8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第45页] 1．(多选)(江西吉安高一期末)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　) A．cm3 B．cm3 C．288π cm3 D．192π cm3 解析　当圆柱的高为8 cm时，体积V＝π××8＝(cm3)；当圆柱的高为12 cm时，体积V＝π××12＝(cm3). 答案　AB 2.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是 （　　） A. B. C.64π D.128π 解析　设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，则由题意得l＝r，h＝r，因为S圆锥侧＝πrl＝πr·r＝16π，所以r＝4，l＝4，h＝r＝4，所以V圆锥＝πr2·h＝π×42×4＝. 答案　A 3.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于 （　　） A.6 B.6π C.3π D.6π 解析　∵圆台的母线长为＝， ∴S圆台侧＝π（1＋2）·＝3π. 答案　C 4．(新课标全国Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π 解析　设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×即2＝， 故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π. 答案　B 5.若一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为　　　　. 解析　S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1. 答案　2∶1 6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为　　　　. 解析　设新的底面半径为r，则有×πr2·4＋πr2·8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝. 答案　 7.（1）已知圆锥的底面半径为2，高为5，求这个圆锥的体积； （2）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为3，求这个圆台的体积. 解　（1）由题意V锥体＝Sh＝πr2·h＝. （2）由已知有S上＝π·12＝π， S下＝π·22＝4π， 所以V台体＝（S上＋S下＋）h＝（π＋4π＋2π）×3＝7π. 8．若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S，则圆柱的体积为(　　) A． B． C． D． 解析　设圆柱的高为2a，因为轴截面为正方形，所以底面半径为a，则S＝4πa2，解得a＝，故可得圆柱体积V＝πa2·2a＝2π××＝.故选D． 答案　D 9．如图，圆锥的母线长为4，M为母线AB的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周到达点B，这条绳子的最短长度为2，则此圆锥的表面积为 (　　) A．4π B．5π C．6π D．8π 解析　将圆锥侧面展开成一个扇形，如图所示．设圆锥的底面半径为r，因为母线长为4，所以侧面展开图扇形的圆心角α＝＝，B′M的长度 即为绳子的最短长度．在△AB′M中， B′M＝ ＝＝2，则cos ＝0，所以r＝1，所以圆锥的表面积S＝π×12＋π×1×4＝5π.故选B． 答案　B 10.（多选）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的 （　　） A.母线长是20 B.表面积是1 100π C.高是10 D.体积是π 解析　 如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA.又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，体积V＝π×10×（102＋10×20＋202）＝π，表面积S＝π（10＋20）×20＋100π＋400π＝1 100 π，故选ABD. 答案　ABD 11.若我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　　　　寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 解析　圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为＝3（寸）. 答案　3 12.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积的比值为　　　　. 解析　由于正方体和圆柱等高，故设正方体的棱长和圆柱的高（母线长）都为a，圆柱的底面半径为r，则正方体的侧面面积为4a2，圆柱的侧面面积为2πra.又4a2＝2πra，所以r＝，所以正方体的体积为V正方体＝a3，圆柱的体积为V圆柱＝πr2a＝，故＝，即这个正方体和圆柱的体积的比值为. 答案　 13.圆柱有一个内接长方体AC1，长方体体对角线长是10 cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，求圆柱的体积. 解　 设圆柱底面半径为r cm，高为h cm. 如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则 ∴ ∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π（cm3）. ∴圆柱的体积为250π cm3. 14．(江苏无锡期中)如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B． (1)求这条绳长的最小值； (2)求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离． 解　(1)沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形， 如图所示． 易知，Rt△OPA与Rt△OQB相似，得＝＝， 由AB＝20 cm，解得OA＝20 cm. 因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10＝20π(cm).又扇形OBB′的半径OB＝OA＋AB＝20＋20＝40(cm)，设扇形OBB′的圆心角为α，40α＝20π，解得α＝，则OB⊥OB′.在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm. (2)如图所示，过点O作OC⊥B′M，垂足为C，交于点C′，则所求最短距离即为CC′的长．因为OC＝＝＝24(cm)，所以C′C′OC′OC′＝24－20＝4(cm)，即绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$