7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第31页] 1．(四川仁寿高一期中)复数(1＋2i)－(3－4i)在复平面内对应的点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由复数(1＋2i)－(3－4i)＝－2＋6i，可得其在复平面内对应的点为(－2，6)，位于第二象限．故选B． 答案　B 2．设复数z满足z＋3－i＝－1＋i，则|z|＝(　　) A．5 B．2 C．4 D．5 解析　由题意知，z＝－1＋i－3＋i＝－4＋2i，∴|z|＝＝2，故选B． 答案　B 3.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i（a，b∈R），当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为 （　　） A.1＋i B.2＋i C.3 D.－2－i 解析　由得∴a＋bi＝－2－i. 答案　D 4.如果复数z满足｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，那么｜z＋i＋1｜的最小值是 （　　） A.1 B. C.2 D. 解析　 设复数－2i，2i，－（1＋i）在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为｜z＋2i｜＋｜z－2i｜＝4，｜Z1Z2｜＝4，所以复数z对应的点Z的集合线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求｜ZZ3｜的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，｜Z0Z3｜＝1.故选A. 答案　A 5.若｜z｜＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝　　　　. 解析　设复数z＝x＋yi（x，y∈R），则z－2＋4i＝（x－2）＋（y＋4）i.由题意知∴或∴z＝2±i. 答案　2±i 6.已知实数x，y满足（1＋i）x＋（1－i）y＝2，则xy的值是　　　　. 解析　由题意得x＋y＋（x－y）i＝2， ∴解得∴xy＝1. 答案　1 7.已知z1＝（3x＋y）＋（y－4x）i，z2＝（4y－2x）－（5x＋3y）i（x，y∈R），设z＝z1－z2＝13－2i，求：z1，z2. 解　z＝z1－z2 ＝（3x＋y）＋（y－4x）i－[（4y－2x）－（5x＋3y）i] ＝[（3x＋y）－（4y－2x）]＋[（y－4x）＋（5x＋3y）]i ＝（5x－3y）＋（x＋4y）i， 又∵z＝13－2i，且x，y∈R， ∴解得 ∴z1＝（3×2－1）＋（－1－4×2）i＝5－9i， z2＝4×（－1）－2×2－[5×2＋3×（－1）]i＝－8－7i. 8.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是 （　　） A.纯虚数z的共轭复数是－z B.若z1－z2＝0，则z1＝ C.若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数 D.若z1－z2＝0，则z1与互为共轭复数 解析　对于A，根据共轭复数的定义，显然是真命题；对于B，若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝，当z1，z2是虚数时，z1≠，所以B是假命题；对于C，若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；对于D，若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与互为共轭复数，故D是真命题. 答案　AD 9.复数z＝x＋yi（x，y∈R）满足条件｜z－4i｜＝｜z＋2｜，则2x＋4y的最小值为 （　　） A.2 B.4 C.4 D.16 解析　由｜z－4i｜＝｜z＋2｜，得｜x＋（y－4）i｜＝｜x＋2＋yi｜，∴x2＋（y－4）2＝（x＋2）2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4.当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4. 答案　C 10.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点是△ABC的 （　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心. 答案　A 11.定义运算＝ad－bc，如果（x＋y）＋（x＋3）i＝（i为虚数单位），那么实数x，y的值分别为　　　　. 解析　由＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi， 故有（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi. 因为x，y为实数，所以 即解得 答案　－1　2 12.若复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，θ∈R，则｜z1－z2｜的最大值为　　　　.  解析　｜z1－z2｜＝｜（1＋icos θ）－（sin θ－i）｜ ＝ ＝ ＝ ≤＝＋1. 答案　＋1 13．在①z1＋z2＝＋i；②z1＋z2＝i；③z1＋z2＝1＋i这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1. (1)若________，求z1，z2； (2)若|z1＋z2|＝1，求|z1－z2|. 解　(1)方案一：选择条件①. 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 得或 所以z1＝－＋i，z2＝1或z1＝1，z2＝－＋i. 方案二：选择条件②. 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 得或 所以z1＝－＋i，z2＝＋i或z1＝＋i，z2＝－＋i. 方案三：选择条件③. 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 得 所以z1＝＋i，z2＝＋i. (2)设在复平面内复数z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为，，，则由|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝1，可知以OA，OB为邻边的平行四边形为菱形，且∠AOB＝120°，所以|z1－z2|＝||＝. 14.设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋（a2－10）i，z2＝＋（2a－5）i（其中a∈R），若z1＋z2可以与任意实数比较大小. （1）求向量对应的复数； （2）设Z1Z2中点为Z，求｜｜. 解　（1）z1＋z2＝＋（a2－10＋2a－5）i＝＋（a2＋2a－15）i. ∵z1＋z2可与任意实数比较大小， ∴z1＋z2为实数， ∴解得a＝3. ∴z1＝－i，z2＝－1＋i， ∴向量对应的复数为 （－1＋i）－＝－＋2i. （2）Z1Z2的中点Z对应的复数为 z＝＝－， ∴｜｜＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$