7.1.1 数系的扩充和复数的概念(word练习)-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

[对应素能提升训练第27页] 1.复数z＝＋（a2－1）i是实数，则实数a的值为 （　　） A.1或－1 B.1 C.－1 D.0或－1 解析　因为复数z＝＋（a2－1）i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C. 答案　C 2.已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，a∈R，若z1＝z2，则a＝ （　　） A.2 B.3 C.－3 D.9 解析　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋（a2－7）i，且z1＝z2， 所以有解得a＝3.故选B. 答案　B 3.已知集合M＝{1，（m2－3m－1）＋（m2－5m－6）i}，N＝{1，3}，M∩N＝{1，3}，则实数m＝ （　　） A.4 B.－1 C.4或－1 D.1或6 解析　由题意知∴m＝－1. 答案　B 4.若sin 2θ－1＋i（cos θ＋1）是纯虚数，则θ的值为 （　　） A.2kπ－（k∈Z） B.2kπ＋（k∈Z） C.2kπ±（k∈Z） D.π＋（k∈Z） 解析　由题意得解得（k∈Z）.∴θ＝2kπ＋，k∈Z. 答案　B 5.若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为　　　　. 解析　由条件知a2－3＋2a＝0，解得a＝1或a＝－3. 答案　1或－3 6.若复数m－3＋（m2－9）i≥0，则实数m的值为　　　　. 解析　依题意知解得即m＝3. 答案　3 7．已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R). (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 解　(1)若z是实数，则m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. (2)若z是虚数，则m2－m－2≠0，解得m≠2且m≠－1. (3)若z是纯虚数，则解得m＝－3. 8.若复数（a2－a－2）＋（｜a－1｜－1）i（a∈R）不是纯虚数，则 （　　） A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2 C.a≠－1 D.a≠2 解析　若复数（a2－a－2）＋（｜a－1｜－1）i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或｜a－1｜－1＝0，解得a≠－1.故应选C. 答案　C 9.（多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是 （　　） A.若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1 B.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数 C.－1没有平方根 D.当m＝4时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数 解析　取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故A错误；∀a∈R.a2＋1＞0恒成立，所以（a2＋1）i是纯虚数，故B正确；－1的平方根为±i，故C错误；复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数等价于解得m＝4，故D正确.故选B、D. 答案　BD 10.已知z1＝（－4a＋1）＋（2a2＋3a）i，z2＝2a＋（a2＋a）i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为　　　　. 解析　∵z1＞z2，∴ ∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}. 答案　{0} 11.已知关于x的方程x2＋（1－2i）x＋（3m－i）＝0有实数根，则实数m的值为　　　　，方程的实根x为　　　　. 解析　设a是方程的实根，则a2＋（1－2i）a＋（3m－i）＝0，即（a2＋a＋3m）－（2a＋1）i＝0，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－，2＋＋3m＝0，所以m＝. 答案　　－ 12.已知M＝{2，m2－2m＋（m2＋m－2）i}，N＝{－1，2，4i}，若M∪N＝N，求实数m的值. 解　∵M∪N＝N，∴M⊆N， ∴m2－2m＋（m2＋m－2）i＝－1或m2－2m＋（m2＋m－2）i＝4i. 由复数相等的充分必要条件，得 或解得m＝1或m＝2.故实数m的值是1或2. 13.（1）若（x＋y）＋yi＝（x＋1）i，求实数x，y的值； （2）已知a2＋（m＋2i）a＋2＋mi＝0（m∈R）成立，求实数a的值. 解　（1）由复数相等的充要条件， 得解得 （2）因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0， 可得解得或 所以a＝±. 14.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）. （1）若z1为纯虚数，求实数m的值； （2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解　（1）∵z1为纯虚数，则解得m＝－2. （2）由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， ∴实数λ的取值范围是[2，6]. 学科网（北京）股份有限公司 $$