专题07 直角三角形易错必刷题型专训（99题33个考点）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题07 直角三角形易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）将一副三角板按如图所示的方式重叠摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·单元测试）由三角形内角和定理得到结论：有两个角 的三角形是直角三角形． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数（用含的式子表示）． 【易错必刷二 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（    ） A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．以上都不正确 2．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，已知中，分别是边上的高，D是的中点，求证：．    【易错必刷三 含30度角的直角三角形】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．如果要使，，三点在同一直线上，那么开挖点离点的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错必刷四 用勾股定理解三角形】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，在一正方形草坪上开辟出一块三角形花圃，若，，，则剩余草坪的面积是（    ） A．30 B．49 C．139 D．169 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错必刷五 已知两点坐标求两点距离】 1．（2024·湖南郴州·一模）如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为(　　)    A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(0，1) D．(﹣1，0) 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知点 到直线 的距离可表示为 （不同时为0），例如：到直线 的距离 ． 据此进一步可得两条平行线 和 之间的距离为 ． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）阅读与思考． 两点之间的距离公式：如果数轴上的点分别表示实数，两点间的距离记作，那么． 对于平面上的两点间的距离是否有类似的结论呢？ 运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式． (1)如图1，已知平面上两点，求A，B两点之间的距离； (2)如图2，已知平面上两点A（1，2），B（5，5），求这两点之间的距离|AB|； (3)一般地，设平面上任意两点和，如图3，如何计算A，B两点之间的距离？ 对于问题3，作轴，轴，垂足分别为点；作轴，垂足为点；作，垂足为点C，且延长与y轴交于点，则四边形是长方形． ∵　　，　　， ∴　　． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：． 【易错必刷六 勾股树（数）问题】 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 【易错必刷七 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，，，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．144 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，，则阴影部分的面积是 ． 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，等腰直角三角形的直角边长都是，以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，则阴影部分的面积是多少（取）？ 【易错必刷八 勾股定理与网格问题】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD为 ． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； 【易错必刷九 勾股定理与折叠问题】 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（   ）    A． B． C．4 D．5 2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，△中，，，，为上一点，连接，将△沿折叠，点落在边上的点处，则 ． 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，求的长． 【易错必刷十 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则AC＝（    ） A．5 B． C．7 D．25 2．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知，. （1） 求AB的长； （2）求CD的长． 【易错必刷十一 勾股定理的证明方法】 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为（），斜边为的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程． 【易错必刷十二 以弦图为背景的计算题】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（   ）    A．9 B．10 C．11 D．12 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 3．（23-24八年级下·湖南常德·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 【易错必刷十三 勾股定理与无理数】 1．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，数轴上的点表示的数是-2，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得 ． 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，矩形的边在数轴上，点是数轴的原点，点所对应的实数为4，，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点，点在点的右侧，求点表示的实数． 【易错必刷十四 求梯子滑落高度】 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，且，拉动绳子将船从点B沿的方向拉到点D后，绳长，求船体移动的距离的长度． 2．（23-24八年级·湖南郴州·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)根据题意，_________，_________，_________； (2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． (3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_________． 【易错必刷十五 求旗杆高度】 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为： ③牵线放风筝的小明的身高（）为．    (1)如图1是放风筝的示意图，其中点C、D、E在同一条直线上，且，，，垂足为点D，请根据题意，求出风筝的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【易错必刷十六 求小鸟飞行距离】 1．（2024八年级下·全国·竞赛）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，有两棵树和米，米，两树之间的距离米，一只鸟从处飞到处，则小鸟至少飞行多少米? 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【易错必刷十七 求大树折断前的高度】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求树在折断前的高度． 2．（23-24八年级·湖南岳阳·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，在中，，求的长． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． (1)求旗杆距地面多高处折断（）； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【易错必刷十八 解决水杯中筷子问题】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 3．