； （2）求的最小值．（提示：联想两点间的距离公式） 【易错必刷三十 求两点的对称轴】 88．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 89．（23-24高二·上海金山·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 90．（23-24高二下·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【易错必刷三十一 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 91．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 92．（23-24高二下·上海崇明·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    93．（23-24一年级·上海长宁·单元测试）光线由点出发被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在的直线方程． 【易错必刷三十二 坐标法的应用——点到直线的距离】 94．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 95． （23-24高二下·上海奉贤·期末）已知实数，则的取值范围是 . 96．（23-24高二·上海静安·课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 坐标平面上的直线易错必刷题型专训（96题32个考点） 【易错必刷一 直线的倾斜角】 1．（23-24高二下·上海徐汇·阶段练习）若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线的倾斜角分别为， 则由图知， 所以，即． 故选：D. 2．（23-24高二下·上海·课前预习）直线的倾斜角 （1）定义 如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 【答案】 逆时针 0 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高二下·上海·课前预习）在平面直角坐标系中．给定两条相交的直线 ：（，不同时为零）， ：（，不同时为零）． (1)我们学过哪些量可以确定直线的方向呢？ (2)请写出与的法向量和，当时，和有怎样的位置关系？你能写出两条直线垂直的充要条件吗？ (3)当、斜率存在时，设为、，以上条件能用斜率改写吗？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）法向量、斜率、倾斜角． （2），， ∵，又， ∴． （3）由于，，条件可改写成，即．于是． 【点睛】根据直线特征，可以用方向向量、法向量、斜率、倾斜角确定直线的方向. 【易错必刷二 直线斜率的定义】 4．（23-24高二下·上海嘉定·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可. 【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误； 对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误； 对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； 对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确. 故选：. 5．（23-24高二下·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 6．（23-24高二下·上海·课后作业）求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： (1)、； (2)、． 【答案】(1)； (2)； 【分析】根据经过两点的直线斜率计算公式以及斜率和倾斜角的关系即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故； （2）因为，， 所以斜率， 又倾斜角为，，故. 【易错必刷三 斜率与倾斜角的变化关系】 7．（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 8．（23-24高二下·上海·课前预习）直线的斜率 （1）当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即 ；当，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在．倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． （2）直线上任意两点、，当时， ；当时，斜率k ． （3）事实上，即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． （4）斜率k和倾斜角θ之间的关系 θ 0 k 【答案】 不存在 0 不存在 【分析】略 【详解】略 9．（23-24高二·全国·课后作业）（1）如果直线的倾斜角，则当增大时，直线的斜率将怎样变化？如果呢？ （2）能否说直线的倾斜角增大时斜率也增大？为什么？ 【答案】（1）答案见解析；（2）不能，理由见解析. 【分析】（1）结合正切函数的性质讨论求解即可； （2）结合倾斜角与斜率的关系说明即可. 【详解】解：（1）因为正切函数在，上均为单调递增函数， 所以直线的倾斜角，当增大时，直线的斜率将从逐渐增大； 当直线的倾斜角，当增大时，直线的斜率将从逐渐增大到； （2）不能，因为直线的倾斜角时，直线的斜率为正，且随着倾斜角的增大而增大，当线的倾斜角时，直线的斜率为负，且随着倾斜角的增大而增大，故不能说直线的倾斜角增大时斜率也增大. 【易错必刷四 已知两点求斜率】 10．（23-24高二下·上海嘉定·阶段练习）关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x轴的直线的倾斜角为或； ③若直线过点与，则该直线的斜率为． 其中正确说法的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】对于①：举反例：倾斜角均为，斜率不存在.否定结论；对于②：由倾斜角的范围直接判断；对于③：举反例：当时，过点与的直线的斜率不存在.