精品解析：江苏省南通市海门市2024-2025学年高二上学期期末调研数学试题

2024-2025学年江苏省南通市海门市高二上学期期末调研数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 2. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上的平均变化率 D. 在上的平均变化率 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 3. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 4. 以为顶点的三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故  因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 5. 已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线得出，进而求出，得出离心率. 【详解】设双曲线方程为:，则渐近线方程为， 依题意可知  求得，       故选：B. 6. 已知正项等比数列的前项和为，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定条件求出等比数列的基本量，再利用等比数列求和公式求解目标式取值即可. 【详解】设公比为，因为，， 所以，解得， 而正项等比数列的前n项和为， 得到，故C正确. 故选：C 7. 下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出草图，运用椭圆的对称性，数形结合分析判断即可得解. 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小， 过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 8. 若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线对称的点，再数形结合有求最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径为1， 则， 当且仅当P、、B、C四点共线，且B在线段上时取得最小值，为 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线直线则（ ） A. 在y轴上的截距为 B. 恒过点 C. 当时 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用截距概念可判断A；根据直线方程可判断B；利用两直线垂直时，斜率之积为可判断C；举反例可判断D. 【详解】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确； 对于B即令 可得即直线恒过点故B错误； 对于C，当时，即故故C正确； 对于D，当时，令此时直线 与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列前n项和为且则（ ） A. B. C. D. 数列的前n项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定条件求解数列单调性判断A，利用累乘法求出数列通项公式判断B，利用等差数列求和公式结合给定条件判断C，利用裂项相消法求和判断D即可. 【详解】由题意得，且， 可知，则为正项递增数列， 得到，即，故A正确； 由，则时， ， 又符合上式，故， 当时，，故B正确； 由等差数列求和公式得，则，故C错误； 而， 故数列的前n项和为 ，故D正确. 故选：ABD 11. 探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A. 当时处两条反射光线所在直线的距离为 B. 当时的面积为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用直曲联立，结合韦达定理，向量数量积公式，抛物线定义计算判断即可. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设点，，由抛物线光学性质可知，直线过焦点，设直线的方程为. 将其代入抛物线方程，可得，即. 根据韦达定理，，. 直线斜率. 由，，两式相减得： ，则，即直线的斜率. 又，所以. 若， 因为从焦点射出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，所以、处两条反射光线所在直线分别平行于轴，它们之间的距离为. . 由，即，得. 则，，所以、处两条反射光线所在直线的距离为，选项A正确. 的面积，，，则，选项B错误. ，，则. 由，，可得，. 所以，选项C正确. 根据抛物线的焦半径公式，，. 由，以及可得：. . 则， . 所以，选项D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两函数积的求导法则求解即可. 【详解】因为,所以, 所以. 故答案为: 13. 已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 【答案】2 【解析】 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 14. 一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则__________，数列相邻三项的递推关系式为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据题意求出，进而得到相邻项的关系式. 【详解】解 …… 故 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求； （2）若曲线在处的切线与曲线也相切，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求解原函数即可. （2）利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程，再结合给定条件求解参数即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即，故. 【小问2详解】 因为，所以在处的切线方程 为，即， 设在处切线为， 因为，所以，化简得， 因为，所以，解得，故的值为. 16. 已知圆C经过点 （1）求圆C的方程； （2）求过点A且与圆C相切的直线的方程； （3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出AO、OB的中垂线方程可得圆心坐标、半径可得答案； （2）根据切线与直线AC垂直，求出直线AC的斜率可得答案； （3）设l的方程为利用弦长公式可得答案. 