（23-24八年级下·湖南·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是的中点)，它高出水面1尺(尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面()． 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    【易错必刷十九 解决航海问题】 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的北偏西30度方向，且与货轮M相距．同时，在它的北偏东60度方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A距客轮B的距离． 2．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地． (1)求两地的距离； (2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 【易错必刷二十 求河宽】 1．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20米，坝顶宽CD为45米，求大坝横截面的面积和周长． 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．    3．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米． (1)求小溪流AC的长． (2)求四边形ABCD的面积．（结果保留根号） 【易错必刷二十一 求台阶上地毯长度】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计强的厚度，请计算阳光透过的最大面积．    2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯． （1）求地毯的长是多少米？ （2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？ 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【易错必刷二十二 判断汽车是否超速】 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 3．（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离； (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【易错必刷二十三 判断是否受台风影响】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 的B处有一台风中心正以的速度沿方向移动，已知城市A到的距离，那么台风中心经过多长时间从B 点移到 D 点? 2．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)求的面积． (2)着火点能否受到洒水影响？为什么？ 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？ 【易错必刷二十四 选址使到两地距离相等】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，某社区要在所在的直线上建一图书室，点和点为社区附近的两所学校，作于点，于点，已知，，．      (1)尺规作图：要求图书室到两所学校的距离相等，请在图中作出点； (2)在（1）的条件下，求的距离． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 【易错必刷二十五 求最短路径】 1．（24-25八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，一个圆桶，底面周长为，高为，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为多少？ 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【易错必刷二十六 判断三边能否构成直角三角形】 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形，其中不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期末）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【易错必刷二十七 在网格中判断直角三角形】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则 ．      3．（23-24八年级下·湖南·阶段练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)判断的形状并说明理由； (2)求的面积． 【易错必刷二十八 利用勾股定理的逆定理求解】 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，，，，，，该图形的面积等于 ． 3．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求的面积． 【易错必刷二十九 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 2．（2024·湖南岳阳·二模）数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5丈，12丈，13丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺．）则该沙田的面积为 平方丈． 3．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【易错必刷三十 直角三角形全等的判定】 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（    ）    A． B．与互余 C． D． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，点D在上，．若，则 ． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，相交于点O，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【易错必刷三十一 角平分线的性质定理】 1．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，平分，于点E，F是射线上的任一点，，则的长度不可能是（    ） A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则 ． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【易错必刷三十二 角平分线的判定定理】 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）如图，四边形ABCD中，，，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝ ． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·开学考试）如图，在△外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于点． (1)请求证：； (2)请判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)求证：平分． 【易错必刷三十三 角平分线性质的实际应用】 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置 C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．以上说法都不正确 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，是的角平分线，＝，＝，AB=8，则△ABD的面积是 ； 3．（2024·湖南郴州·三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直角三角形易错必刷题型专训（99题33个考点） 【易错必刷一 直角三角形的两个锐角互余】 1．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）将一副三角板按如图所示的方式重叠摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板的角度运算，由图可得，进而由直角三角形的性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·单元测试）由三角形内角和定理得到结论：有两个角 的三角形是直角三角形． 【答案】互余（或和为） 【分析】此题考查直角三角形的判定，根据两个角互余（或和为）进行解答即可． 【详解】解：有两个角互余（或和为）的三角形是直角三角形． 故答案为：互余（或和为） 3．