否定结论 【详解】若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在.所以①不正确； 直角倾斜角的取值范围为[,)，所以平行于x轴的直线的倾斜角为不可能是.所以②不正确； 当时，过点与的直线的斜率不存在；当时过点与的直线的斜率为.所以③不正确. 故选：D. 11．（2024高二·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式求解斜率，即可结合图形求解. 【详解】因为直线的斜率，直线的斜率， 如图：所以要使直线与线段有公共点，的取值范围为． 故答案为： 12．（23-24高二下·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 【答案】 【分析】根据已知建系，先根据两点求斜率公式求出斜率，最后找到斜率关系即可. 【详解】   如图建系， 【易错必刷五 已知斜率求参数】 13．（23-24高二下·上海·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 14．（23-24高二下·上海奉贤·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 15．（23-24高二下·上海·课后作业）已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 【易错必刷六 斜率公式的应用】 16．（2024高二·上海闵行·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 17．（2024·上海青浦·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可. 【详解】由得，作出在内的图象如图所示， 设， 直线恒过定点， 直线的斜率，直线的斜率， 所以数形结合可知，即的取值范围为． 故答案为：.      18．（23-24高二下·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 【易错必刷七 直线与线段的相交关系求斜率范围】 19．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式斜率公式求出直线和直线的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解. 【详解】由题得，， 因为直线l与连接，两点的线段总有公共点，结合图可知，. 故选：B    20．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 21．（23-24高二·上海金山·课后作业）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线，，的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【详解】（1）解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 【易错必刷八 直线的点斜式方程】 22．（2024·上海静安·一模）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程. 【详解】因为，所以．因为， 所以切线方程为，即． 故选：D. 23．（23-24高二下·上海·阶段练习）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 24．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线过点且与坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】或 【分析】由题意可得的斜率存在且不为零，设为，分别求出直线在轴及轴上的截距，由截距的绝对值相等求出，从而可得直线的方程. 【详解】因为直线与坐标轴围成等腰直角三角形， 所以直线与两条坐标轴不垂直，所以的斜率存在且不为零，设为， 则直线的方程是. 令，则在轴上的截距为；令，则在轴上的截距为. 由题意，，解得或. 所以，直线的方程是或. 【易错必刷九 直线图象的辨析】 25．（23-24高二下·上海嘉定·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 【点睛】利用数形结合的方法进行求解. 26．（23-24高二下·上海松江·课后作业）在平面直角坐标系中，画出经过点，且斜率分别为3与的直线． 【答案】见解析 【分析】利用点斜式写出直线方程，然后画图即可. 【详解】经过点，且斜率分别为3的直线，即 化简得： 经过点，且斜率分别为的直线即 化简得： 图像如下：    27．（2024高二·上海崇明·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由点斜式即可求解直线方程，进而可作出图形， （2）（3）由与坐标轴平行的直线的性质即可求解. 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 【易错必刷十 直线两点式方程】 28．（23-24高二下·上海·随堂练习）下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案. 【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误； ②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确； ④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误； 故选：B. 29．（23-24高二·上海金山·课后作业）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据两点式过的两点，结合两点间的斜率求解即可. 【详解】易得直线过，故l的斜率为. 故答案为： 30．（23-24高二下·上海·期中）已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点即可求出直线方程； （2）分类讨论直线截距是否为，即可得出直线方程. 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 【易错必刷十一 直线的斜截式方程】 31．