【小问1详解】 因为A、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以直线AO的中垂线方程为 ，即， 因为B、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以BO的中垂线方程为 ，即为 联立，解得 所以圆心所以圆的半径 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）得圆C的圆心为半径为5， 因A在圆C上，所以切线与直线AC垂直， 因为直线AC的斜率为 所以切线的方程为即； 【小问3详解】 的斜率一定存在，设为 ，所以l的方程为 设圆心C到l的距离为d，因为所以即 所以化简得即 所以l的斜率为 17. 已知点直线 （1）若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； （2）若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【小问1详解】 因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 【小问2详解】 因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 18. 若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列的通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）（）；（）存在，，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出及公差，再利用“T数列”的定义判断得证. （2）（）利用已知，结合求出通项公式；（）假定存在，利用“T数列”的定义，结合恒成立的不等式推理判断得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，即， 由，得，则，即， 联立解得，所以等差数列是“T数列”. 【小问2详解】 （）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，而， 因此数列构成公比和首项均为的等比数列，所以 （）假设存在“T数列”满足存在正整数m，对于任意， 当时，恒有，数列的公差为， 当时，， 当时，若，则，即，而，因此， 此时，任意，当时，恒有， 即，于是对恒成立， 设，则，由，得，数列递增， 而，则当，此时均成立， 即，所以，存在m的最大值为 19. 已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 （1）求轨迹C的方程； （2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点 【答案】（1） （2）（），理由见解析；（）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件中直线斜率之积的关系，通过设点坐标，利用斜率公式列出等式，再进行化简得到一个方程. （2）（）先根据已知点的坐标确定线段三等分点坐标，再由椭圆方程求出焦点坐标，进而判断出相关点与焦点的关系，最后利用均值不等式等知识来比较式子的大小.（）通过设点坐标和直线方程，联立方程求解交点坐标，再利用斜率等知识来证明三点共线，从而确定直线所过的定点. 【小问1详解】 设因为直线AM，BM的斜率之积是 所以 化简得 【小问2详解】 因为P，Q是线段AB的从左至右的两个三等分点， 所以 设焦点坐标为所以即 所以为C的焦点， 因为所以 所以； 设 ①当斜率存在时，不妨令直线 联立化简得 因为与C的另一个交点为E， 所以 因为 所以式可以化为 所以所以点同理点 当轴,即时 所以直线EG过x轴上点 下证：三点共线， 因为 同理 因为三点共线，所以所以 即三点共线,所以直线经过一定点 ②当轴时，即所以 此时联立解得 所以直线交C于所以 综上,直线经过定点 【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南通市海门市高二上学期期末调研数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则式子表示（ ） A. 在处的导数 B. 在处的导数 C. 在上平均变化率 D. 在上的平均变化率 3. 下面导数运算错误是（ ） A. B. C. D. 4. 以为顶点的三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 已知双曲线C的焦点在x轴上，两条渐近线为则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列的前项和为，则（ ） A. 9 B. C. 3 D. 2 7. 下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（ ） A. B. C. D. 8. 若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线直线则（ ） A. 在y轴上的截距为 B. 恒过点 C. 当时 D. 当时， 10. 已知数列的前n项和为且则（ ） A B. C. D. 数列的前n项和为 11. 探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（ ） A. 当时处两条反射光线所在直线的距离为 B. 当时的面积为2 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则 ______. 13. 已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 14. 一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则__________，数列相邻三项的递推关系式为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求； （2）若曲线在处的切线与曲线也相切，求 16 已知圆C经过点 （1）求圆C的方程； （2）求过点A且与圆C相切的直线的方程； （3）过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 17. 已知点直线 （1）若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； （2）若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 18. 若等差数列的公差为正整数，且首项为1，则称其是“T数列”. （1）若等差数列满足，证明：是“T数列”； （2）设是数列的前n项和，. （）求； （）是否存在“T数列”，存在正整数m，对于任意，当时，恒有若存在，求数列的通项公式和m的最大值；否则，说明理由. 19. 已知直线相交于点M，且它们的斜率之积是点M的轨迹记为 （1）求轨迹C的方程； （2）设是线段AB的从左至右的两个三等分点. （）试比较与的大小，并说明理由； （）若直线分别与曲线C相交于另一点E和F，直线与C交于另一点G，求证：直线经过一定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $