7.2.2 复数的乘、除运算(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第33页] 1.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为 （　　） A.6－4i B.－6－4i C.6＋4i D.－6＋4i 解析　（1＋i）2（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝－6＋4i. 答案　D 2.（1＋i）20－（1－i）20的值是 （　　） A.－1 024 B.1 024 C.0 D.512 解析　（1＋i）20－（1－i）20＝[（1＋i）2]10－[（1－i）2]10＝（2i）10－（－2i）10＝（2i）10－（2i）10＝0. 答案　C 3.（多选）下列关于复数z＝的四个命题，其中为真命题的是 （　　） A.｜z｜＝2 B.z2＝2i C.z的共轭复数为1－i D.z的虚部为－1 解析　∵z＝＝＝1＋i，∴｜z｜＝，z2＝2i，z的共轭复数为1－i，z的虚部为1.故选BC. 答案　BC 4.若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝ （　　） A.2 B. C. D.1 解析　∵＝（a＋i）（－i）＝1－ai，∴＝｜1－ai｜＝＝2，解得a＝或a＝－（舍）. 答案　B 5.已知＝－i，则复数z＝　　　　. 解析　因为＝－i，所以z＝＝（2－3i）i＝3＋2i. 答案　3＋2i 6.已知z是纯虚数，是实数，那么z＝　　　　. 解析　设z＝bi（b∈R，b≠0），则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i. 答案　－2i 7.计算： （1）； （2）； （3）6＋. 解　（1）＝＝－1－3i. （2）＝＝＝＝＋i. （3）6＋＝6＋＝i6＋i＝－1＋i. 8.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i，则z＝－z1z2＋i5在复平面内对应的点位于 （　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以z＝－＋i5＝1＋i，所以复数z在复平面内对应的点为（1，1），位于第一象限.故选A. 答案　A 9．(新课标全国Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i. 答案　C 10．(多选)(山东聊城高一下期末)代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)＝0有n个复数根(重根按重数计).若f(x)＝(x－1)(x2＋x＋1)，记ω为方程f(x)＝0的一个虚数根，则(　　) A．ω2＋ω＋1＝0 B．ω＝－＋i C．ω·＝1 D．ω2＝ 解析　令f(x)＝(x－1)(x2＋x＋1)＝0，得x＝1或x2＋x＋1＝0，由x2＋x＋1＝0，得＝－，所以x＋＝±i，则x＝－±i，所以－±i是f(x)＝0的两个复数根．对于A，因为ω为方程f(x)＝0的一个虚数根，即ω满足x2＋x＋1＝0，所以ω2＋ω＋1＝0，故A正确；对于B，ω＝－±i，故B错误；对于C，因为－＋i与－－i互为共轭复数，所以ω·＝＝1，故C正确；对于D，由ω2＋ω＋1＝0，得ω2＝－ω－1，若ω＝－＋i，则ω2＝－ω－1＝－－i＝；若ω＝－－i，则ω2＝－ω－1＝－＋i＝．综上，ω2＝，故D正确．故选ACD． 答案　ACD 11．(湖南衡阳高一期末)若复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为________，＝________. 解析　由题得z＝＝＝＝＋i，则z在复平面内对应的点的坐标为，＝－i，＝＝＝1. 答案　　1 12．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在第________象限． 解析　由题意将＝0化简得z·2i＋i(1＋i)＝0，则z＝＝＝＝－－i，所以＝－＋i，所以复数z在复平面内对应的点在第二象限． 答案　二 13．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； (2)若ω＝，求证：ω为纯虚数． 解　设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0). (1)z2＝z1＋＝a＋bi＋ ＝(a＋)＋(b－)i. 因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1， 即|z1|＝1，所以z2＝2a. 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤， 即z1的实部的取值范围是[－，]. (2)证明：ω＝＝＝ ＝－i. 因为a∈[－，]，b≠0，所以ω为纯虚数． 14．(河北南宫期末)在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re(2＋3i)＝2，Im(2＋3i)＝3；Re(－3i)＝0，Im(－3i)＝－3.已知复数z是方程x2＋2x＋2＝0的解． (1)若Im(z)>0，且＝b－2i(a，b∈R，i是虚数单位)，求a＋b； (2)若Im(z)<0，复数z1＝，t∈R，且Re(z1)<0，Im(z1)>0，求实数t的取值范围． 解　(1)由z是方程x2＋2x＋2＝0的根，解得z＝－1±i. 因为Im(z)>0，所以z＝－1＋i， 所以＝＝b－2i， 则a＝(b－2i)(－1＋i)＝－b＋2＋(b＋2)i， 所以解得所以a＋b＝2. (2)因为Im(z)<0，所以z＝－1－i. 又i2 023＝i3＝－i， 所以z1＝＝＝＝. 因为Re(z1)<0，Im(z1)>0，所以 解得－2<t<，所以实数t的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$