（23-24高二下·上海徐汇·期中）过点且倾斜角为的直线在y轴上的截距是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据倾斜角确定斜率，再根据已知点和直线斜截式求出直线方程，找到直线截距. 【详解】根据直线倾斜角为可知直线斜率为，设直线方程为，将点代入方程，得出方程，由此看出直线在y轴上的截距是. 故选:A 32．（23-24高二下·上海·期末）直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系结合倾斜角的范围求解. 【详解】直线的斜率为，设倾斜角为， 所以，可得． 故答案为：. 33．（23-24高二下·上海·课后作业）设点，，若斜截式方程为的直线与线段AB相交，求b的取值范围． 【答案】． 【分析】根据的几何意义，利用数形结合，即可求解. 【详解】由题意知为直线在轴上的截距． 如图，当直线过点和点时，分别取得最小值和最大值． 所以的取值范围是．    【易错必刷十二 直线的一般式方程】 34．（23-24高二下·上海浦东新·期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求直线l的一般方程，逐项分析判断. 【详解】直线l的方程为，整理得，故C正确； 对于A：由整理得，故A正确； 对于B：由整理得，故B正确； 对于D：由整理得，故D错误； 故选：D. 35．（2024·上海嘉定·一模）直线的倾斜角为 .（用反三角函数表示） 【答案】 【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 解得. 故答案为：. 36．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线，根据下列条件，求实数的值： (1)经过点； (2)在两个坐标轴的截距相等. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将带入直线求解即可. （2）根据题意得到，再解方程即可. 【详解】（1）因为过，所以，解得. （2）直线，不过原点， 所以时，，时，. 所以，解得. 【易错必刷十三 点方向式(点法向式)方程】 37．（23-24高二·上海杨浦·课后作业）若直线l斜率为k，向量在直线l上，且向量在方向上的投影的模是其在方向上投影的模的2倍，则该直线的斜率k的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设出，求出向量在和方向上的投影的模，从而得到，求出直线斜率. 【详解】设， 则向量在方向上的投影的模为， 向量在方向上的投影的模为， 则， 故该直线的斜率. 故选：D 38．（23-24高二下·上海松江·期末）过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 【答案】 【分析】利用直线的点法式方程写出即可. 【详解】根据直线的点法式方程可得直线的点法式方程：. 故答案为： 39．（23-24高二下·上海静安·课后作业）计算： (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【答案】(1)方向向量为，法向量为 (2)方向向量为，法向量为 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量； （2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量. 【详解】（1）先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为. 因为直线的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线的一个法向量可为. 本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为， 直线的法向量为. （2）因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为， 所以，直线的方向向量为，法向量为. 【易错必刷十四 直线与坐标轴围成图形的面积问题】 40．（2024高二下·全国·专题练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出直线在坐标轴上的截距，再利用面积公式解方程可得. 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 41．（23-24高二下·全国·课后作业）过点且在两坐标轴上截距之和为0(不过原点)的直线方程为 ，此直线与两坐标轴围成的三角形面积为 . 【答案】 【分析】设直线的截距式方程，将点坐标代入求解即可；先求出直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】当直线不过原点时，可知直线在两坐标轴上的截距互为相反数，且不为0. 可设直线方程为，因为直线过，所以，解得， 所以直线方程为. 当直线方程为时，与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， 故答案为. 42．（23-24高二下·上海崇明·阶段练习）已知直线 (1)求证：不论实数取何值，直线恒过一定点； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用提取参数，来求出方程的一个解，从而得到直线恒过一定点； （2）利用截距式方程来求解三角形的面积，再利用直线过定点，得到方程组即可求解. 【详解】（1）由直线变形得： ， 令，解得：， 由于不论实数取何值，总是方程的一个解， 所以直线恒过这一定点. （2）由于直线与两坐标轴的正半轴围成三角形， 所以可设直线的截距式方程为，且， 又由于直线恒过定点，所以， 由于直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则， 把，代入变形后的得：， 联立解得：， 所以直线的截距式方程为， 化简得的方程为. 【易错必刷十五 直线一般式方程与其他形式之间的互化】 43．（23-24高二下·上海宝山·期末）若，，则直线不经过第象限（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】将直线方程化为，由斜率以及纵截距的正负判断即可. 【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为， 因为，，所以，， 所以直线的斜率为正，纵截距为正， 即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限. 