（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在中，是边上的高，是的平分线． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据余角的定义得到，根据角的和差即可解答； （2）同（1）思路即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷二 斜边的中线等于斜边的一半】 1．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，点D为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（    ） A．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点，， ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为． 3．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，已知中，分别是边上的高，D是的中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论． 【详解】证明：∵分别是边上的高， ∴，， ∴与都是直角三角形， ∵D是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【易错必刷三 含30度角的直角三角形】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．如果要使，，三点在同一直线上，那么开挖点离点的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的定义，含角的直角三角形的性质，解题的关键是判断出是直角三角形．根据邻补角的定义求出，然后判断出是直角三角形，最后根据角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：， ， ， 是直角三角形， 开挖点离点的距离：米， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：；．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． 【详解】解：在， 根据题意得：，， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， ∴， 当时，， ∴， ∴． ∴当或时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，等边三角形中，为边的中点，为的延长线上一点，过点作于点，并交于点，    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合，掌握以上知识的灵活运用是结果的关键． （1）根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解； （2）根据等边三角形的性质可求出的值，根据，可求出的值，再根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形，边长为6， ∴，， 由（1）可知，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【易错必刷四 用勾股定理解三角形】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，在一正方形草坪上开辟出一块三角形花圃，若，，，则剩余草坪的面积是（    ） A．30 B．49 C．139 D．169 【答案】C 【分析】在中，已知与的长，根据勾股定理可求出；依据的长可求出正方形的面积，然后求出的面积，即可由求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是， 的面积是； ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据少走的路为即可求得结果． 【详解】解： ，，， ， 少走的路为， 2步为1米， 少走了（步）， 故答案为：8． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 【易错必刷五 已知两点坐标求两点距离】 1．（2024·湖南郴州·一模）如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为(　　)    A．(1，0) B．(﹣5，0) C．(0，1) D．(﹣1，0) 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出AB，根据坐标与图形性质解答即可． 【详解】解：由题意得，OB＝3，OA＝4， ∴AB＝ ＝5， 则AC＝5， ∴OC＝AC﹣OA＝1， ∴点C坐标为(﹣1，0)， 故选D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知点 到直线 的距离可表示为 （不同时为0），例如：到直线 的距离 ． 据此进一步可得两条平行线 和 之间的距离为 ． 【答案】 【分析】此题考查了两条直线相交或平行问题．利用两平行线间的距离定义，在直线上任意取一点，然后计算这个点到直线的距离即可． 【详解】解：当时，，即点在直线上， 因为点到直线的距离为：， 因为直线和平行， 所以这两条平行线之间的距离为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）阅读与思考． 两点之间的距离公式：如果数轴上的点分别表示实数，两点间的距离记作，那么． 对于平面上的两点间的距离是否有类似的结论呢？ 运用勾股定理，就可以推出平面上两点之间的距离公式． (1)如图1，已知平面上两点，求A，B两点之间的距离； (2)如图2，已知平面上两点A（1，2），B（5，5），求这两点之间的距离|AB|； (3)一般地，设平面上任意两点和，如图3，如何计算A，B两点之间的距离？ 对于问题3，作轴，轴，垂足分别为点；作轴，垂足为点；作，垂足为点C，且延长与y轴交于点，则四边形是长方形． ∵　　，　　， ∴　　． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 请你根据上面的公式求出下列两点之间的距离：． 【答案】(1)5 (2)5 (3)，，；． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理求解即可； （3）先分别求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，， ∴； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案为：，，；． 【点睛】本题主要考查了坐标系中两点距离公式，正确理解题意是解题的关键． 【易错必刷六 勾股树（数）问题】 1．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）如图，以直角三角形三边为直径的半圆，则他们面积关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了半圆的面积计算公式，正确的根据勾股定理是解题的关键． 【详解】设直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c， 则， ， ， 故选择：C 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积， 则正方形A的面积， 故答案为：4． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断； （3）根据勾股数不能为负数完成判断； 【详解】（1）解：因为, 所以3，4，7不是勾股数； （2）因为, 所以5，12，13是勾股数； （3）因为勾股数不能为分数，所以不是勾股数； （4）因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数． 【易错必刷七 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，，，则（    ） A．9 B．12 C．15 D．144 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得，，再利用正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ， ，， ， 故选：D 2．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积的计算；由勾股定理求得的长度，由扇形面积公式即可计算． 【详解】解：，，， ， 即半圆的半径为； 则阴影部分面积为：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，等腰直角三角形的直角边长都是，以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，则阴影部分的面积是多少（取）？ 【答案】 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于圆的面积减去，即可求解． 【详解】解：如图： ∵以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆， ∴， ∴阴影部分①②③④的面积相等， ∴阴影部分的面积； 答：阴影部分的面积共有． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积，根据题意得到阴影部分的面积等于圆的面积减去是解题的关键． 【易错必刷八 勾股定理与网格问题】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）学习了勾股定理之后，老师给大家留了一个作业题，小明看了之后，发现三角形各边都不知道，无从下手，心中着急．请你帮助一下小明．如图，的顶点，，在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面积法求出BD即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ∵BD⊥AC， ∴△ABC的面积=， ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理及等面积法的应用是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南常德·阶段练习）如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD为 ． 【答案】 【分析】先运用勾股定理求出BC，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3， ∴BC=， ∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题关键． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．    (1)直接写出___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； 【答案】(1)； (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理解三角形． （1）根据勾股定理进行计算即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：，； 故答案为：； （2）解：是直角三角形，理由如下： 根据题意得：， ∴， ∴是直角三角形． 【易错必刷九 勾股定理与折叠问题】 1．（2024·湖南·模拟预测）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（   ）    A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，利用勾股定理得到x2+32=（9－x）2，计算即可． 【详解】解：∵D是BC的中点， ∴BD=3， 设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x， 在Rt△BDN中，， x2+32=（9－x）2， 解得x=4． 故线段BN的长为4． 故选C． 2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，△中，，，，为上一点，连接，将△沿折叠，点落在边上的点处，则 ． 【答案】3 【分析】由勾股定理可知：AB=10，由折叠的性质得：BD=BC=6，CE=DE，∠BDE=∠ACB=90°，设DE=CE=，则AE=，AD=AB-BD=4，在Rt△ADE中依据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在Rt△ACB中由勾股定理可知： ∴ 由折叠的性质得：BD=BC=6，CE=DE，∠BDE=∠ACB=90° 设DE=CE=，则AE=，AD=AB-BD=4， ∴在Rt△ADE中， ∴ 解得 故答案为：3 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出关于的方程是解题的关键． 3．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，将长方形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，求的长． 【答案】5 【分析】根据折叠的性质可得，再由为边的中点，可得，设，则，，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵为边的中点， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质是解题的关键． 【易错必刷十 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则AC＝（    ） A．5 B． C．7 D．25 【答案】B 【分析】根据勾股定理即可求得AC的长即可． 【详解】∵∠C=90°，AB=4，BC=3， ∴AC= ． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为 ． 【答案】36 【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】在Rt△ACB中，， 则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和 故答案为：36． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知，. （1） 求AB的长； （2）求CD的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由勾股定理解题； （2）由等积法解题． 【详解】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得， （2） 【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【易错必刷十一 勾股定理的证明方法】 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据大正方形的面积，大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图是我国魏晋时期的数学家赵爽用四个两直角边分别为（），斜边为的直角三角形拼成的正方形图形，并用此图证明勾股定理，请你用此“弦图”写出证明勾股定理的过程． 【答案】见解析 【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积（4个直角三角形的面积）即可得证． 【详解】证明：∵大正方形的面积等于，小正方形的面积等于，四个直角三角形的面积等于， ∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于阴影部分面积， 即， 整理得． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用面积法证明是解题的关键． 【易错必刷十二 以弦图为背景的计算题】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（   ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】设小正方形的边长为 ，根据图形面积关系可得，再根据，可列方程求解． 【详解】设小正方形的边长为， ∵ ∴， ∴(负值舍去)， 故选 A． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为 ． 【答案】30 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 3．（23-24八年级下·湖南常德·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形，证明出勾股定理，称为赵爽弦图，其中． (1)请同学们根据赵爽弦图证明； (2)若正方形的面积为100，正方形的面积为36，求的值； 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是面积公式的计算． （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：∵大正方形的面积是，直角三角形的面积是， 小正方形的面积为， ∴ 即； （2）解：由正方形的面积是100，得， 解得：， 由正方形的面积为36，得， 一个直角三角形面积为： 解得：， ∴， 则， 故． 【易错必刷十三 勾股定理与无理数】 1．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，数轴上的点表示的数是-2，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可求得AC的长度， 再由AD=AC，OA=2即可求得OD的长，从而可得点D表示的数． 【详解】∵，AB=3，BC=2 ∴由勾股定理得： ∴ ∵OA=2 ∴ ∴点D表示的数是 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、数轴上的点表示实数，运用勾股定理是关键． 2．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，…线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，得 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出，观察、、，找出规律：，进而求出． 【详解】解： …… ∴ 故答案为：． 【点睛】本题为考查勾股定理和数字规律综合题，难度不大，熟练掌握勾股定理以及找到数字规律是解题关键． 3．（24-25八年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，矩形的边在数轴上，点是数轴的原点，点所对应的实数为4，，以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点，点在点的右侧，求点表示的实数． 【答案】点表示的实数为． 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，实数与数轴；根据勾股定理求出的长，进而可求点表示的实数． 【详解】解：四边形是矩形，点所对应的实数为4，， ，， ， ， 由题可得点在负半轴， 点表示的实数为． 【易错必刷十四 求梯子滑落高度】 1．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，有人在岸上点C的地方用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，，且，拉动绳子将船从点B沿的方向拉到点D后，绳长，求船体移动的距离的长度． 【答案】船体移动的距离的长度为 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理分别求出的长即可得到答案． 【详解】解；在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴船体移动的距离的长度为． 2．（23-24八年级·湖南郴州·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，求小巷的宽． 【答案】小巷的宽为米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在中，由勾股定理计算出的长，再在中由勾股定理计算出长，然后可得的长． 【详解】解：在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 答：小巷的宽为米． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)根据题意，_________，_________，_________； (2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． (3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_________． 【答案】(1)，3，1 (2)秋千的长度是； (3)4 【分析】（1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则； （2）设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，， ，，， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：，3，1； （2）解：， ， 设秋千的长度为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即秋千的长度是； （3）解：当时，， ， ， 由（2）可知，， ， 在中，由勾股定理得：， 即需要将秋千往前推送， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键． 【易错必刷十五 求旗杆高度】 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度． 【答案】17米 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得 ，，，在中利用勾股定理可求出． 【详解】解：如图所示 设旗杆高度为 ，则 ，，， 在中， 解得：， 答：旗杆的高度为m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？ 【答案】 【分析】设秋千的绳索长为，则，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为，则， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南湘潭·期末）某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为： ③牵线放风筝的小明的身高（）为．    (1)如图1是放风筝的示意图，其中点C、D、E在同一条直线上，且，，，垂足为点D，请根据题意，求出风筝的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度的长为 (2)他应该往回收线 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴点C、D、E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴， 答：风筝的垂直高度的长为． （2）解：∵风筝沿方向下降，    ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， 答：他应该往回收线． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 【易错必刷十六 求小鸟飞行距离】 1．（2024八年级下·全国·竞赛）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图，有两棵树和米，米，两树之间的距离米，一只鸟从处飞到处，则小鸟至少飞行多少米? 【答案】小鸟至少飞行米． 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】连接， 作于， 则 (米) 米． (米) 即小鸟至少飞行米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【易错必刷十七 求大树折断前的高度】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2米的处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，求树在折断前的高度． 【答案】 【分析】根据题意可知：，，，利用勾股定理可得BC的长度，根据树在折断前的高度为，求得结果即可． 【详解】解：由题意可知：，，， ∴在Rt△ABC中， 由勾股定理可得：， ∴， ∴m， ∴， ∴树在折断前的高度为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解答本题的关键． 2．（23-24八年级·湖南岳阳·期末）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，在中，，求的长． 【答案】AC=4.55 【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理建立方程即可求出AC． 【详解】∵AC+AB=10 ∴AB=10-AC 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 即 解得AC=4.55 【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． (1)求旗杆距地面多高处折断（）； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面3m处折断 (2)距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画好图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面3m处折断； （2）如图． 因为点D距地面， 所以， 所以， 所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． 【易错必刷十八 解决水杯中筷子问题】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图,一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为，杯高，点，点在内部底面圆上，线段经过杯子的内部底面圆心．将吸管一端放在点处，并让吸管经过点（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？ 【答案】至少需要制作长的吸管 【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用．在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长． 【详解】解：由题意可知是直角三角形，，，线段为内部底面圆直径， 内部底面圆半径为， ， 在中， ， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：至少需要制作长的吸管． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长是多少尺？ 【答案】这根芦苇的长是17尺． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 3．（23-24八年级下·湖南·期末）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P是的中点)，它高出水面1尺(尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面()． 水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？    【答案】水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺 【分析】在中，根据勾股定理列出方程，求出的长，即可求解． 【详解】解：∵，点P是的中点， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理， ． ∴． 解得， ∴． 答：水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【易错必刷十九 解决航海问题】 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的北偏西30度方向，且与货轮M相距．同时，在它的北偏东60度方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A距客轮B的距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 由已知可得，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 答：此时灯塔A距客轮B的距离为13nmile． 2．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度． 【答案】25海里/小时 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出，则代表的实际距离为海里，再根据速度路程时间进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该货轮航行的速度为海里/小时． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地． (1)求两地的距离； (2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了方位角、勾股定理的应用等知识，解题的关键是： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， 即两地的距离为； （2）解：根据等面积法知：， 即， ∴， 即的距离为 【易错必刷二十 求河宽】 1．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20米，坝顶宽CD为45米，求大坝横截面的面积和周长． 【答案】横截面积为1350平方米，周长为米 【分析】求出、的长，又知道，，求出的长，利用梯形面积公式即可求出横截面积，再利用勾股定理求出AD和BC，即可得到周长． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， （米）， （平方米）． ∵， ， =（米）， 大坝的横截面积为1350平方米，周长为（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟悉坡比的概念和梯形面积公式是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南常德·期末）有一块边长为40米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，米．由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．    【答案】8 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，比较即可得到结果． 【详解】解：， 米， 答：标牌的■处应填8． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·阶段练习）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米． (1)求小溪流AC的长． (2)求四边形ABCD的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)千米； (2)平方千米 【分析】（1）根据勾股定理已知直角边求斜边计算； （2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和． 【详解】（1）解：（1）∵∠B＝90°，AB＝BC＝5千米， ∴（千米）； （2）∵（千米），（千米），（千米）， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，则∠D＝90°， ∴（平方千米）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的概念和公式并灵活运用是解题关键 ． 【易错必刷二十一 求台阶上地毯长度】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计强的厚度，请计算阳光透过的最大面积．    【答案】 【分析】先根据勾股定理求出长方形的宽，再根据矩形的面积公式即可求出面积． 【详解】解∶根据勾股定理，得直角三角形的斜边是， 所以阳光透过的最大面积是． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，注意阳光透过的最大面积，即是长方形的面积． 2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯． （1）求地毯的长是多少米？ （2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？ 【答案】（1）7米；（2）140元 【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的长度，然后利用平移的知识即可得出地毯的长； （2）首先计算出地毯的面积，然后用面积乘以10即可得出答案． 【详解】（1）， ， ， ∴地毯的长为7m； （2）地毯的面积为， ∴铺这个楼梯所需的花费为（元）． 【点睛】本题主要考查勾股定理及平移的相关知识，根据勾股定理求出AC的长度是关键． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【易错必刷二十二 判断汽车是否超速】 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车的速度的实验，如图，先在笔直的公路旁选取一点，在公路上确定点，使得，米， ，这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得，求的距离和此车的速度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】距离为73米，速度为24米/秒 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出轿车的速度，由此即可求解． 【详解】解：，，， ∴， ∵，则，， ∴在中，， ∴， ∵从处行驶到处所用的时间为3秒， ∴轿车的速度是（米/秒）. 3．（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离； (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有超速，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可． 【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． （2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， 所以这辆小汽车没有超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【易错必刷二十三 判断是否受台风影响】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向 的B处有一台风中心正以的速度沿方向移动，已知城市A到的距离，那么台风中心经过多长时间从B 点移到 D 点? 【答案】4小时 【分析】先根据勾股定理求出的长，再除以台风中心移动的速度即可． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是整理出直角三角形． 【详解】根据勾股定理得， ∴台风中心从B 点移到 D 点的时间为（小时）． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大．随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，区域内是一片森林，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)求的面积． (2)着火点能否受到洒水影响？为什么？ 【答案】(1) (2)受影响 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用面积公式计算即可； （2）过点作于，利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）如图，过点作于， ， ， ， 飞机中心周围以内可以受到洒水影响， 着火点受洒水影响． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）今年第号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求的度数； (2)经过查阅资料，小周同学发现若到的距离大于，则海港不受台风影响；若到的距离小于或等于，则海港会受台风影响，请你帮助小周同学计算到的距离，判断海港是否受台风影响？ 【答案】(1)见解析 (2)海港受台风影响，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，从而可求得． （2）利用三角形面积得出长，即可得出结论． 【详解】（1），， ， 是直角三角形，． （2）海港受台风影响，理由如下： 过点作于点， 是直角三角形， ， ， ， 海港会受台风影响． 【点睛】本题考查三角形面积，勾股定理应用，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股逆定理是解题的关键． 【易错必刷二十四 选址使到两地距离相等】 1．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 【答案】大卖场E应建在离A站千米处 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键．设千米，则千米，在和中，利用勾股定理可用x表示出和；接下来根据列方程求出x的值即可． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 因为，所以，解得， 所以大卖场E应建在离A站千米处． 2．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，某社区要在所在的直线上建一图书室，点和点为社区附近的两所学校，作于点，于点，已知，，．      (1)尺规作图：要求图书室到两所学校的距离相等，请在图中作出点； (2)在（1）的条件下，求的距离． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）作出线段的垂直平分线，与线段的交点即为所求点；（2）利用，结合勾股定理建立等量关系即可求解． 【详解】（1）解：作图如下，点E为所求；    （2）解：连接EC，ED， 设，则． ∵，， 又∵，∴． ∴． 解得．即的距离为． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作图及性质，勾股定理等知识点．掌握相关结论是解题关键． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过．已知摄像头能监控的最大范围为周围（包含），请问该监控装置是否符合要求?并说明理由．（参考数据，） 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)符合要求，见解析 【分析】（1）根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理，即可； （2）过点D作于点E；作A点关于DE的对称点，连接，根据直角三角形的性质，得，根据，则，三角形是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出，即可． 【详解】（1）解：（1）是直角三角形． 理由如下： ∵，， ∴在中， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）符合要求，理由如下： 过点作于点；作点关于的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴该监控装置符合要求．    【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理． 【易错必刷二十五 求最短路径】 1．（24-25八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，一个圆桶，底面周长为，高为，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为多少？ 【答案】小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为． 【分析】本题考查勾股定理－最短距离问题．依题意，展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 【详解】解：由题意，得． 如图，在中，由勾股定理，得 ． 答：小虫从底部点A处爬到上底B处的最短路径长为． 2．（23-24八年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【答案】图见解析，蚂蚁爬行的最短路径长为． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，连接． (1)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是______； (2)问题解决：求出这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力． （1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，结合两点之间线段最短即可求解； （2）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1） 解：如图所示， 线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （2） 解：根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为． 【易错必刷二十六 判断三边能否构成直角三角形】 1．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，下列四个三角形均为正方形网格图中的格点三角形，其中不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键． 先根据勾股定理求出边长，再根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、三边长分别为，∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意． B、同理可求三边长分别为，∵， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C、同理可求三边长分别为，∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D、同理可求三边长分别为，， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，分别以各边为边在外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，已知，，，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查直角三角形的判定，正方形的面积边长边长，则，由所给数据可知，结合勾股定理逆定理的知识求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 3．（24-25八年级下·湖南永州·期末）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 【易错必刷二十七 在网格中判断直角三角形】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ，， ∴， 是边上的中线， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则 ．      【答案】45 【分析】根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，且，从而得到，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴． 故答案为：45 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形外角的性质，根据勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南·阶段练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)判断的形状并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股逆定理的应用以及求三角形的面积． （1）利用勾股定理求出，，，利用勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由（1）知是直角三角形，且，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形； 理由：根据勾股定理可知： ，，， ， 是直角三角形； （2）由（1）知是直角三角形，且， ． 【易错必刷二十八 利用勾股定理的逆定理求解】 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： ，， ，， ，， ， 为直角三角形，， ， 阴影部分的面积为． 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，，，，，，该图形的面积等于 ． 【答案】96 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在中，D为边上的一点，，，，． (1)请说明； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理的运用，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． （1）已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出； （2）在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 为直角三角形， ∴； （2）解：∵为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【易错必刷二十九 勾股定理逆定理的实际应用】 1．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵三角形的三条边长分别为里，里，里， 又，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴ 这个三角形的面积为：平方里, 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（2024·湖南岳阳·二模）数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5丈，12丈，13丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺．）则该沙田的面积为 平方丈． 【答案】30 【分析】根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下： ∵ ∴, ∴ ∴ ∴（平方丈） 故答案为：30 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出相关示意图，按照逆定理内容证明并计算即可． 3．（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：如图， ，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 【易错必刷三十 直角三角形全等的判定】 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（    ）    A． B．与互余 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需的条件分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定的条件是． 故选D． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，点D在上，．若，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，相交于点O，，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再用计算即可． 掌握全等三角形的判定方法，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷三十一 角平分线的性质定理】 1．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，平分，于点E，F是射线上的任一点，，则的长度不可能是（    ） A．4.2 B．5.15 C．3.69 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短等，过D点作于点H，根据角平分线的性质得到，再根据垂线段最短进行判断即可． 【详解】解：过D点作于点H，如图所示： 平分， ， 是射线上的任一点， ， ， ∴的长不能为3.69． 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则 ． 【答案】/大于 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形三边关系的应用，先根据角平分线的性质得出，再根据三角形三边关系得出，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，107国道和320国道在湘潭市相交于点O，在的内部有一个工厂C和D，现在要修建一个货站P，使点P到的距离相等，且使，用尺规作出货站P的位置． 【答案】见详解 【分析】做出的垂直平分线和的平分线，其交点即为所求．本题考查了作图应用与设计作图，熟悉角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图：交点即为所求 【易错必刷三十二 角平分线的判定定理】 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）如图，四边形ABCD中，，，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD. 【详解】解：∵BD⊥CD，∠A＝90° ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∠CBD+∠C＝90°， ∵∠ADB=∠C ， ∴∠ABD＝∠CBD， 由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小， 此时，DP＝AD＝3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，则∠AOB＝ ． 【答案】60°/60度 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OC平分∠AOB，再根据角平分线的定义可得∠AOB=2∠BOC． 【详解】解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN， ∴OC平分∠AOB， ∴∠AOB=2∠BOC， 又∠BOC＝30°， ∴∠AOB =60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握角平分线的判定是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南张家界·开学考试）如图，在△外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中，，．连接、交于点． (1)请求证：； (2)请判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）由题意可得，，由，可得到，从而可证； （2）由（1）可得，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论； （3）作于，于，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论． 【详解】（1）解：， ，即， 又，， 在与中 ； （2）解：．理由如下： （3）解：如图，作于，于， ，， ， ， 平分． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理．熟记相关定理内容是解题关键． 【易错必刷三十三 角平分线性质的实际应用】 1．（23-24八年级下·湖南湘潭·期中）如图：AB、AC、BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（    ） A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置 C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．以上说法都不正确 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处． 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期中）如图，是的角平分线，＝，＝，AB=8，则△ABD的面积是 ； 【答案】24 【分析】先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，，， ∴. ∵， ∴的面积. 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．（2024·湖南郴州·三模）如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路，的距离相等，且到入口、的距离相等请确定喷泉的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可． 【详解】如图所示：点即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$