故选：D 44．（23-24高二下·上海·期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线过点，且与向量垂直， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 45．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）已知中，，． (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线两点式方程进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 因此边所在直线的方程为. 【易错必刷十六 由一般式方程判断直线的平行】 46．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知定点不在直线：上，则表示一条（   ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点但垂直于的直线 D．不过点但平行于的直线 【答案】B 【分析】当，时，可得过点，由定点不在直线上，可得，即表示一条斜率与：相等的直线. 【详解】因为定点不在直线：上，则可令， 所以表示一条与：斜率相同的直线， 当，时，，所以过点， 所以表示过点且平行于的直线. 故选：B. 47．（23-24高二下·上海·课后作业）在下列各种情况下，直线（A，B不同时为零）的系数A、B、C需满足什么条件： （1）直线与x轴平行时： ； （2）直线与y轴平行时： ； （3）直线过原点时： ； （4）直线过点时： ． 【答案】 且 且 且A、B不同时为0 【分析】根据直线与x轴、y轴的位置关系可得答案. 【详解】（1）直线与x轴平行时：且； （2）直线与y轴平行时：且； （3）直线过原点时：且A、B不同时为0； （4）直线过点时：． 故答案为：①且；②且； ③且A、B不同时为0；④ 48．（23-24高二下·上海虹口·期中）已知点，直线． (1)若直线，求直线之间的距离； (2)求过点P且与直线垂直的直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断的位置关系，再利用平行线间的距离公式即可得解； （2）利用直线垂直的性质，结合待定系数法即可得解. 【详解】（1）因为，， 又， 所以，故， 又可化为， 所以直线之间的距离为. （2）因为， 所以与直线垂直的直线的方程可设为， 又因为它过点，所以，解得， 故所求直线方程为. 【易错必刷十七 由一般式方程判断直线的垂直】 49．（23-24高二下·上海·期末）已知直线，直线，则是直线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性与必要性分析即可. 【详解】充分性：若，则，则直线，充分性满足； 必要性：若直线，则， 当时，不成立，则必要性不满足, 所以是直线的充分不必要条件. 故选：A 50．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）设，过定点的动直线与过定点的动直线交于点，则的最大值是 ． 【答案】10 【分析】根据直线过定点可得的坐标，进而利用两直线垂直可得勾股定理，结合不等式即可求解最值. 【详解】由得，故,由得, 由于直线与直线互相垂直，所以, 故所以,当且仅当时取等号，故的最大值是10 故答案为：10 51．（23-24高二·上海青浦·课后作业）判断下列各对直线是否垂直： (1)； (2)． 【答案】(1)两直线互相垂直. (2)两直线不互相垂直. 【分析】以两直线垂直充要条件去判断两直线是否垂直即可解决. 【详解】（1） ，故两直线互相垂直. （2） ，故两直线不互相垂直. 【易错必刷十八 由两条直线平行求方程】 52．（23-24高二下·上海松江·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的点斜式方程代入计算，然后化简，即可得到结果. 【详解】因为直线，其斜率为，所求直线与平行， 所以直线的斜率也为，且直线经过点， 由直线的点斜式可得直线的方程为， 化简可得，进一步变形可得，再变形可得. 故选：B 53．（2024高二·上海宝山·专题练习）过点且以向量为方向向量的直线方程为 ；过点且与向量垂直的直线方程为 ． 【答案】 【分析】第一空由直线的方向向量得到斜率，再由点斜式得到直线方程；第二空由直线的法向量与斜率关系得到斜率，再由点斜式得到直线方程； 【详解】第一空：因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 第二空：依题意知，所求直线与向量垂直，所以直线的斜率满足，解得，所以直线的方程为，即． 故答案为：； 54．（23-24高二下·上海嘉定·课后作业）已知直线l：及点． (1)求与直线l有相同的方向向量，且经过点A的直线的点法式方程； (2)求与直线l垂直，且经过点A的直线的点法式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的一个法向量，再由平行关系写出所求直线的点法式方程； （2）先求出直线的一个法向量，再由垂直关系找到所求直线的法向量，从而得解. 【详解】（1）直线的一个法向量为． 由题意，得所求直线与直线平行，故是所求直线的一个法向量． 又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． （2）因为直线的一个法向量为， 故所求直线的一个法向量为，又所求直线过点， 所以所求直线的点法式方程为． 【易错必刷十九 由两条直线垂直求方程】 55．（23-24高二下·上海·单元测试）已知点，和，则经过点A且与BC垂直的直线l的点法式方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用直线的点法式可解. 【详解】根据题意知道直线l的法向量可取，则直线l的点法式方程为. 故选：D． 56．（23-24高二下·上海·期末）已知直线过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】首先利用直线垂直设直线方程的一般形式，再代入点，即可求解. 【详解】依题意设直线的一般式方程为：， 因为直线过点，所以，得， 所以直线的一般式方程为：． 故答案为：． 57．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）（1）一条直线过点且与直线垂直，求直线的方程； （2）已知直线通过一定点，求出这一定点. 【答案】（1）； （2）定点 【分析】（1）根据两直线垂直的位置关系，可求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得出直线的方程； （2）将直线的方程重新整理，由于该直线过定点，所以与无关，综合解得定点坐标. 【详解】（1）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的斜率为，又因为直线与直线垂直， 所以，即； 由直线的点斜式方程可知，直线的方程为， 整理得； 即直线的方程为. （2）将直线的方程重新整理得： ， 又因为直线过定点，即与无关，所以的系数为； 即，同时； 联立解得； 所以，这个定点的坐标为. 【易错必刷二十 直线过定点问题】 58．（23-24高二下·上海松江·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过第（   ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】求出直线过的定点，即可得答案. 【详解】解：因为线的方程是， 即为， 令，解得， 即直线过定点, 所以直线一定经过第三象限. 故选：C. 59．（23-24高二下·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②直线在y轴上的截距为1； ③直线的倾斜角为150°； ④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为． 【答案】③ 【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④. 【详解】直线即直线，当时，， 即直线恒过定点，①错误； 直线，即在轴上的截距为，②错误； 直线的斜率为，则倾斜角为150°，③正确； 因为直线过点，且在，轴上截距相等，当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，④错误. 故答案为：③. 60．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线的方程为.求证： (1)无论取何值时，都经过一个确定的点； (2)无论取何值时，对于上任意一点，向量均与向量垂直. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）化简得即可判断； （2）设点为，根据两向量数量积为0则向量垂直证明即可. 【详解】（1）证明：由，得，所以无论取何值，都经过定点. （2）如图所示，设点为，则. 由，得，即. 所以总与向量垂直.    【易错必刷二十一 由斜率判断两条直线平行】 61．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质可得，将两直线化为斜截式，求出对应的斜率，结合正弦定理即可得出结果. 【详解】因为，所以均为正数， 由，即， 可得，即， 对于直线，即， 对于直线，即， 由正弦定理可得，所以直线与直线重合. 故选：B. 62．（23-24高二·上海闵行·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： （1）， ； （2），， ． 【答案】 平行 相交 【分析】 根据直线方程分别求出两直线的斜率，利用两直线斜率之间的关系判断直线的位置关系 【详解】（1）由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率为， 两直线的斜率相等，且两直线不重合，故两直线平行； 由直线，知直线斜率为， 由直线，知直线斜率不存在，所以直线与直线相交. 故答案为：平行；相交 63．（23-24高二下·上海·课后作业）判断下列两条直线的位置关系.若相交，求出交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)平行 (2)相交， 【分析】（1）求出两直线的斜率，即可判断； （2）首先判断两直线不平行，再联立直线方程，求出交点坐标. 【详解】（1）对于，， 则，，所以， 又因为，所以. （2）因为与的斜率分别为，，则，所以两条直线相交， 由，解得，所以两条直线的交点坐标为. 【易错必刷二十二 已知直线平行求参数】 64．（23-24高二下·上海·期末）若直线与直线平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】C 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可求解. 【详解】直线与直线平行， 故，解得， 故选：C 65．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 66．（23-24高二下·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 【易错必刷二十三 由斜率判断两条直线垂直】 67．（2024高二·上海·专题练习）已知直线和，则（　　） A．m和n可能重合     B．m和n不可能垂直 C．存在直线m上一点P，以P为中心旋转后与n重合 D．以上都不对 【答案】C 【分析】A选项求出直线m与直线n的斜率判断；B选项由斜率之积是否为判断；C选项由两直线不平行，得出两直线相交判断. 【详解】对A，直线，斜率为； 直线，斜率为； ，所以m和n不可能重合，A错误； 对B，时，，m和n垂直，所以B错误； 对C，由知m和n不平行，设m、n相交于点P， 则直线m以P为中心旋转后与n重合，所以C正确． 故选：C． 68．（23-24高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【详解】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 69．（23-24高二·全国·期末）已知直线，．请从以下三个条件中选出两个求实数，的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)选(1)和(2)，； (2)选(1)和(3)，或； (3)选(2)和(3)，a、b无解. 【分析】根据两直线的位置关系可知，若两直线垂直则两直线的斜率之积为-1；若两直线平行则两直线的斜率相等且不重合. 【详解】（1）若选条件(1)和(2)，和， 由，得，即， 当时，，，与不垂直， 当时，，，与不垂直； 故且，得， 又，， 所以，解得，则； （2）若选条件(1)和(3)，和， 由，得， 当时，，，与不平行； 当时，，，与不平行； 故且，则，解得或， 故或， 即或； （3）若选条件(2)和(3)，和， 根据两条直线的位置关系， 可得和不可能同时成立， 此时无解. 【易错必刷二十四 已知直线垂直求参数】 70．（23-24高二下·上海长宁·期中）已知直线和，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】由求得或，再根据小范围能推大范围，大范围不能推小范围即可判断. 【详解】若，则，即 解得或，所以是的充分不必要条件. 故选：B. 71．（2024·上海奉贤·一模）若直线：与直线：互相垂直，则 ． 【答案】0 【分析】根据直线互相垂直求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：0 72．（23-24高二下·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【详解】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 【易错必刷二十五 求点到直线的距离】 73．（23-24高二下·上海·开学考试）已知直线l：，点、，设，，下列条件中可以推出直线l与线段AB的延长线相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据已知条件，利用点与直线位置关系对选项逐一分析判断，即可得到本题的答案． 【详解】 对于A，因为，此时有， 则,故直线l与线段所在直线平行；故A错误； 对于B，当时，，即 ， 即，在直线上，，不在直线上，不合题意，B错误； 对于C，由，得到，则有， 由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，可知点、分布在直线的同侧， 且由，得到， 所以，则到直线的距离大于到直线的距离，即直线l与线段的延长线相交，所以C正确， 对于D，由，得到， 由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，可知点、分布在直线的两侧，选项D错误； 故选：C 74．（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 75．（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可写出直线的点斜式方程，再化为一般方程即可； （2）将直线的方程变形，求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 【易错必刷二十六 直线围成图形的面积问题】 76．（23-24高二下·上海普陀·阶段练习）如图，在矩形中，，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得出动点在与平行且与的距离为2的直线上，作关于直线的对称点，连接，则的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值. 【详解】设中的边上的高为， 因为，， 所以， 所以， 所以动点在与平行且与的距离为2的直线上， 如图所示： 作关于直线的对称点，连接， 则的长就是所求的最短距离， 在中， 因为，， 所以， 即的最小值为：. 故选：B. 77．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）在中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为 . 【答案】8 【分析】求出关于直线的对称点，可得的直线方程，联立解出即可得出的坐标．利用点到直线的距离公式可得到的距离，可得面积． 【详解】关于直线的对称点； ，，， 的直线方程为， 联立，解得，． ； 到的距离； 的面积． 故答案为：． 78．（23-24高二下·上海奉贤·阶段练习）已知直角坐标系中三点，，. (1)求以三点为顶点的三角形中边上的高所在直线的方程 (2)求以三点为顶点的三角形的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点坐标可得答案； （2）求出，利用三角形的面积公式计算可得答案. 【详解】（1）因为，，所以直线与轴平行， 所以三角形中边上的高所在直线的方程为； （2）， 由于直线与轴平行，所以到直线的距离为5， 所以三角形的面积为.    【易错必刷二十七 已知点到直线距离求参数】 79．（23-24高二·上海嘉定·假期作业）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A．(0,-2) B．(2,4) C．(0,-2)或(2,4) D．(1,1) 【答案】C 【分析】直接利用点到直线的距离公式求解. 【详解】直线可化为， 由点到直线的距离公式得，解得或， 当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为， 故选：C 80．（23-24高二下·上海杨浦·期中）直线关于点对称的直线的一般式方程为 ． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 根据点到两条直线的距离相等， 则有，即，解得（舍）或. 所以对称直线的方程为. 故答案为：. 81．（23-24高二下·上海虹口·期中）在平面直角坐标系中，已知的三个顶点. (1)求边所在直线的方程; (2)若的面积等于7，且点的坐标满足，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的两点式求解直线方程即可； （2）首先求出点到直线的距离及，再根据，得到，最后解方程组即可求出点的坐标. 【详解】（1）因为、， 所以边所在直线的方程为，整理得； （2）点到直线的距离， 又，因为， 所以有，即， 又点的坐标满足， 因此有或， 解得或， 所以点的坐标为或． 【易错必刷二十八 求到两点距离相等的直线方程】 82．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 83．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求解. 【详解】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 84．（23-24高二下·上海奉贤·期中）已知的顶点为，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）法一、利用两点斜率公式及直线垂直的充要条件，结合点斜式可得，法二、利用两点斜率公式及直线的点法式计算即可； （2）法一、分类讨论直线斜率是否存在结合点到直线的距离公式计算即可；法二、确定直线过中点或与平行，根据平行的充要条件及两点式计算即可. 【详解】（1）法一：依题意，有，所以AD的斜率为2， 所以AD所在直线的方程为，即． 法二：依题意，有，即直线AD的一个法向量为． 由直线的点法式，可得直线AD所在的直线的方程为：， 即． （2）法一：（i）当直线l的斜率不存在时，直线．B，C两点到直线l的距离分别为2和6， 不符合题意． （ii）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为， 即． 依题意，有，即， 所以或，解得或． 所以直线的方程为或． 法二：因为直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等， 所以直线l与直线BC平行，或过线段BC的中点． （i）当直线l与直线BC平行时，直线BC的斜率为， 所以直线的方程为，即． （ii）当直线l过线段BC的中点时，线段BC的中点为， 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 【易错必刷二十九 求点关于直线的对称点】 85．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 86．（23-24高二下·上海闵行·期末）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为； 如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为， 如图：根据直线的对称性可得：； 因为，则，故只有. 故答案为：1． 87．（23-24高二·上海长宁·课后作业）（1）已知实数对满足，求的最小值； （2）求的最小值．（提示：联想两点间的距离公式） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由的几何意义求得点到已知直线的距离即得； （2）表示到和的距离之和，由平面几何知识变形后，由两点距离公式可得． 【详解】（1）表示点到点的距离，而点在直线上， 所以其最小值为； （2）表示到和的距离之和， 与点关于轴对称， ，当且仅当是与轴交点时取等号，即时取等号． 所以的最小值是． 【易错必刷三十 求两点的对称轴】 88．（23-24高二下·上海宝山·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 89．（23-24高二·上海金山·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 90．（23-24高二下·上海·课后作业）如图，OAB是一张三角形纸片，，，，设与、的交点分别为、，将沿直线折叠后，使落在边上的点处．设，试用表示点到距离． 【答案】 【分析】利用点与关于直线对称，求直线的方程，再与直线方程联立，求点的坐标，即可求点到的距离. 【详解】以为原点，边所在的直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设，因为，所以． 连接，因为点与点对称，所以． 当时，直线的斜率不存在，此时直线的方程为，点到的距离为．当时，．因为的中点为， 从而直线的方程为， 即．① 又直线的方程为，② 由①②解得，即点的横坐标为， 所以点到距离为. 当时也满足上式． 所以点到距离为. 【易错必刷三十一 光线反射问题(2)——直线关于直线对称】 91．（23-24高二下·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点A（1，2）出发，被直线反射后到达点B（3，6），则这束光线从A到B所经过的距离为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】作出点A关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A关于直线的对称点， 连接，交直线于点， 则即为光线经过路程的最小值， 且， 此即光线从A到B所经过的距离为. 故选：B． 92．（23-24高二下·上海崇明·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    【答案】 【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 93．（23-24一年级·上海长宁·单元测试）光线由点出发被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】. 【分析】求出点A关于直线l的对称点坐标，再结合光的反射定律求出反射光线所在直线的方程作答. 【详解】设点关于直线对称点为， 于是得，解得，即点， 由光的反射定律知，点关于直线对称的点必在反射光线所在的直线上， 因此反射光线所在直线必过点，，直线：，即， 所以反射光线所在的直线方程是. 【易错必刷三十二 坐标法的应用——点到直线的距离】 94．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知直线，.则下列说法中正确的有（    ） ①存在实数，使，②存在实数，使； ③对任意实数，都有，④存在点到四条直线距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】令即可判断①；根据直线平行、垂直的判定即可判断②③；利用点线距离公式求原点到各直线距离判断④. 【详解】当时，，故，①对； 由，故不成立，②错； 由恒成立，即，③对； 由各直线方程知：坐标原点到各直线距离均为，④对. 所以共有3个正确. 故选：C 95．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 96．（23-24高二·上海静安·课堂例题）建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 【答案】证明见解析 【分析】利用等腰三角形的对称性建立直角坐标系，设点写出直线方程，再利用点线距离公式即可证明. 【详解】设是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系．    设，，则． 直线AB的方程为，即． 直线BC的方程为，即． 设底边AC上任意一点为， 则点P到直线AB的距离为， 点P到直线BC的距离为， 点A到直线BC的距离为． 所以． 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 学科网（北京）股份有限公司 $$